2024年山东省聊城市高唐县中考数学二模试卷

这是一份2024年山东省聊城市高唐县中考数学二模试卷，共23页。试卷主要包含了3mB，整数a等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果水位下降0.3m时水位变化记作−0.3m，那么水位不升不降时水位变化记作( )
A. +0.3mB. −0.3mC. 0mD. ±0.3m
2.光明中学新校区建成之际，施工方在墙角处留下一堆沙子(如图所示，两面墙互相垂直)这堆沙子的主视图是( )
A. B.
C. D.
3.2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps表示每秒传输10000000000位(bit)的数据.将10000000000用科学记数法表示应为( )
A. 0.1×1011B. 1×1010C. 1×1011D. 10×109
4.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中.图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为( )
A. 22.5°B. 45°C. 60°D. 135°
5.整数a.满足 11A. 3B. 4C. 5D. 6
6.为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有( )
A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种
7.如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点E，交AD于点F，若BE=3，AF=5，则矩形的周长为( )
A. 24
B. 12
C. 8
D. 36
8.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2−4ac=0时，方程的解为( )
A. x1=b2a，x2=−b2aB. x1=ba，x2=−ba
C. x1=x2=b2aD. x1=x2=−b2a
9.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠A=60°，BC=2 3，则⊙O的半径长为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(−2,0)，对称轴为直线x=1，下列结论中：①a−b+c>0；②若点(−3,y1)，(2,y2)，(6,y3)均在该二次函数图象上，则y14；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤−9a.正确结论的序号为( )
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①③
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：2x2−2= ．
12.如图是测量一物体体积的过程：

步骤一：将180cm3的水装进一个容量为300cm3的杯子中；
步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出．
根据以上过程，请你推测一颗玻璃球的体积x(cm3)所在的范围是______．
13.观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，⋯根据其中的规律可得70+71+72+⋯+72024的结果的个位数字是______．
14.如图1，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为3m，宽为2m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为______m2．
15.如图，从一块半径为3m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为______m2．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：−14+(13)−1× 27−6cs30°；
(2)解方程：x+32x−1=35．
18.(本小题7分)
女生小雅打算在立定跳远与跳绳两个项目中选择一项作为体育中考项目，学校共组织了5次测试，小雅的成绩见表1、表2.某市体育中考女生跳跃类评分标准(部分)如表所示，(考试成绩未达上限，均按下限评分)：
表1
表2
(1)写出a，b的值，并分别求出小雅立定跳远成绩的平均数和跳绳成绩的众数．
(2)若你是小雅，你会选择哪个项目作为中考项目？请结合小雅的测试成绩，给出你的建议，并简述理由．
19.(本小题8分)
综合与实践：
问题情境
在综合实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动，如图1，将一张正方形纸片ABCD沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，点O是对角线BD的中点操作探究：
(1)将图1中的△BCD沿DA方向平移，点D的对应点为D′，点B的对应点为B’，点O的对应点为O′，B′D′与AB交于点P，D′C′与BD交于点Q，得到图2，则四边形D′PBQ的形状是什么形状？______(填写在横线处)
(2)“探究小组”的同学将图1中的△BCD以点D为旋转中心，按顺时针方向旋转45°，得到△B′C′D，点O的对应点为O′，B′C′与AB交于点E，连接MO，O′C′交于点F，得到图3他们认为四边形AEC′F是菱形，“探究小组”的发现是否正确？请你说明理由．
20.(本小题8分)
