2023_2024学年5月湖北宜昌夷陵区高二下学期月考数学试卷（夷陵中学等校）

这是一份2023_2024学年5月湖北宜昌夷陵区高二下学期月考数学试卷（夷陵中学等校），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023~2024学年5月湖北宜昌夷陵区高二下学期月考数学试卷（夷陵中学等校）
一、单选题
1.设全集
A.
，集合
，
，则
（
）
B.
C.
D.
2.已知 为虚数单位，复数
A.
， 为 的共轭复数，则
C.
（
）
B. 5
D. 4
3.在各项均为正数的等比数列
A. 14 B. 28
中，
，
，
成等差数列，若
C. 42
，则
D. 56
（
）
4.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（
）
A. 240
B. 216
C. 180
D. 108
5.已知
，
分别为双曲线
：
的上、下两个焦点，点 恰为抛物线
：
，
的焦点，记点 为两曲线的一个公共点，且
，则双曲线 的离心率为
（
A.
）
B.
C.
D.
6.湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用
镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看
到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离 .沿直线将镜子向后移距离 ，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人
与镜子的距离
.若小张的眼睛距离地面的高度为 ，则黄鹤楼的高度 可表示为（
）

A.
B.
C.
D.
7.已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为 ，则球与圆台的体积之比为
（
A.
）
B.
C.
D.
8.正数 ， 满足“
A.
”的充要条件是（
B.
）
C.
D.
二、多选题
9.某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，
每次抽取一个，用随机变量 表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（
）
A. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽
到黑色小球的概率为
B. 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则
且
，
C. 若盒子里有
个小球，其中红色小球有 个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有
红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍
D. 若
， ，
，
，
，则
，
10.如图，在棱长为1的正方体
点，则下列说法正确的是（
中， ， 分别是
，
的中点， 为线段
上的动
）

A. 存在点 ，使得
C. 三棱锥
B.
平面
时，截正方体的截面积为
的距离最大值为
的外接球的表面积为
的定义域均为 ，
D. 点 到平面
11.已知函数
与
，
，且
，
为偶函数，则下列选项正确的是（
的图象关于 对称
）
A. 函数
C.
B.
D.
三、填空题
12.
的展开式中的常数项为
.（请用数字作答）
13.已知直线 ：
，点
，
，点 在直线 上的射影为 ，则线段
长度的取值范围为
.
14.已知函数
，其中
表示 ， 中的最大值，若函
，
数
有3个零点，则实数 的取值范围是
.
四、解答题
15.数列
的前 项和
，数列
满足
.
，
.
(1)求
(2)记
，
；
，求数列
的前 项和

16.如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
17.每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气，俗称“梅雨期”.依据某地 河流
“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到
水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.
(1)以频率作为概率，试求 河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害
的概率；
(2)该地 河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，
则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：
方案
防控等级
费用（单位：万元）
方案一
方案二
方案三
无措施
0
防控1级灾害
防控2级灾害
80
200
试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.

18.如图，已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，其离心率为 ，椭圆 上的点到焦点的最短距离为1.过平
面上一点 作椭圆 的切线 ， ，当直线 与 的斜率都存在时，它们的斜率之积是 ，当其中一条切线的
分别交椭圆 于点 ， .
斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点 的轨迹为曲线 .直线
，
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求曲线 的方程；
(3)求
面积的最大值.
19.如图，对于曲线 ，若存在圆 满足如下条件：
①圆 与曲线 有公共点
②圆 与曲线 在点
③曲线 的导函数在
，且圆心在曲线 凹的一侧；
，
处有相同的切线；
处的导数（即曲线 在点
，
的二阶导数）等于圆 在点 处的二阶导数（已
知圆
在点
，
处的二阶导数等于 ）；则称圆 为曲线 在 点处的曲
率圆，其半径 称为曲率半径.
(1)求抛物线
在原点的曲率圆的方程；
(2)（i）求证：平面曲线
在点
的曲率半径为
（其中
表示
的导函数）；
（ii）若圆 为函数
的一个曲率圆，求圆 半径的最小值；
处有相同的曲率半径，求证：
(3)若曲线
在
.