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2023-2024学年广东省深圳高级中学北校区中考数学模拟试卷
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这是一份2023-2024学年广东省深圳高级中学北校区中考数学模拟试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
2.2023年上半年我国新能源汽车取得显著成绩，新能源汽车使用环境持续优化，截至6月底，全国累计建成各类充电桩超过660万台.将数据“660万”用科学记数法表示为( )
A. 6.6×106B. 6.6×105C. 660×105D. 66×105
3.下列计算正确的是( )
A. 6a+2b=8abB. a4⋅a2=a8C. (ab)2=a2b2D. (b2)4=b6
4.随着自动驾驶技术的不断发展，某知名汽车制造公司近期对研发的自动驾驶汽车进行了一次大规模的路测，有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试.测试结束后，技术部门对每辆汽车的性能进行评估(车辆的自动驾驶技术、安全性、反应速度等综合表现)，得分如下：
得分的中位数和众数分别是( )
A. 80，80B. 82.5，80C. 80，85D. 85，80
5.如图，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE//BC，若∠C=70°，则∠FEC=( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
6.把不等式组x+2>1,x−22≤0的解集表示在数轴上，正确的是( )
A. B.
C. D.
7.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为( )
A. x+y=250x+10y=30B. x−y=250x+10y=30
C. x+y=210x+50y=30D. x+y=210x+30y=50
8.下列命题是真命题的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 若三条直线a⊥c，b⊥c，则a//b
C. 相等的弧所对的弦相等
D. 若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0
9.如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与半圆O相切于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为( )
A. 5 3B. 6 3C. 5D. 6
10.如图，⊙O的直径AB为4，AC=BC，点D为AC的中点，点P沿路线A→B→C运动，连接CP，DP，设点P运动的路程为x，则△CPD的面积y随x变化的函数图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算( 2+ 3)( 2− 3)的结果为______．
12.某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查.从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么该工厂1200人中符合选拔条件的人数约为 ．
13.已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
14.如图，一次函数y=12x−2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，点P为AB上一点且PC是△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y=kx(k>0)的图象于Q，若OQ=PQ，则k的值为______．
15.△ABC中，∠BAC=45°，D为AB上一点，BD=10 2，连接CD，将△CBD沿CD翻折至△CDF，点B的对应点F点恰好落在边AC上.延长CA至点E，连接DE，若AE=2，tan∠BCD=12，则DE长为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：(12)−1+2cs30°−|− 12|+(2024−π)0．
17.(本小题7分)
如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．
现将这4张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为______；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．
18.(本小题8分)
初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程.下表是函数y=2x22x2+1的部分信息：
请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题：
(1)求a= ______，b= ______，c= ______，并补全函数图象；
(2)在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______；
(3)已知关于x的方程2x22x2+1=k+2无实数解，根据函数图象，直接写出k的取值范围．
19.(本小题8分)
临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．
(1)求这两种笔每支的进价分别是多少元？
(2)该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报(如下所示).该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
20.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，已知⊙O的直径为6．
(1)过点D作直线MN//BC，求证：MN是⊙O的切线；
(2)若AB=4，AC=3，求AF．
21.(本小题9分)
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
任务1：确定桥拱形状是抛物线：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长
任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行．
22.(本小题10分)
(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
(2)初步探究
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，∠CBD=30°，AP⊥BD于点P，连接CP，AC= 3+1
．
①∠ACD的度数为______．
②求AD长．
(3)拓展运用
如图3，在平行四边形ABCD中，F是BC边上一点，∠ABC=60°，BC=6，BF=2.按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE.过点F作FP//AB交BE于点P，过点P作PG⊥AB于点G，Q为射线BE上一动点，连接GQ，CQ，若PQ=12BP，直接写出GQCQ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
．
故选：C．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2.【答案】A