如图，反比例函数y=mx(x>0)的图象与一次函数y=kx+4的图象在第一象限交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为A，一次函数y=kx+4的图象分别交x轴、y轴于点C，D，且S△OCD=2，OA=2OC．
(1)点D的坐标为______；
(2)求一次函数的解析式及m的值；
(3)直接写出当x>0时，关于x的不等式kx+4>mx的解集．
21.(本小题8分)
如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA=20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB、BO、AO构成一个三角形.当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时(如图)，窗户打开的角∠AOB的度数为37°．

(1)求点A到OF的距离AD的长；
(2)求窗钩AB的长度(精确到1cm).(参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75)
22.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且AD=CD，连接BC并延长与过点D的⊙O的切线相交于点E，连接OD．
(1)证明：OD平分∠ADC；
(2)若DE=4，tanB=43，求CD的长．
23.(本小题12分)
抛物线y=ax2+bx−4a经过A(−1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线、直线BC的函数解析式；
(2)在直线BC上方抛物线上是否存在一点P，使得△PBC的面积达到最大，若存在则求这个最大值及P点坐标，若不存在则说明理由；
(3)点E为抛物线上一动点，点F为x轴上一动点，当以A，C，F，E为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点E的坐标．
24.(本小题12分)
【问题提出】
(1)如图①，在正方形ABCD中，点E在DC边上，连接BE，AF⊥BE，垂足为点G，交BC于点F.请判断AF与BE的数量关系，并说明理由．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形ABCD中，ABBC=34，点E在DC边上，连接BE，AF⊥BE，垂足为点G，交BC于点F.求AFBE的值．
【拓展应用】
(3)如图③，在(2)的条件下，平移线段AF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若MN=3 5，sin∠ENC=45，则BC的长为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：水位不升不降是水位变化记作0m．
答案为：C．
正数和负数表示一对相反的量，0是分界点，已知水位下降为负，可知上升为正，可知道水位不升不降的意义．
本题考查了相反意义的量的表示，0的意义．关键是实际问题中0的意义．
2.【答案】B
【解析】解：由图可知，该几何体的主视图是
，
故选：B．
根据从正面看几何体得到的图形是主视图进行判断即可．
本题考查几何体的三视图，理解三视图的概念是关键．
3.【答案】B
【解析】解：10000000000=1×1010．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360°，
∴它的一个外角∠1=360°÷8=45°．
故选：B．
由多边形的外角和定理和正多边形的性质直接可求出结论．
本题主要考查了多边形外角和定理，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵11<16<21，
∴ 11< 16< 21，
∴ 11<4< 21，
∵整数a.满足 11∴a=4，
故选：B．
根据平方数进行计算，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，
根据题意得10x+20y=150，
∴x=15−2y，
∵15−2y>0，
∴y<7.5，
∵y是正整数，
∴y的值为1，2，3，4，5，6，7，
即截取方案共有7种．
故选：C．
设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，根据“长度为150cm的导线”列出二元一次方程，求正整数解即可．
本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠FAC=∠ECA，
根据作图过程可知：
MN是AC的垂直平分线，
∴∠FOA=∠EOC=90°，AO=CO，
在△AFO和△CEO中，
∠FAC=∠ECA∠FOA=∠EOCAO=CO，
∴△AFO≌△CEO(AAS)，
∴AF=CE，
连接AE，
∵AE=CE，
∴AE=CE=AF=5，
∴BC=BE+CE=3+5=8，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
AB= AE2−BE2=4，
∴矩形的周长为2(AB+BC)=2(4+8)=24．
故选：A．
根据作图过程可得，MN是AC的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明△AFO≌△CEO，可得AF=CE=AE=5，再根据勾股定理可得AB的长，进而可得矩形的周长．
本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
8.【答案】D
【解析】解：∵b2−4ac=0，
∴方程有两个相等的实数解，
∵x=−b± b2−4ac2a，
∴方程的解为x1=x2=−b2a．
故选：D．
