2024全国高考甲卷文科数学试卷

这是一份2024全国高考甲卷文科数学试卷，共8页。试卷主要包含了 设 z=2i, 则 z⋅z=， 已知双曲线 C等内容，欢迎下载使用。

使用范围: 陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川
注意事项:
答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
答选择题时, 必须使用 2 B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号.
答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上.
所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效.
考试结束后, 只将答题卡交回.
一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.集合 A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}, 则 A∩B=( )
(A) {1,2,3,4}
(B) {1,2,3,4}
(C) {1,2,3,4}
(D) {1,2,3,4}
【参考答案】A
【详细解析】因为 A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}={0,1,2,3,4,8}, 所以 A ∩B={1,2,3,4}, 故选(A).
2. 设 z=2i, 则 z⋅z=( )
(A) 2
(B) 2
(C) 2
(D) 2
【参考答案】D
【详细解析】因为 z=2i, 所以 z⋅z=2, 故选(D).
3.若实数 x,y 满足约束条件(略), 则 z=x-5y 的最小值为 ( )
(A)5
(B) 12
(C) -2
(D) -72
【参考答案】D
【详细解析】将约束条件两两联立可得 3 个交点: (0,-1)、32,1 和 3,12, 经检验都符合约束条件. 代入目标函数可得: zmin=-72, 故选(D).
4.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn, 若 S9=1,a3+a7=( )
(A) -2
(B) 73
(C) 1
(D) 29
【参考答案】D
【详细解析】令 d=0, 则 S9=9an=1,an=19,a3+a7=29, 故选(D).
5.甲、乙、丙、丁四人排成一列, 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的概率是( ）
(A) 14
(B) 13
(C) 12
(D) 23
【详细解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 24 种可能. 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的共有 8 种可能, P=824=13, 故选(B).
6. 已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 F1(0, 4)、 F2(0,-4), 且经过点 P(-6,4), 则双曲线 C 的离心率是 ( )
(A) 135
(B) 137
(C) 2
(D) 3
【参考答案】C
【详细解析】 e= c=F1F2a=2, 故选(C).
7.曲线 f(x)=x6+3x 在 (0,-1) 处的切线与坐标轴围成的面积为 (
(A) 1
(B) 32
(C) 12
(D) 32
【参考答案】A
【详细解析】因为 y'=6x5+3, 所以 k=3,y=3x-1,S=12×13×1=16, 故选(A).
8.函数 f(x)=-x2+ex-e-xsin⁡x 的大致图像为 ( )
【参考答案】B
【详细解析】选(B).
9.已知 cs⁡αcs⁡α-sin⁡α=13, 则 tan⁡α+π4=( )
(A) 3
(B) 23-1
(C) -3
(D) 13
【参考答案】B
【详细解析】因为 cs⁡αcs⁡α-sin⁡α=3, 所以 tan⁡α=1-33,tan⁡α+π4=tan⁡α+11-tan⁡α=23-1, 故选(B).
10.直线过圆心, 直径
【参考答案】直径
【详细解析】直线过圆心, 直径.
11.已知已知 m、n 是两条不同的直线， α、β 是两个不同的平面: (1)若 m⊥α,n⊥α, 则 m//n; (2)若 α∩β=m,m//n, 则 n//β; (3)若 m//α,n//α,m 与 n 可能异面, 也可能相交, 也可能平行; (4)若 α∩β=m,n 与 α 和 β 所成的角相等, 则 m⊥n, 以上命题是真命题的是( )
(A)(1)(3)
(B)(2)(3)
(C)(1)(2)(3)
(D)(1)(3)(4)
【参考答案】A
【详细解析】选(A).
12.在 △ABC 中, 内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c, 若 B=π3, b2=94ac, 则 sin⁡A+sin⁡C=( )
(A) 23913
(B) 3913
(C) 72
(D) 31313
【参考答案】C
【详细解析】因为 B=π3,b2=94ac, 所以 sin⁡Asin⁡C=49sin2⁡B=13. 由余弦定理可得: b2=a2+c2 -ac=94ac, 即: a2+c2=134ac,sin2⁡A+sin2⁡C=134sin⁡Asin⁡C=1312, 所以 (sin⁡A+sin⁡C)2=sin2⁡A+sin2⁡C +2sin⁡Asin⁡C=74,sin⁡A+sin⁡C=72, 故选(C).
二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13.略
14. 函数 f(x)=sin⁡x-3cs⁡x 在 [0,π] 上的最大值是
【参考答案】2
【详细解析】 f(x)=sin⁡x-3cs⁡x=2sin⁡x-π3⩽2, 当且仅当 x=5π6 时取等号.
15. 已知 a>1,1lg8⁡a-1lga⁡4=-52, 则 a= .
【参考答案】 64
【详细解析】因为 1lg8⁡a-1lga⁡4=3lg2⁡a-12lg2⁡a=-52, 所以 lg2⁡a+1lg2⁡a-6=0, 而 a>1,故 lg2⁡a=6,a=64.
16. 曲线 y=x3-3x 与 y=-(x-1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, 则 a 的取值范围为 .
【参考答案】 (-2,1)
【详细解析】令 x3-3x=-(x-1)2+a, 则 a=x3-3x+(x-1)2, 设 φ(x)=x3-3x+(x-1)2,φ'(x) =(3x+5)(x-1),φ(x) 在 (1,+∞) 上递增, 在 (0,1) 上递减. 因为曲线 y=x3-3x 与 y=-(x -1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, φ(0)=1,φ(1)=-2, 所以 a 的取值范围为 (-2, 1).
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 第 17 题 第 21 题为必考题, 每个考题考生必须作答. 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.