【解析】解：660万=6600000=6.6×106，
故选：A．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此求解即可．
本题考查科学记数法，关键是熟记科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
3.【答案】C
【解析】解：A、6a和2b不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意；
B、a4⋅a2=a6，故B不正确，不符合题意；
C、(ab)2=a2b2，故C正确，符合题意；
D、(b2)4=b8，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂的运算法则，即可进行解答．
本题主要考查了合并同类项和同底数幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
4.【答案】D
【解析】解：把本组数据由小到大排列，第23个数是85，
则本组数据的中位线是85，
本组数据中，80出现的次数最多，
则本组数据的众数是80，
故选：D．
根据中位线、众数的概念解答即可．
本题考查的是中位线、众数的概念，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，∠C=70°，
∴∠AED=∠C=70°，
由折叠得：∠DEF=∠AED=70°，
∴∠FEC=180°−∠AED−∠DEF=180°−70°−70°=40°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠AED=∠C=70°，根据折叠的性质求出∠DEF，进而可计算∠FEC的度数．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：解不等式x+2>1，得：x>−1，
解不等式x−22≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为−1在数轴上表示为：
故选：B．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得：x+y=250x+10y=30，
故选：A．
设买醇酒x斗，买行酒y斗，根据“醇酒一斗的价格是50钱、行酒一斗价格10钱，买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
8.【答案】D
【解析】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此选项说法错误，是假命题，不符合题意；
B、若在同一平面内，三条直线a⊥c，b⊥c，则a//b，此选项说法错误，是假命题，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此选项说法错误，是假命题，不符合题意；
D、若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0，此选项说法正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】D
【解析】解：如图：连接OC、DC、EC，则OC=OD，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴BC⊥OC，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠OCB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠OCD=90°，∠E+∠ODC=90°，
∵∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
∴∠DBC=∠CBE，
∴△DBC∽△CBE，
∴BCBE=BDBC，
由题意得：BD=9−1=8，BE=19−1=18，∠A=90°，∠ABC=30°，
∵BC= BD⋅BE= 8×18=12，
∴AC=12BC=6，
故选：D．
连接OC、DC、EC，由切线的性质得BC⊥OC，而DE是⊙O的直径，所以∠OCB=∠DCE=90°，推导出∠BCD=∠E，再证明△DBC∽△CBE，得BCBE=BDBC，因为BD=8，BE=18，所以BC= BD⋅BE=12，则AC=12BC=6，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的直径AB为4，AC=BC，
∴AC=BC=2 2，
∵点D为AC中点，
∴AD=CD= 2，
∴S△ABD=S△BDC=12S△ABC=2，
∴BD= BC2+CD2= 10，
设点D到AB的距离为ℎ，
∴S△ABD=12AB⋅ℎ=2，
即12×4ℎ=2，
解得ℎ=1，
∴点D到AB的距离为1，
同理可得点C到AB的距离为2，
当P在AB上时，AP的长为x，
∴S△CPD=S△APC−S△APD=12×2⋅x−12×1⋅x=12x(0≤x≤4)；
当P在BC上时，PC的长为：4+2 2−x，
∴S△CPD=12PC⋅CD=12× 2(4+2 2−x)=− 22x+2 2+2(4故只有选项A符合题意．
故选：A．
根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求出△ABD和△BDC的面积为2，进而得出点D到AB和点D到BC的距离，从而得出P在AC上与P在BC上时y与x的函数关系式，再进行判断即可．
此题考查动点问题的函数图象，关键是根据题意得出解析式，然后根据解析式判断函数图象．
11.【答案】−1
【解析】解：( 2+ 3)( 2− 3)
=( 2)2−( 3)2
=2−3
=−1，
∴( 2+ 3)( 2− 3)的结果为−1．
故答案为：−1．
根据平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，求出算式( 2+ 3)( 2− 3)的结果为多少即可．
此题还考查了平方差公式的应用：(a+b)(a−b)=a2−b2，要熟练掌握．
12.【答案】900
【解析】【分析】
本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的分率．
符合选拔条件的人数=该工厂总共人数×符合条件的人数所占的分率，列出算式计算即可求解．
【解答】
解：1200×300400=900．
答：该工厂1200人中符合选拔条件的人数为900．
故答案为：900．
13.【答案】9
【解析】解：∵一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=62−4m=0，
∴m=9．
故答案为：9．
根据方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根可知Δ=0，求出k的值即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，熟知当Δ=0时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：根据已知可得OA=4，∵PC是△AOB的中位线，
∴C点坐标为(2,0)，则P点坐标为(2,−1)．
设Q点坐标为(2,k2)，则PQ=k2+1，
在Rt△OCQ中利用勾股定理可得OQ2=4+k24，
因为OQ=PQ，所以OQ2=PQ2，即(k2+1)2=4+k24，
解得k=3．
故答案为3．
先根据一次函数图象及中位线定义求出C点坐标(2,0)，从而确定P点坐标，设Q点坐标(2,k2)，用k分别表示出PQ和OQ值，借助OQ=PQ构造k的方程求解．
本题主要考查了反比例函数图象上点坐标的特征以及一次函数图象点坐标求法．