利用判别式的意义得到方程有两个相等的实数解，然后根据一元二次方程的求根公式得到方程的解．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了公式法解一元二次方程．
9.【答案】C
【解析】解：作⊙O的直径BD，连接CD，则∠BCD=90°，
∵∠D=∠A，且∠A=60°，
∴∠D=60°，
∴∠CBD=90°−∠D=30°，
∴CD=OD=12BD，
∵CDBC=tan30°= 33，且BC=2 3，
∴CD=OD= 33BC= 33×2 3=2，
∴⊙O的半径长为2，
故选：C．
作⊙O的直径BD，连接CD，则∠BCD=90°，因为∠D=∠A=60°，所以∠CBD=30°，则CD=OD=12BD，由CDBC=tan30°= 33，得CD=OD= 33BC=2，于是得到问题的答案．
此题重点考查圆周角定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意，∵对称轴是直线x=1，a<0，
∴当x<1时，y随x的增大而增大．
∵−2<−1，抛物线过点(−2,0)，
∴当x=−1时y=a−b+c>0，故①正确．
∵a<0，
∴抛物线开口向下．
又点(−3,y1)，(2,y2)，(6,y3)均在该二次函数图象上，且点(6,y3)到对称轴的距离最大，点(2,y2)到对称轴的距离最小，
∴y3∵方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1，x2，
∴抛物线与直线y=−1的交点的横坐标为x1，x2．
由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为(4,0)，
∴抛物线与x轴交点坐标为(−2,0)，(4,0)，
∵抛物线开口向下，x1∴x1<−2，x2>4，故③正确．
∵−b2a=1，
∴b=−2a．
∵4a−2b+c=0，
∴c=2b−4a=−8a，
∵抛物线的最大值为a+b+c，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c=a−2a−8a=−9a，
∴am2+bm+c⩽−9a，故④正确．
故选：B．
依据题意，由抛物线经过(−2,0)，再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③，由x=1时y取最大值可判断④．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11.【答案】2(x+1)(x−1)
【解析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
解：原式=2(x2−1)=2(x+1)(x−1)．
故答案为：2(x+1)(x−1)．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12.【答案】30【解析】解：由题意可知3x<300−1804x>300−180，
解得：30故答案为：30根据已知条件列出不等值，解不等式组的解集即可求得．
本题主要考查不等式组的应用，解题的关键是找出不等关系．
13.【答案】1
【解析】解：∵70=1，其个位数字是1，
71=7，其个位数字是7，
72=49，其个位数字是9，
73=343，其个位数字是3，
74=2401，其个位数字是1，
75=16807，其个位数字是7，
⋯，
∴7n的其个位数字是按1，7，9，3这4个数字循环出现，
∵(2024+1)÷4=2025÷4=506…1，
∵(1+7+9+3)×506+1
=20×506+1
=10120+1
=10121，
∴70+71+72+⋯+72024的结果的个位数字是1，
故答案为：1．
先根据计算结果归纳出7n的尾数特征，再运用该规律进行计算．
此题考查了算式规律问题的解决能力，关键是能根据前几个算式准确归纳出该类算式的规律．
14.【答案】2.1
【解析】解：据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为3×2=6(m2)，
设不规则图案的面积为x，
则x6=0.35，
解得：x=2.1，
∴不规则图案的面积约为2.1m2，
故答案为：2.1．
根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为x，再根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积=小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．
15.【答案】9
【解析】解：如图，连接BC，OA，
∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，
∴BC=2×3=6m，
∴AB= 22BC=3 2m，
∴S扇形ABC=90π×(3 2)2360=92π(m2)，
∴S弓形BDC=S扇形ABC−S△ABC=92π−12BC⋅OA=92π−12×6×3=(92π−9)m2，
∴S阴影=S圆−S弓形BDC−S半圆BAC=π×32−(92π−9)−12π×32=9(m2)，
故答案为：9．
根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，即BC=6m，根据等腰直角三角形的性质得AB=3 2m，然后根据S阴影=S圆−S弓形BDC−S半圆BAC即可求解．
本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：．
16.【答案】4 2−1
【解析】解：∵EF=2，点G为EF的中点，
∴DG=1，
∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，PA′，
∵PA′+PG+DG≥A′D，
∴当D，G，P，A′共线时，PA+PG=PA′+PG的值最小，
