初中数学北师大版八年级下册3 公式法第1课时教案

这是一份初中数学北师大版八年级下册3 公式法第1课时教案，共7页。教案主要包含了归纳总结等内容，欢迎下载使用。
第1课时 利用平方差公式因式分解
课题
第1课时 利用平方差公式因式分解
授课类型
新授课
授课人
教学内容
课本P99-101
教学目标
1．知识与技能：
（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解
2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．
3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
教学重难点
重点：会用平方差公式进行因式分解.
难点：公式中的a,b为多项式时的因式分解.
教学准备
多媒体
教与学互动设计（教学过程）
设计意图
1.创设情景，导入新课
展示生活中的数学问题：
请你帮帮忙：我校有一块边长为a=6.6m的正方形空地，为美化校园，现要在四角均留出一个边长为b=1.7m的正方形建花坛，其余地方种草，问草坪的面积有多大呢？
师生活动：教师出示问题，学生讨论交流，自主回答，然后教师引出课题。
这就是我们今天要研究的内容——利用平方差公式因式分解.（板书课题：第1课时 利用平方差公式因式分解）
数学来源于实际生活，使学生感受到生活中处处有数学。以实际问题引入，体现运用意识，激发学生学习兴趣.引出利用平方差公式因式分解的课题.
2.实践探究，学习新知
【探究1】探究平方差公式的因式分解
教师提问：
1.我们在学习整式乘法时所学习的平方差公式用字母是如何表示的？
2.填空：
（1）（x+5）（x–5）= ；
（2）（3x+y）（3x–y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
教师追问：
1.它们的结果有什么共同特征？
2.尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流.
教师引导：如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，你能发现有什么特点？
学生总结：如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，就得到a²-b²=（a+b）（a-b），特点是将一个多项式转化成了两个因式的乘积的形式。
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。
2.如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，就得到a²-b²=（a+b）（a-b）.
（1）该公式左边是一个将要被因式分解的多项式.
特点：被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成
( )2－( )2的形式.
（2）该公式右边是因式分解的结果.
特点：分解的结果是两个底数的和乘两个底数的差的形式.
【探究2】例题讲解
例 把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2；(2) 2x3－8x.
解：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝ [3(m＋n)＋(m－n)] [3(m＋n)－(m－n)]
＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n);
(2)2x3－8x＝2x(x2－4) ＝ 2x(x2－22) ＝2x (x＋2)(x－2).
教师提问：
1.公式a²-b²=（a+b）（a-b）中的a与b可以是多项式吗？
2.根据上面的例题，尝试总结因式分解的步骤.
学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.
【归纳总结】师生共同讨论，归纳如下：
1.公式a²-b²=（a+b）（a-b）中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式.
2.分解因式的一般步骤：一提二套，即当多项式的各项含有公因式时，通常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.
学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。
进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。总结分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
3.学以致用，应用新知
考点1 用平方差公式分解因式
例 下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．1﹣a2 B．x2﹣25
C．a2b2﹣m2n2 D．﹣a2﹣9b2
答案：D
变式训练 已知a+b＝100，a﹣b＝3，则代数式2a2﹣2b2的值为 ．
答案：600
考点2 用平方差公式分解因式的应用
例 一个三角形的三边长a，b，c满足（a2﹣c2）+b2（a2﹣c2）＝0，则这个三角形的形状是 ．
答案：等腰三角形
变式训练 小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：勤，健，奋，美，励，志，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息应是（ ）
A．勤奋健美 B．健美励志
C．励志勤奋 D．勤奋励志
答案：A
通过例题讲解，巩固理解用平方差公式分解因式的方法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
通过变式训练巩固所学知识，灵活运用平方差公式进行因式分解。
4.随堂训练，巩固新知
1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn
C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+25
答案：D
2.小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式a2﹣□b2中“□”的部分，若该二项式能分解因式，则“□”不可能是（ ）
A．a B．﹣9 C．25 D．a2
答案：B
3.分解因式：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．
解：（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）
＝（4a﹣4b）•（﹣2a）
＝﹣8a（a﹣b）．
4.【发现】两个相邻奇数中，较大奇数与较小奇数的平方差一定是8的倍数．
【验证】计算52﹣32的值，并求这个值是8的几倍．
【探究】设【发现】中较小的奇数为2n+1，请论证【发现】中的结论正确．
解：【验证】52﹣32＝16＝2×8，
故52﹣32的值是8的2倍．
【探究】设“发现”中较小的奇数为2n+1，则最大的数为2n+3，n为正整数．
∴（2n+3）2﹣（2n+1）2
＝（2n+3+2n+1）（2n+3﹣2n﹣1）
＝8（n+1），
∵，且n为正整数，
∴【发现】中的结论正确.
为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.如果将平方差公式：（a+b）（a-b）=a²-b²反过来，就得到a²-b²=（a+b）（a-b）.
2.整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。
3.公式a²-b²=（a+b）（a-b）中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式.
4.分解因式的一般步骤：一提二套，即当多项式的各项含有公因式时，通常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止.
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业
课本P100习题4.4中的T1—T3。
课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计
第1课时 利用平方差公式因式分解
一、平方差公式的因式分解
二、分解因式的一般步骤
投影区
学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思
探索分解因式的方法实际上是对正是乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识：
1 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
2 有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．
3．保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练。
反思，更进一步提升。