15.【答案】 130
【解析】解：过点B作BH⊥AC交AC于点H，过点D作DG⊥AC交AC于点G．
设PH=x，BP=y．
∵tan∠BCD=12．
∴CH=2HP=2x．
由折叠可知，DC平分∠BCA．
∴BCBP=CHHP=21．
∴BC=2y．
在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2．
∴(x+y)2+(2x)2=(2y)2．
∴y=53x．
∴BC=103x，BH=BP+PH=53x+x=83x．
∵∠BAC=45°，BH⊥CA．
∴AH=BH=83x，CA=CH+AH=2x+83x=143x．
∴BCCA=103x143x=57=CDAD=5 2AD．
∴AD=7 2．
∴DG=AG=7．
∵CE=2．
∴EG=7+2=9．
在Rt△DEG中，DE= DG2+GE2= 72+92= 130．
构造两条高线BH，DG.在Rt△BCH和Rt△DEG中利用勾股定理解决建立方程以及三角函数来解决．
考查勾股定理，三角函数的综合应用，折叠问题与角平分线，关键在于熟悉各个知识点在题目中的灵活运用，此题比较综合，属于中等难度．
16.【答案】解：原式=2+2× 32−2 3+1
=2+ 3−2 3+1
=3− 3．
【解析】利用负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，零指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】(1)14；
(2)画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数为7，
所以两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率=716．
【解析】解：(1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为14；
故答案为：14；
(2)见答案．
(1)直接根据概率公式计算；
(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
18.【答案】89 3233 89 图象关于y轴对称
【解析】解：(1)分别将x=−2，4，(2分)别代入y=2x22x2+1，
求得y=89，3233，89，
补全该函数图象如图，
故答案为：89，3233，89．
(2)由图象可得，图象关于y轴对称．
(3)观察图象可知，k+2≥1或k+2<0，
∴k的取值范围为k≥−1或k<−2．
(1)分别代入x求出y即可，描点、连线画出函数图象；
(2)观察图象即可写出这个函数的一条性质．
(3)根据图象即可求得．
本题主要考查一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支2B涂卡铅笔的进价为(x+1)元，
依题意得：600x+1=400x，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2+1=3．
答：每支2B涂卡铅笔的进价为3元，每支0.5mm黑色水笔的进价为2元．
(2)设购进m支2B涂卡铅笔，则购进(2m+60)支0.5mm黑色水笔，
依题意得：m+2m+60≤360，
解得：m≤100．
设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，则w=(4−3)m+(2.5−2)(2m+60)=2m+30，
∵2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值=2×100+30=230，此时2m+60=2×100+60=260．
答：该商店应购进100支2B涂卡铅笔，260支0.5mm黑色水笔才能使利润最大，最大利润是230元．
【解析】(1)设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支2B涂卡铅笔的进价为(x+1)元，利用数量=总价÷单价，结合用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每支0.5mm黑色水笔的进价，再将其代入(x+1)中即可求出每支2B涂卡铅笔的进价；
(2)设购进m支2B涂卡铅笔，则购进(2m+60)支0.5mm黑色水笔，根据购进两种笔的总数量不超过360支，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围，设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每支笔的销售利润×销售数量(购进数量)，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
20.【答案】(1)证明：如图1，连接OD，OB，OC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴∠BOD=∠COD，
又∵OB=OC，
∴OD⊥BC，
∵MN//BC，
∴OD⊥MN，
∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
(2)解：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，
∵AH是直径，
∴∠ABH=90°=∠AFC，
又∵∠AHB=∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴ACAH=AFAB，
∴AB⋅AC=AH⋅AF，
∵AB=4，AC=3，AH=6，
∴AF=2．
【解析】(1)连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD=∠CAD，可得BD=CD，由等腰三角形的性质可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；
(2)连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得ACAH=AFAB，可得结论．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
21.【答案】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图2所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且过点B(10,−5)，
设抛物线的解析式为：y=ax2，
把点B(10,−5)代入得：100a=−5，
∴a=−120，
∴抛物线的函数表达式为：y=−120x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8m，
当y=−1.8时，−120x2=−1.8，
∴x=±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：−6≤x≤6；
方案一：如图3(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼，
∵−6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4>6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3<6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：−1.6×3=−4.8；
