数学：上海市浦东新区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

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【答案】三
【解析】因为，所以与的终边相同，为第三象限角.
故答案为：三.
2. 平面上两点，，则_________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
则.
故答案为：.
3. 已知复数，是虚数单位，则的虚部为________.
【答案】
【解析】，故虚部为-1.
故答案为：-1.
4. 已知，且，则的值是_________.
【答案】
【解析】因为，且，所以，则，
所以
故答案为：.
5. 若是实系数一元二次方程的一个根，则______．
【答案】
【解析】因为是实系数一元二次方程的一个根，
所以，即，
整理得，
所以，解得，则.
故答案为：.
6. 已知向量，则_________.
【答案】
【解析】由，得，
所以.
故答案为：.
7. 化简_________.
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
8. 设向量、满足，，则_________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以，故.
故答案为：.
9. 若为锐角，则____________.
【答案】-2
【解析】因为
.
故答案为：.
10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为_________.
【答案】
【解析】设扇形的圆心角的弧度数为，剩余部分的圆心角为，
所以，由与的比值为，
则，所以.
故答案为：.
11. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
所以且，
解得且，所以的取值范围为.
故答案为：.
12. 在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为______．
【答案】
【解析】依题意，点P在线段的中垂线上，点P也在线段的中垂线上，
连，而，，，，因此，
而，即，有，
于是得，
直线过中点，而直线斜率为1，则直线的斜率为-1，方程为，
直线的方程为，
于是得点，令直线交于点，，，
，
所以.
故答案为：.
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得3分，否则一律得零分.
13. “，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当，，则，
当时，，，
∴“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14. 下列命题中正确的是（ ）
A. 终边重合的两个角相等B. 锐角是第一象限的角
C. 第二象限的角是钝角D. 小于90°的角都是锐角
【答案】B
【解析】对于A，终边相同的角可表示为，故A错误；
对于B，锐角的取值范围为，故B正确；
对于C，第二象限角的取值范围为，故C错误；
对于D，锐角的取值范围为，其，则，但不是锐角，故D错误.
故选：B.
15. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反；
B. 若，且与的方向相同，则
C. 平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D. 若，则与方向相同或相反
【答案】B
【解析】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，
故A错误；
对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确；
对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，
故C错误；
对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，
故D错误.
故选：B.
16. 已知为虚数单位，下列说法中错误的是（ ）
A. 复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则
B. 互为共轭复数的两个复数的模相等，且
C. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D. 若复数满足，则复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上
【答案】D
【解析】对于A，因为 ，所以，
则，即，则，故正确；
对于B，设，则，
所以，，，
所以，且，故B正确；
对于C，根据复数模的定义可知：复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，
也就是复数对应的向量的模，故C正确；
对于D，设，若复数满足，
则，即，
复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故D错误.
故选：D.
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知，且，求的值.
解：因为且，所以，
因为且，所以，
所以.
18. 已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）当为何值时，？
解：（1），
，.
（2）由得：
，
解得：.
19. 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
解：（1）因为，
又，所以，，
当时，；当时，；
于是在上取得最大值12，取得最小值8，
故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为.
（2）依题意，当时实验室需要降温，
由（1）得，
所以，即，
又，因此，即，
故在10时至18时实验室需要降温.
20. 已知的周长为，且.
（1）求边长的值；
（2）若，求角的大小.
解：（1）因为，则由正弦定理得，
又的周长为，则，
将代入上式，解得，
所以边长.
（2），，则，
又（1）知，
，
因此所求角的大小是.
21. 已知，且函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若函数（其中）是上的偶函数，求的值，
解：（1）因为，
所以
，
故的最小止周期为.
（2）由，得，
所以函数的单调减区间为.
（3）因为，
因为是上的偶函数，
所以，即，
又，所以或.