∵AB=2，AD=4，
∴AA′=4，
∴A′D=4 2，
∴PA+PG≥A′D−DG=4 2−1；
∴PA+PG的最小值为4 2−1；
故答案为：4 2−1．
因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，PA′，由PA′+PG+DG≥A′D，推出当D，G，P，A′共线时，PA+PG=PA′+PG的值最小，根据勾股定理求得A′D=5，从而得出PA+PG的最小值．
本题考查了轴对称−最短路线问题，判断出G点的位置是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=−1+3×3 3−6× 32
=−1+9 3−3 3
=−1+6 3；
(2)去分母得：5x+15=6x−3，
解得：x=18，
经检验x=18是分式方程的解．
【解析】(1)根据乘方的意义、负整数指数幂的意义，立方根的定义以及特殊锐角三角函数值进行计算即可；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握分式方程的解法及运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)根据考试成绩未达上限，均按下限评分的原则，
可知立定跳远为1.90米时，她的成绩为8分；
当跳绳成绩为173次时，她的成绩为8.5分；
(6.5+8+8+9.5+10)÷5=8.4(分)，所以跳远成绩的平均分为8.4；
将跳绳成绩从小到大排序为：8.5、8.5、8.5、8.5、9，
成绩为8.5分出现的次数最多，
所以跳绳成绩的众数为8.5．
(2)若我是小雅，你会选择跳绳作为中考项目，
这是因为跳绳成绩平均分大于跳远成绩，且跳绳成绩的数据比跳远成绩的数据波动小，更稳定(答案不唯一)．
【解析】(1)根据表格，将小雅立定跳远的距离和跳绳的次数与评分标准进行对比，即可求出a、b的值；再根据平均数和众数的概念，即可解答．
(2)结合数据，合理分析即可．
此题考查了平均数，中位数，众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】(1)平行四边形
(2))∵四边形ABCD为正方形，∠ADB=∠CDB=45°，
∴将△BCD以点D为旋转中心，顺时针旋转45°后，点C′落在BD上，点B′落在DA的延长线上．
∵AB⊥AD，C′O′⊥AD，
∴AB//O′C′．
∵B′C′⊥BD，AO⊥BD，
∴B′C′//AO．
∴四边形AEC′F是平行四边形．
∵BD=B′D′，AD=C′D，
∴AB′=BC′，
又∵∠EAB′=∠EC′B，∠B=∠B′=45°，
∴△AB′E≌△C′BE(AAS)，
∴AE=EC′，
∴四边形AEC′F菱形．
【解析】解：(1)∵△B′C′D′是△BCD平移得到，
∴B′D′//BD，AB//C′D′，
∴PB//QD′，PD′//BQ，
∴四边形PBQD′是平行四边形，
故答案为平行四边形；
(2)见答案
(1)利用平移的性质直接得出结论；
(2)先利用旋转的性质和正方形的性质得出四边形AEC′F是平行四边形，再判断出△AB′E≌△C′BE即可得出结论；
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平移，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解(1)的关键是利用平移的性质，解(2)的关键是判断出四边形AEC′F是平行四边形．
20.【答案】(0,4)
【解析】解：(1)将x=0代入y=kx+4得，
y=4，
所以点D的坐标为(0,4)．
故答案为：(0,4)．
(2)因为S△OCD=2，且OD=4，
所以OC=1，
则点C的坐标为(−1,0)．
将点C坐标代入一次函数解析式得，
−k+4=0，
解得k=4，
所以一次函数的解析式为y=4x+4．
又因为OA=2OC，
所以OA=2．
因为∠DOA=90°，PA⊥x轴，
所以△CDO∽△CPA，
所以ODPA=COCA=13，
所以PA=3OD=12，
则点P的坐标为(2,12)．
将点P坐标代入反比例函数解析式得，
m=2×12=24．
(3)由函数图象可知，
当x>2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即kx+4>mx，
所以不等式kx+4>mx的解集为x>2．
(1)将x=0代入一次函数解析式即可求出点D的坐标．
(2)根据△OCD的面积及OD的长，可求出点C的坐标，进而求出一次函数解析式，再求出点P坐标即可求出m的值．
(3)利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知一次函数和反比例函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意，可知∠AOB=37°，OA=20cm，OB=7cm，AD⊥OF，
在Rt△OAD中，
AD=AO⋅sin∠AOD=20×sin37°≈12(cm)，
∴点A到OF的距离AD的长为12cm；
(2)在Rt△OAD中，
OD=AO⋅cs∠AOD=20×sin37°≈16(cm)，
∵OB=7，
∴BD=OD−OB=9(cm)，
在Rt△ABD中，AB= AH2+BH2= 122+92=15(cm)，
∴窗钩AB的长度约等于15cm．
【解析】(1)在Rt△OAD中，根据AD=AO⋅sin∠AOD，即可求得AD；
(2)在Rt△OAD中，根据OD=AO⋅cs∠AOD，再根据BD=OD−OB，求出BD，然后根据勾股定理即可求出AB
本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
22.【答案】(1)证明：连接AC交OD于点F，如图，
∵AD=CD，
∴OD⊥AC且AF=CF，AD=DC，
∴OD平分∠ADC；