方案二：从距顶点0.8m处开始挂灯笼，如图4，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×(5−1)>6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×(4−1)<6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：−0.8−1.6×3=−5.6；
任务3：
设桥拱圆弧所在圆的圆心为M，拱顶为N，连接MA，MN，设MN交AB于C，如图：
由N为拱顶和圆的对称性可知，AC=BC=12AB=10m，∠ACB=90°，
设⊙M半径为r m，
∵AC2+CM2=AM2，
∴102+(r−5)2=r2，
解得r=12.5，
∴圆弧所在圆的半径长为12.5m；
任务4：
如图：
根据题意可知，CT=1.8+2.2=4(m)，
由任务3可知，MK=12.5m，CM=12.5−5=7.5(m)，
∴TM=CT+CM=11.5(m)，
∵TK2=MK2−TM2，
∴TK= 12．52−11．52=2 6(m)，
∴GK=2TK=4 6≈9.8(m)，
∵9.8m>9m，
∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿MN航行．
【解析】任务1：以拱顶为原点，建立如图2所示的直角坐标系，用待定系数法可得抛物线的函数表达式为：y=−120x2；
任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，可知悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8m，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：−6≤x≤6；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据−6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，可知共可挂7盏灯笼，最左边一盏灯笼的横坐标为：−1.6×3=−4.8；方案二：从距顶点0.8m处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼，最左边一盏灯笼的横坐标为：−0.8−1.6×3=−5.6；
任务3：设桥拱圆弧所在圆的圆心为M，拱顶为N，连接MA，MN，设MN交AB于C，设⊙M半径为r m，由勾股定理可得102+(r−5)2=r2，即可解得圆弧所在圆的半径长为12.5m；
任务4：画出图形，根据题意可知，CT=1.8+2.2=4(m)，TM=CT+CM=11.5(m)，由勾股定理可得GK=2TK=4 6≈9.8(m)，即可得到答案．
本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质．
22.【答案】45°
【解析】(1)证明：延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE，
则CD=12CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∵CE=AB，
∴CD=12AB；
(2)解：①∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，∠CBD=30°，
∴∠ADB=45°，∠BDC=60°，
∵AP⊥BD于点P，
∴PB=PD=PA，
∴PC=PD=PA，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠CPD=∠PCD=60°，
∴∠APC=150°，
∴∠ACP=15°，
∴∠ACD=∠PCD−∠ACD=45°，
∴∠DAC=180°−∠ACD−∠ADC=30°，
②如图2，过点D作DG⊥AC于点G，
设CG=DG=m，则AG= 3m，AD=2m，
∵AC=AG+CG，
∴m+ 3m= 3+1，
解得m=1，
∴AD=2m=2；
(3) 77或1；
过点Q作QH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BFP=180°−∠ABC=120°，
由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠FBP=12∠ABC=30°，
∵PF//AB，
∴∠ABP=∠BPF，
∴∠BPF=∠FBP，
∴PF=BF=2，
∴BP= 3BP= 3BF=2 3；
分两种情况：①如图3，当点Q在线段BP上时，过点Q作QH⊥BC于H，
∵PQ=12BP，
则Q为BP的中点，
∴GQ=PQ=12BP= 3，
在Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，
∴BH=cs∠HBQ⋅BQ= 32× 3=32，HQ=12BQ= 32，
∴CH=BC−BH=92，
在Rt△CHQ中，CQ= HQ2+CH2= ( 32)2+(92)2= 21，
∴GQCQ= 3 2= 77，
②如图4，当点Q在BP延长线上时，过Q作QH⊥BC于H，
∵BP=2 3，PQ=12PB= 3，
∴BQ=3 3，
∵PG⊥AB，
∴∠PGB=90°，
∴PG=12PB= 3，
∴PG=PQ= 3，
∴∠QGP=∠GQP=30°，
∴GQ=3，
在Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，
∴BH=cs∠HBQ⋅BQ= 32×3 3=92，HQ=12BQ=3 32，
∴CH=BC−BH=32，
在Rt△CHQ中，CQ= HQ2+CH2= (3 32)2+(32)2=3，
∴GQCQ=33=1，
综上GQCQ的值为 77或1．
(1)证延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE，求得 CD=12CE⋅根据直角三角形的性质得到AD=BD，推出四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可得到结论；
(2)①根据三角形的内角和定理得到∠ADB=45°，∠BDC=60°，根据等边三角形的判定定理得到△PDC是等边三角形，求得∠CPD=∠PCD=60°，根据等腰三角形的性质得到∠ACP=15°，根据三角形内角和定理即可得到结论；
②如图2，过点D作DG⊥AC于点G，设CG=DG=m，则AG= 3m，AD=2m，根据AC=AG+CG，列方程得到m+ 3m= 3+1，解方程即可得到结论；
(3)过点Q作QH⊥BC于点H.根据平行四边形的性质得到AB//CD，求得∠BFP=180°−∠ABC=120°，根据角平分线的定义得到∠FBP=12∠ABC=30°，根据等腰三角形的性质得到PF=BF=2，于是得到BP= 3BF=2 3⋅分两种情况：①如图3，当点Q在线段BP上时，过点Q作QH⊥BC于H，求得GQ=PQ=12BP= 3⋅②如图4，当点Q在BP延长线上时，过Q作QH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，基本作图，正确地作出辅助线是解题的关键．得分(分)
75
80
85
90
车辆(辆)
5
16
14
10
x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
a
23
0
23
c
1819
b
…
为期末加油！
2B涂卡铅笔
4元/支
0.5mm黑色水笔
2.5元/支
例：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的中线.求证：CD=12AB．
证明：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE．
…
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为( )
A.
B.
C.
D.