(一)必考题: 共 60 分.
17.(12 分)已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 2Sn=3an+1-3.
(1)求 an 的通项公式;
(2)求数列 Sn 的通项公式.
【参考答案】见解析.
【详细解析】(1)因为 2Sn=3an+1-3, 所以 2Sn+1=3an+2-3, 两式相减可得: 2an+1=3an+2- 3an+1, 即: 3an+2=5an+1, 所以等比数列 an 的公比 q=53, 又因为 2S1=3a2-3=5a1-3, 所以 a1=1,an=53n-1;
(2) 因为 2Sn=3an+1-3, 所以 Sn=32an+1-1=3253n-1.
18.(12 分)题干略.
【详细解析】(1) χ2=150(70×24-26×30)296×54×50×100<6.635, 没有 99% 的把握;
(2) p>p+1.65p(1-p)150, 故有优化提升.
19.(12 分)如图, 已知 AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2, CD=4,AD=BC=10,AE=23,M 为 CD 的中点.
(1)证明: EM// 平面 BCF;
(2)求点 M 到 ADE 的距离.
【参考答案】见解析
【详细解析】(1)由题意: EF//CM,EF=CM, 而 CF 平面 ADO,EM⊈ 平面 ADO, 所以 EM // 平面 BCF;
(2)取 DM 的中点 O, 连结 OA,OE, 则 OA⊥DM,OE⊥DM,OA=3,OE=3, 而 AE=23,故 OA⊥OE,S△AOE=233. 因为 DE=2,AD=10, 所以 AD⊥DE,S△AOE=10.DM 设点 M到平面 ADE 的距离为 h, 所以 VM-ADE=13S△ADE⋅h=13S△AOE⋅DM,h=4310=2305, 故点 M 到 ADE 的距离为 2305.
20.(12 分) 已知函数 f(x)=a(x-1)-ln⁡x+1.
(1)求 f(x) 的单调区间; ◻
(2)若 a⩽2 时, 证明: 当 x>1 时, f(x)【参考答案】见解析
若 a⩽0,f'(x)<0,f(x) 的减区间为 (0,+∞), 无增区间;
若 a>0 时, 当 01a 时, f'(x)>0, 所以 f(x) 的减区间为 0,1a, 增区间为 1a,+∞;
(2)因为 a⩽2, 所以当 x>1 时, ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+ln⁡x-1⩾ex-1-2x+ln⁡x+1. 令 g(x) =ex-1-2x+ln⁡x+1, 则 g'(x)=ex-1-2+1x. 令 h(x)=g'(x), 则 h'(x)=ex-1-1x2 在 (1,+∞) 上递增, h'(x)>h'(1)=0, 所以 h(x)=g'(x) 在 (1,+∞) 上递增, g'(x)>g'(1)=0, 故 g(x) 在 (1,+∞)上递增, g(x)>g(1)=0, 即: 当 x>1 时, f(x)21.(12 分) 已知粗圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的右焦点为 F, 点 M(1, 32 在椭圆 C 上, 且 MF⊥x 轴.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2) P(4,0), 过 P 的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点, N 为 FP 的中点, 直线 NB 与 MF 交于 Q,证明: AQ⊥y 轴.
【参考答案】见解析
【详细解析】(1)设椭圆 C 的左焦点为 F1, 则 F1F=2,|MF|=32. 因为 MF⊥x 轴, 所以 ∣MF1 =52,2a=MF1+|MF|=4, 解得: a2=4,b2=a2-1=3, 故椭圆 C 的方程为: x24+y23=1;
3x12+4y12=123λx22+4λy22=12λ2 可得: 3⋅x1+λx21+λ⋅x1-λx21-λ+4⋅y1+λy21+λ⋅y1-λy21-λ=12, 结合上式可得: 5λ- 2λx2+3=0.P(4,0),F(1,0),N52,0, 则 yQ=3y25-2x2=3λy25λ-2λx2=-λy2=y1, 故 AQ⊥y轴.
x2y1x1y2+x2y1=x12y22-x22y12=4+4y123y22-4+4y223y12=4y2-y1y2+y1=4y2-y1x1y2+x2y1,即: x1y2+x2y1=y2+y1,2x2y1=5y1-3y2.P(4,0),F(1,0),N52,0, 则 yQ=3y25-2x2=3y1y25y1-2y1x2 =y1, 故 AQ⊥y 轴.
(二)选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 并用 2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分, 如果多做, 则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4: 坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy中, 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= ρcs⁡θ+1.
(1)写出 C 的直角坐标方程;
(2)直线 x=ty=t+a (t 为参数)与曲线 C 交于 A、B 两点, 若 |AB|=2, 求 a 的值.
【参考答案】见解析
【详细解析】(1)因为 ρ=ρcs⁡θ+1, 所以 ρ2=(ρcs⁡θ+1)2, 故 C 的直角坐标方程为: x2+y2=(x +1)2, 即: y2=2x+1; ◻
(2) 将 x=ty=t+a 代入 y2=2x+1 可得: t2+2(a-1)t+a2-1=0,|AB|=2t1-t2=16(1-a)=2,解得: a=34.
[选修 4-5: 不等式选讲](10 分)实数 a,b 满足 a+b⩾3.
(1)证明: 2a2+2b2>a+b;
(2)证明: a-2b2+b-2a2⩾6.
【解析】(1)因为 a+b⩾3, 所以 2a2+2b2⩾(a+b)2>a+b;
(2) a-2b2+b-2a2⩾a-2b2+b-2a2=2a2+2b2-(a+b)=2a2+2b2-(a+b)⩾(a+b)2-(a +b)=(a+b)(a+b-1)⩾6.