吉林省白山市抚松县第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

这是一份吉林省白山市抚松县第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题，共6页。
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题（每题5分，共40分）(共8题；共40分)
1. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 ， ， ， ， 则原四边形的面积为（ ）
2. 已知集合 ， 则下列复数：①；②；③；④ ， 其中属于集合M的为（ ）．
3. 已知点 ， ， ， O为坐标原点，若与共线，则（ ）
4. 在锐角三角形ABC中， ， ， 则边的取值范围是（ ）
5. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与 ， 两边交于 ， 两点，设 ， ， 则的最小值为（ ）
6. 已知为坐标原点，是终边上一点，其中 ， 非零向量的方向与轴正方向相同，若 ， 则取值范围是（ ）
7. 设向量 ， ， 当 ， 且时，则记作；当 ， 且时，则记作 ， 有下面四个结论：
①若 ， ， 则；
②若且 ， 则；
③若 ， 则对于任意向量 ， 都有；
④若 ， 则对于任意向量 ， 都有；
其中所有正确结论的序号为（ ）
8. 直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（ ）
二、多选题（每题6分，共18分）(共3题；共18分)
9. 如图所示，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是图象的最低点，设 ， 则下列说法正确的是（ ）
10. 下面四个命题中，正确的为（ ）
11. 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为 ， 则（ ）
三、填空题（每题5分，共15分）(共3题；共15分)
12. 已知 ， ， 且 ， 则在上的投影向量为____________________
13. 在下列命题中，
①若直线平面 ， 直线平面 ， 且 ，则//平面；
②若直线平面 ， 平行于平面内的一条直线，则//平面；
③直线//平面 ， 则平行于平面内任何一条直线；
④若 ， 是异面直线，则一定存在平面经过且与平行．
其中正确命题的序号是____________________
14. 已知满足 ， 且 ， 则____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（15题10分，16题10分，17题12分，18题13分，19题15分，20题17分）(共6题；共77分)
15. 已知平面上三个向量 ， ， ， 其中.
（1） 若 ， 且 ， 求的坐标；
（2） 若 ， 且 ， 求与的夹角.
16. 如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.
（1） 求证：直线平面；
（2） 若正方体棱长为1，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积.
17. 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：
（1） 刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船什么方向？
（2） 缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
18. 下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径 ， 母线 ，
（1） 是圆的一条直径的两个端点，母线的中点 ， 用软尺沿着圆锥面测量两点的距离，求这个距离的最小值；
（2） 现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求这个正方体体积.
19. 在①；②；③设的面积为 ， 且 ． 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．
在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 且____， ．
（1） 若 ， 求的面积；
（2） 求周长的范围
（3） 若为锐角三角形，求的取值范围．
20. 已知i是虚数单位，a ， ， 设复数 ， ， ， 且.
（1） 若为纯虚数，求；
（2） 若复数 ， 在复平面上对应的点分别为A ， B ， 且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a ， b ， 使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a ， b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O ， A ， B三点不共线，记的面积为 ， 求及其最大值.A .
B .
C .
D .
A . ①②；
B . ①③；
C . ①④；
D . ①③④．
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
A .
B .
C .
D .
A . 9
B . 4
C . 3
D .
A .
B .
C .
D .
A . ①②③
B . ②③④
C . ①③
D . ①④
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C . 与垂直的单位向量的坐标是
D . 若在线段上，且 ， 则点也是图象上
A . 相交于同一点的三条直线在同一平面内．
B . 在平面外，其三边延长线分别和交于P ， Q ， R ， 则P ， Q ， R一定共线
C . 一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等
D . 在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分．
A . 设内切球的半径为 ， 外接球的半径为 ， 则
B . 设内切球的表面积 ， 外接球的表面积为 ， 则
C . 设圆锥的体积为 ， 内切球的体积为 ， 则
D . 设、是圆锥底面圆上的两点，且 ， 则平面截内切球所得截面的面积为