2.2023年上半年我国新能源汽车取得显著成绩，新能源汽车使用环境持续优化，截至6月底，全国累计建成各类充电桩超过660万台.将数据“660万”用科学记数法表示为( )
A. 6.6×106B. 6.6×105C. 660×105D. 66×105
3.下列计算正确的是( )
A. 6a+2b=8abB. a4⋅a2=a8C. (ab)2=a2b2D. (b2)4=b6
4.随着自动驾驶技术的不断发展，某知名汽车制造公司近期对研发的自动驾驶汽车进行了一次大规模的路测，有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试.测试结束后，技术部门对每辆汽车的性能进行评估(车辆的自动驾驶技术、安全性、反应速度等综合表现)，得分如下：
得分的中位数和众数分别是( )
A. 80，80B. 82.5，80C. 80，85D. 85，80
5.如图，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE//BC，若∠C=70°，则∠FEC=( )
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
6.把不等式组x+2>1,x−22≤0的解集表示在数轴上，正确的是( )
A. B.
C. D.
7.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为( )
A. x+y=250x+10y=30B. x−y=250x+10y=30
C. x+y=210x+50y=30D. x+y=210x+30y=50
8.下列命题是真命题的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 若三条直线a⊥c，b⊥c，则a//b
C. 相等的弧所对的弦相等
D. 若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0
9.如图，三角板、量角器和直尺如图摆放，三角板的斜边BC与半圆O相切于点C，点B、D、E分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角板直角边AC的长为( )
A. 5 3B. 6 3C. 5D. 6
10.如图，⊙O的直径AB为4，AC=BC，点D为AC的中点，点P沿路线A→B→C运动，连接CP，DP，设点P运动的路程为x，则△CPD的面积y随x变化的函数图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算( 2+ 3)( 2− 3)的结果为______．
12.某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查.从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么该工厂1200人中符合选拔条件的人数约为 ．
13.已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．
14.如图，一次函数y=12x−2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，点P为AB上一点且PC是△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y=kx(k>0)的图象于Q，若OQ=PQ，则k的值为______．
15.△ABC中，∠BAC=45°，D为AB上一点，BD=10 2，连接CD，将△CBD沿CD翻折至△CDF，点B的对应点F点恰好落在边AC上.延长CA至点E，连接DE，若AE=2，tan∠BCD=12，则DE长为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：(12)−1+2cs30°−|− 12|+(2024−π)0．
17.(本小题7分)
如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．
现将这4张卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为______；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．
18.(本小题8分)
初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程.下表是函数y=2x22x2+1的部分信息：
请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题：
(1)求a= ______，b= ______，c= ______，并补全函数图象；
(2)在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______；
(3)已知关于x的方程2x22x2+1=k+2无实数解，根据函数图象，直接写出k的取值范围．
19.(本小题8分)
临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．
(1)求这两种笔每支的进价分别是多少元？
(2)该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报(如下所示).该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
20.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，已知⊙O的直径为6．
(1)过点D作直线MN//BC，求证：MN是⊙O的切线；
(2)若AB=4，AC=3，求AF．
21.(本小题9分)
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m.据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
任务1：确定桥拱形状是抛物线：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长
任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨1.8m达到最高时，有一艘货船它漏出水面高2.2米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行．
22.(本小题10分)
(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
(2)初步探究
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，∠CBD=30°，AP⊥BD于点P，连接CP，AC= 3+1
．
①∠ACD的度数为______．
②求AD长．
(3)拓展运用
如图3，在平行四边形ABCD中，F是BC边上一点，∠ABC=60°，BC=6，BF=2.按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AB，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE.过点F作FP//AB交BE于点P，过点P作PG⊥AB于点G，Q为射线BE上一动点，连接GQ，CQ，若PQ=12BP，直接写出GQCQ的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