(2)解：∵AB为⊙O的直径，
∠ACB=90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
由(1)知，∠CFD=90°，
∴四边形DECF为矩形，
∴CF=DE=4，
∴AC=2CF=8，
在Rt△ACB中，∵tanB=ACBC=43，
∴BC=34×8=6，
∴AB= BC2+AC2= 62+82=10，
∴OD=5，
∵OA=OB，AF=CF，
∵OF是△ABC的中位线，
∴OF=12BC=3，
∴DF=OD−OF=2，
在Rt△CDF中，CD= 22+42=2 5．
【解析】(1)连接AC交OD于点F，如图，根据垂径定理的推论和圆心角、弧、弦的关系得到OD⊥AC且AF=CF，AD=DC，然后根据等腰三角形的“三线合一”得到OD平分∠ADC；
(2)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，利用切线的性质得到∠ODE=90°，则可判断四边形DECF为矩形，所以CF=DE=4，则AC=8，再利用正切的定义计算出BC=6，则利用勾股定理可计算出AB=10，从而得到OD=5，然后利用OF是△ABC的中位线得到OF=3，所以DF=2，最后利用勾股定理可计算出CD的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的性质、垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
23.【答案】解：(1)依题意，有：a−b−4a=0−4a=4，
解得：a=−1b=3．
∴抛物线的解析式：y=−x2+3x+4．
∴由B(4,0)、C(0,4)可知，直线BC：y=−x+4；
(2)存在，理由：
由B(4,0)、C(0,4)可知，直线BC：y=−x+4；
如图，过点P作PQ/​/y轴，交直线BC于Q，设P(x,−x2+3x+4)，则Q(x,−x+4)；

∴PQ=(−x2+3x+4)−(−x+4)=−x2+4x；
S△PCB=12PQ⋅OB=12×(−x2+4x)×4=−2(x−2)2+8；
∴当P(2,6)时，△PCB的面积最大，最大值为8；
(3)设点F(x,0)、点E(m,−m2+3m+4)，
当AC为对角线时，
由中点坐标公式得：4=−m2+3m+4，
解得：m=0(舍去)或3，
即点E(3,4)；
当AF或AE为对角线时，
同理可得：0=−m2+3m+4或4=−m2+3m+4，
解得：m=3± 412或0(舍去)或3，
即点E的坐标为：(3+ 412,4)或(3− 412,4)或(3,4)；
综上，点E的坐标为：(3+ 412,4)或(3− 412,4)或(3,4)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由S△PCB=12PQ⋅OB=12×(−x2+4x)×4=−2(x−2)2+8，即可求解；
(3)当AC为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当AF或AE为对角线时，同理可解．
本题为二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
24.【答案】8
【解析】解：(1)AF=BE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
∵AF⊥BE，
∴∠BAG+∠ABG=90°，∠ABG+∠CBE=90°，
∴∠BAG=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
∠BAF=∠CBEAB=BC∠ABF=∠BCE，
∴△ABF≌△BCE(ASA)，
∴AF=BE；
(2)∵AF⊥BE，
∴∠BAF+∠ABE=90°．
在矩形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，
∴∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
∴△ABF∽△BCE，
∴ABBC=AFBE，
∵ABBC=34，
∴AFBE=34；
(3)由平移的性质可得MN/​/AF，MN=AF，
∴MN⊥BE，MNBE=34，
∴MN=3 5，
∴BE=4 5，
∵点H为BE的中点，
∴MN垂直平分BE，
∴BN=NE，
∵sin∠ENC=CENE=45，
∴可设BN=EN=5x，CE=4x，
∴CN= NE2−CE2=3x，
∴BC=BN+CN=8x，
在Rt△EBC中，由勾股定理得BE2=BC2+CE2，
∴(4 5)2=(4x)2+(8x)2，
解得x=1或x=−1(舍去)，
∴BC=8x=8．
故答案为：8．
(1)证明△ABF≌△BCE(ASA)，得出AF=BE；
(2)证明△ABF∽△BCE，得出ABBC=AFBE，则可得出答案；
(3)由平移的性质可得MN/​/AF，MN=AF，由勾股定理可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．立定跳远
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
距离(米)
1.78
1.88
1.90
1.98
2.00
成绩(分)
6.5
8
a
9.5
10
跳绳
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
次数(次)
172
178
173
174
172
成绩(分)
8.5
9
b
8.5
8.5
项目成绩(分)
立定跳远(米)
跳绳(次/分)
10
2.00
185
9.5
1.97
180
9
1.94
175
8.5
1.91
170
8
1.88
165
7.5
1.84
160
7
1.80
155
6.5
1.76
150
6
1.72
145