辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附答案）

这是一份辽宁省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试题满分：150分
命题人：高一数学组 校对人：高一数学组
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知事件A与事件B相互独立且，则（ ）
A．B．C．D．
2．若随机变量X的分布列为（ ）
其中，则
A．，B．，
C．，D．，
3．恩格尔系数（EngelsCefficien）是食品支出总额占个人消费文出总额的比重。居民可支配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入．如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图．
给出三个结论：
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；
②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；
③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小．
其中正确的是（ ）
A．①B．②C．①②D．②③
4．设数列的前n项和为，设甲：是等比数列：乙：存在常数c，使是等比数列，已知两个数列的公比都不等于1，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．实验中学某个班级用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他（她）们的编号分别为1，2，…，k，规定；同意按“1”，不同意（舍弃权）按“0”．令
，其中，且，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．-1B．C．0D．1
7．已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标位于区间．，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（ ）
A．50B．55C．59D．64
8．设为数列的前n项和，若，且存在，，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设是公比为q的无穷等比数列，下列关于的选项中，一定能成为该数列“基本量”的是（ ）
A．与B．与C．与D．q与
（注：其中n为大于1的整数，为的前n项和．）
10．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心
B．，
C．若，，，则
D．在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍
（，其中）
11．已知集合，，，集合，将集合D中所有元素从小到大依次排列为数列，为数列的前n项和．集合，将集合E的所有元素从小到大依次排列为数列．则（ ）
A．
B．或2
C．
D．若存在，使，则n的最小值为26
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．记等差数列等比数列的前n项和分别为、，若，，，则公比______．
13．某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球；则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为______．
14．将正方形ABCD分割成个全等的小正方形（图1、图2分别给出了的情形），在每个正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列。若顶点A，B，C，D处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数和为，则有，______，…，______．（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变，某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：
（Ⅰ）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（Ⅱ）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．
①某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，隶该顾客获得100元现金奖励的概率．
②某位顾客购买了1500元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加三次抽奖？说明理由．
附：相关系数公式
参考数据．
16．（本小题满分15分）
（Ⅰ）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
（Ⅱ）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列．
17．（本题满分15分）
某校有A，B两个餐厅，为调查学生对餐厅的满意程度，在某次用餐时学校从A餐厅随机抽取了67人，从B餐厅随机抽取了69人，其中在A，B餐厅对服务不满意的分别有15人、6人，其他人均满意．
（Ⅰ）根据数据填写2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为用餐学生与两家餐厅满意度有关联？
（Ⅱ）学校对大量用餐学生进行了统计，得出如下结论：任意一名学生第一次在校用餐时等可能地选择一家餐厅用餐，从第二次用餐起，如果前一次去了A餐厅，那么本次到A，B餐厅的概率分别为，；如果前一次去了B餐厅，那么本次到A，B餐厅的概率均为．
求任意一名学生第3次用餐到B餐厅的概率．
附：，其中．
18．（本题满分17分）
如图3，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：数列是等比数列；
（ⅱ）求．
图3
19．（本小题满分17分）
已知数列满足且．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式对成立，求证：．
（Ⅲ）已知不等式对成立，证明：，其中无理数．
X
1
0
P
p
q
1
2
3
4
5
2.4
2.7
4.1
6.4
7.9
不满意
满意
合计
A餐厅
B餐厅
合计
136
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
辽宁省实验中学2023—2024学年度下学期期中阶段测试
高二年级数学试卷
参考答案
一、选择题
二、填空题
12． 13．，， 14．，
三、解答题
15．解：（Ⅰ）由题意，，，，
则
故y与t的线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合．
（Ⅱ）①顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A．
②设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则
所以
由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120小于直接返现的150元，所以专营店老板希望顾客参加抽奖
16．解：（Ⅰ）∵是等比数列
∴
将代入上式，得
整理得：．
解得：或
（Ⅱ）设，的公比分别为p，q，，，
为证不是等比数列，只需证：．
事实上，，
．
由于，，又，不为零，
因此，，故不是等比数列．
17．解析：（Ⅰ）零假设为：用餐学生与两家餐厅满意度无关联．
依题意列出2×2列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为用餐学生与两家餐厅满意度无关联．
（Ⅱ）设事件“第i次在A餐厅用餐”，事件“第i次在B餐厅用餐”，其中，
由题意与互斥，且，，；，，
由全概率公式得，
，又，，
由全概率公式得：．
18．解：（Ⅰ）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面．
∴当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，
在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，
又∵，∴．
（Ⅱ）（ⅰ）∵，
即：
又∵，∴
所以数列是等比数列．
（ⅱ）∵
∴，
设，则
那么，
所以，
即，
所以，
又因为，
所以，．
19．证明：（Ⅰ）（ⅰ）当时，，不等式成立．
（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，
那么，
这就是说，当时，不等式成立．
根据（ⅰ）（ⅱ）可知对所有成立．
（Ⅱ）证明：由已知不等式对成立．
令得：；
（ⅰ）当时，显然成立；
（ⅱ）当时，；
而，
可得
综上：
（Ⅲ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有
，
两边取对数并利用已知不等式得：
故．
上式从1到求和可得：
即，故．
证法二：由数学归纳法易证对成立，
故，．
令，则
取对数并利用已知不等式得：．
上式从2到n求和得：
因，故，．
故，，又显然，，
故对一切成立．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
D
C
A
C
B
C
A
AD
ACD
ABC
不满意
满意
合计
A餐厅
15
52
67
B餐厅
6
63
69
合计
21
115
136