．
故选：C．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2.【答案】A
【解析】解：660万=6600000=6.6×106，
故选：A．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此求解即可．
本题考查科学记数法，关键是熟记科学记数法的一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
3.【答案】C
【解析】解：A、6a和2b不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意；
B、a4⋅a2=a6，故B不正确，不符合题意；
C、(ab)2=a2b2，故C正确，符合题意；
D、(b2)4=b8，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂的运算法则，即可进行解答．
本题主要考查了合并同类项和同底数幂的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
4.【答案】D
【解析】解：把本组数据由小到大排列，第23个数是85，
则本组数据的中位线是85，
本组数据中，80出现的次数最多，
则本组数据的众数是80，
故选：D．
根据中位线、众数的概念解答即可．
本题考查的是中位线、众数的概念，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，∠C=70°，
∴∠AED=∠C=70°，
由折叠得：∠DEF=∠AED=70°，
∴∠FEC=180°−∠AED−∠DEF=180°−70°−70°=40°，
故选：B．
根据平行线的性质可得∠AED=∠C=70°，根据折叠的性质求出∠DEF，进而可计算∠FEC的度数．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：解不等式x+2>1，得：x>−1，
解不等式x−22≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为−1
故选：B．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得：x+y=250x+10y=30，
故选：A．
设买醇酒x斗，买行酒y斗，根据“醇酒一斗的价格是50钱、行酒一斗价格10钱，买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
8.【答案】D
【解析】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，此选项说法错误，是假命题，不符合题意；
B、若在同一平面内，三条直线a⊥c，b⊥c，则a//b，此选项说法错误，是假命题，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，此选项说法错误，是假命题，不符合题意；
D、若一个数的立方根和平方根相同，那么这个数只能是0，此选项说法正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解题的关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】D
【解析】解：如图：连接OC、DC、EC，则OC=OD，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴BC⊥OC，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠OCB=∠DCE=90°，
∴∠BCD+∠OCD=90°，∠E+∠ODC=90°，
∵∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
∴∠DBC=∠CBE，
∴△DBC∽△CBE，
∴BCBE=BDBC，
由题意得：BD=9−1=8，BE=19−1=18，∠A=90°，∠ABC=30°，
∵BC= BD⋅BE= 8×18=12，
∴AC=12BC=6，
故选：D．
连接OC、DC、EC，由切线的性质得BC⊥OC，而DE是⊙O的直径，所以∠OCB=∠DCE=90°，推导出∠BCD=∠E，再证明△DBC∽△CBE，得BCBE=BDBC，因为BD=8，BE=18，所以BC= BD⋅BE=12，则AC=12BC=6，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、等角的余角相等、相似三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的直径AB为4，AC=BC，
∴AC=BC=2 2，
∵点D为AC中点，
∴AD=CD= 2，
∴S△ABD=S△BDC=12S△ABC=2，
∴BD= BC2+CD2= 10，
设点D到AB的距离为ℎ，
∴S△ABD=12AB⋅ℎ=2，
即12×4ℎ=2，
解得ℎ=1，
∴点D到AB的距离为1，
同理可得点C到AB的距离为2，
当P在AB上时，AP的长为x，
∴S△CPD=S△APC−S△APD=12×2⋅x−12×1⋅x=12x(0≤x≤4)；
当P在BC上时，PC的长为：4+2 2−x，
∴S△CPD=12PC⋅CD=12× 2(4+2 2−x)=− 22x+2 2+2(4
故选：A．
根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求出△ABD和△BDC的面积为2，进而得出点D到AB和点D到BC的距离，从而得出P在AC上与P在BC上时y与x的函数关系式，再进行判断即可．
此题考查动点问题的函数图象，关键是根据题意得出解析式，然后根据解析式判断函数图象．
11.【答案】−1
【解析】解：( 2+ 3)( 2− 3)
=( 2)2−( 3)2
=2−3
=−1，
∴( 2+ 3)( 2− 3)的结果为−1．
故答案为：−1．
根据平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，求出算式( 2+ 3)( 2− 3)的结果为多少即可．
此题还考查了平方差公式的应用：(a+b)(a−b)=a2−b2，要熟练掌握．
12.【答案】900
【解析】【分析】
本题考查了用样本估计总体，关键是得到符合条件的人数所占的分率．
符合选拔条件的人数=该工厂总共人数×符合条件的人数所占的分率，列出算式计算即可求解．
【解答】
解：1200×300400=900．
答：该工厂1200人中符合选拔条件的人数为900．
故答案为：900．
13.【答案】9
【解析】解：∵一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=62−4m=0，
∴m=9．
故答案为：9．
根据方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根可知Δ=0，求出k的值即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，熟知当Δ=0时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：根据已知可得OA=4，∵PC是△AOB的中位线，
∴C点坐标为(2,0)，则P点坐标为(2,−1)．
设Q点坐标为(2,k2)，则PQ=k2+1，
在Rt△OCQ中利用勾股定理可得OQ2=4+k24，
因为OQ=PQ，所以OQ2=PQ2，即(k2+1)2=4+k24，
解得k=3．
故答案为3．
先根据一次函数图象及中位线定义求出C点坐标(2,0)，从而确定P点坐标，设Q点坐标(2,k2)，用k分别表示出PQ和OQ值，借助OQ=PQ构造k的方程求解．
本题主要考查了反比例函数图象上点坐标的特征以及一次函数图象点坐标求法．
15.【答案】 130
【解析】解：过点B作BH⊥AC交AC于点H，过点D作DG⊥AC交AC于点G．
设PH=x，BP=y．
∵tan∠BCD=12．
∴CH=2HP=2x．
由折叠可知，DC平分∠BCA．
∴BCBP=CHHP=21．
∴BC=2y．
在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2．
∴(x+y)2+(2x)2=(2y)2．
∴y=53x．
∴BC=103x，BH=BP+PH=53x+x=83x．
∵∠BAC=45°，BH⊥CA．
∴AH=BH=83x，CA=CH+AH=2x+83x=143x．
∴BCCA=103x143x=57=CDAD=5 2AD．
∴AD=7 2．
∴DG=AG=7．
∵CE=2．
∴EG=7+2=9．
在Rt△DEG中，DE= DG2+GE2= 72+92= 130．
构造两条高线BH，DG.在Rt△BCH和Rt△DEG中利用勾股定理解决建立方程以及三角函数来解决．
考查勾股定理，三角函数的综合应用，折叠问题与角平分线，关键在于熟悉各个知识点在题目中的灵活运用，此题比较综合，属于中等难度．
16.【答案】解：原式=2+2× 32−2 3+1
=2+ 3−2 3+1
=3− 3．
【解析】利用负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，零指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】(1)14；
(2)画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数为7，
所以两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率=716．
【解析】解：(1)第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为14；
故答案为：14；
(2)见答案．
(1)直接根据概率公式计算；
(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
18.【答案】89 3233 89 图象关于y轴对称
【解析】解：(1)分别将x=−2，4，(2分)别代入y=2x22x2+1，
求得y=89，3233，89，
补全该函数图象如图，
故答案为：89，3233，89．
(2)由图象可得，图象关于y轴对称．
(3)观察图象可知，k+2≥1或k+2<0，
∴k的取值范围为k≥−1或k<−2．
(1)分别代入x求出y即可，描点、连线画出函数图象；
(2)观察图象即可写出这个函数的一条性质．
(3)根据图象即可求得．
本题主要考查一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支2B涂卡铅笔的进价为(x+1)元，
依题意得：600x+1=400x，
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1=2+1=3．
答：每支2B涂卡铅笔的进价为3元，每支0.5mm黑色水笔的进价为2元．
(2)设购进m支2B涂卡铅笔，则购进(2m+60)支0.5mm黑色水笔，
依题意得：m+2m+60≤360，
解得：m≤100．
设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，则w=(4−3)m+(2.5−2)(2m+60)=2m+30，
∵2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值=2×100+30=230，此时2m+60=2×100+60=260．
答：该商店应购进100支2B涂卡铅笔，260支0.5mm黑色水笔才能使利润最大，最大利润是230元．
【解析】(1)设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支2B涂卡铅笔的进价为(x+1)元，利用数量=总价÷单价，结合用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每支0.5mm黑色水笔的进价，再将其代入(x+1)中即可求出每支2B涂卡铅笔的进价；
(2)设购进m支2B涂卡铅笔，则购进(2m+60)支0.5mm黑色水笔，根据购进两种笔的总数量不超过360支，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围，设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每支笔的销售利润×销售数量(购进数量)，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
20.【答案】(1)证明：如图1，连接OD，OB，OC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴∠BOD=∠COD，
又∵OB=OC，
∴OD⊥BC，
∵MN//BC，
∴OD⊥MN，
∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
(2)解：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，
∵AH是直径，
∴∠ABH=90°=∠AFC，
又∵∠AHB=∠ACF，
∴△ACF∽△AHB，
∴ACAH=AFAB，
∴AB⋅AC=AH⋅AF，
∵AB=4，AC=3，AH=6，
∴AF=2．
【解析】(1)连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD=∠CAD，可得BD=CD，由等腰三角形的性质可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；
(2)连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得ACAH=AFAB，可得结论．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
21.【答案】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图2所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且过点B(10,−5)，
设抛物线的解析式为：y=ax2，
把点B(10,−5)代入得：100a=−5，
∴a=−120，
∴抛物线的函数表达式为：y=−120x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8m，
当y=−1.8时，−120x2=−1.8，
∴x=±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：−6≤x≤6；
方案一：如图3(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼，
∵−6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4>6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3<6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：−1.6×3=−4.8；
方案二：从距顶点0.8m处开始挂灯笼，如图4，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×(5−1)>6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×(4−1)<6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：−0.8−1.6×3=−5.6；
任务3：
设桥拱圆弧所在圆的圆心为M，拱顶为N，连接MA，MN，设MN交AB于C，如图：
由N为拱顶和圆的对称性可知，AC=BC=12AB=10m，∠ACB=90°，
设⊙M半径为r m，
∵AC2+CM2=AM2，
∴102+(r−5)2=r2，
解得r=12.5，
∴圆弧所在圆的半径长为12.5m；
任务4：
如图：
根据题意可知，CT=1.8+2.2=4(m)，
由任务3可知，MK=12.5m，CM=12.5−5=7.5(m)，
∴TM=CT+CM=11.5(m)，
∵TK2=MK2−TM2，
∴TK= 12．52−11．52=2 6(m)，
∴GK=2TK=4 6≈9.8(m)，
∵9.8m>9m，
∴能顺利通行，船航行线路是船的中心线沿MN航行．
【解析】任务1：以拱顶为原点，建立如图2所示的直角坐标系，用待定系数法可得抛物线的函数表达式为：y=−120x2；
任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，可知悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8m，即可知悬挂点的横坐标的取值范围是：−6≤x≤6；方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，根据−6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，可知共可挂7盏灯笼，最左边一盏灯笼的横坐标为：−1.6×3=−4.8；方案二：从距顶点0.8m处开始挂灯笼，可知共可挂8盏灯笼，最左边一盏灯笼的横坐标为：−0.8−1.6×3=−5.6；
任务3：设桥拱圆弧所在圆的圆心为M，拱顶为N，连接MA，MN，设MN交AB于C，设⊙M半径为r m，由勾股定理可得102+(r−5)2=r2，即可解得圆弧所在圆的半径长为12.5m；
任务4：画出图形，根据题意可知，CT=1.8+2.2=4(m)，TM=CT+CM=11.5(m)，由勾股定理可得GK=2TK=4 6≈9.8(m)，即可得到答案．
本题考查了二次函数和圆的综合应用，解题的关键是能把实际问题转化为数学问题，掌握二次函数，圆的相关性质．
22.【答案】45°
【解析】(1)证明：延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE，
则CD=12CE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∵CE=AB，
∴CD=12AB；
(2)解：①∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，∠CBD=30°，
∴∠ADB=45°，∠BDC=60°，
∵AP⊥BD于点P，
∴PB=PD=PA，
∴PC=PD=PA，
∴△PDC是等边三角形，
∴∠CPD=∠PCD=60°，
∴∠APC=150°，
∴∠ACP=15°，
∴∠ACD=∠PCD−∠ACD=45°，
∴∠DAC=180°−∠ACD−∠ADC=30°，
②如图2，过点D作DG⊥AC于点G，
设CG=DG=m，则AG= 3m，AD=2m，
∵AC=AG+CG，
∴m+ 3m= 3+1，
解得m=1，
∴AD=2m=2；
(3) 77或1；
过点Q作QH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BFP=180°−∠ABC=120°，
由作图可知，BE平分∠ABC，
∴∠FBP=12∠ABC=30°，
∵PF//AB，
∴∠ABP=∠BPF，
∴∠BPF=∠FBP，
∴PF=BF=2，
∴BP= 3BP= 3BF=2 3；
分两种情况：①如图3，当点Q在线段BP上时，过点Q作QH⊥BC于H，
∵PQ=12BP，
则Q为BP的中点，
∴GQ=PQ=12BP= 3，
在Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，
∴BH=cs∠HBQ⋅BQ= 32× 3=32，HQ=12BQ= 32，
∴CH=BC−BH=92，
在Rt△CHQ中，CQ= HQ2+CH2= ( 32)2+(92)2= 21，
∴GQCQ= 3 2= 77，
②如图4，当点Q在BP延长线上时，过Q作QH⊥BC于H，
∵BP=2 3，PQ=12PB= 3，
∴BQ=3 3，
∵PG⊥AB，
∴∠PGB=90°，
∴PG=12PB= 3，
∴PG=PQ= 3，
∴∠QGP=∠GQP=30°，
∴GQ=3，
在Rt△BHQ中，∠HBQ=30°，
∴BH=cs∠HBQ⋅BQ= 32×3 3=92，HQ=12BQ=3 32，
∴CH=BC−BH=32，
在Rt△CHQ中，CQ= HQ2+CH2= (3 32)2+(32)2=3，
∴GQCQ=33=1，
综上GQCQ的值为 77或1．
(1)证延长CD到点E，使DE=CD，连接AE，BE，求得 CD=12CE⋅根据直角三角形的性质得到AD=BD，推出四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质即可得到结论；
(2)①根据三角形的内角和定理得到∠ADB=45°，∠BDC=60°，根据等边三角形的判定定理得到△PDC是等边三角形，求得∠CPD=∠PCD=60°，根据等腰三角形的性质得到∠ACP=15°，根据三角形内角和定理即可得到结论；
②如图2，过点D作DG⊥AC于点G，设CG=DG=m，则AG= 3m，AD=2m，根据AC=AG+CG，列方程得到m+ 3m= 3+1，解方程即可得到结论；
(3)过点Q作QH⊥BC于点H.根据平行四边形的性质得到AB//CD，求得∠BFP=180°−∠ABC=120°，根据角平分线的定义得到∠FBP=12∠ABC=30°，根据等腰三角形的性质得到PF=BF=2，于是得到BP= 3BF=2 3⋅分两种情况：①如图3，当点Q在线段BP上时，过点Q作QH⊥BC于H，求得GQ=PQ=12BP= 3⋅②如图4，当点Q在BP延长线上时，过Q作QH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，基本作图，正确地作出辅助线是解题的关键．得分(分)
75
80
85
90
车辆(辆)
5
16
14
10
x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
a
23
0
23
c
1819
b
…
为期末加油！
2B涂卡铅笔
4元/支
0.5mm黑色水笔
2.5元/支
例：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD是斜边AB上的中线.求证：CD=12AB．
证明：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE．
…
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