5.1 相交线、垂线（能力提升）-七年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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新人教版初中数学学科教材分析数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 第五章 相交线与平行线5.1 相交线、垂线（能力提升）【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.邻补角与对顶角对比： 3.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：(1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角例1．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线。【答案与解析】解：∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分线定义）。∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代换）。∵∠AON+∠BON=180°（邻补角定义），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代换），∴ OM和ON共线。【总结升华】要得出OM和ON成一条直线，就要说明∠MON是平角，从图中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM和∠BON相等，本题得证。例2.如图所示，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求．【答案与解析】解：设∠1＝x，则∠2＝4x．∵ OE平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x．∵ ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴ x＝30°．∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°．又∵ OF平分∠COE，∴ ∠COF＝∠COE＝75°．∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．【总结升华】涉及有比值的题设条件，如a:b＝m:n，在解题时设，，这是常用的用方程思想解题的方法．举一反三：【变式】已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．【答案】解法1：∵ α的补角是一个锐角，∴ α是一个钝角，即90°＜α＜180°，∴ ．由已知三人计算出的答案分别为32°、87°、58°，可知．∴ ．解法2：由题意可知是一个钝角，即．如果，那么，不满足；如果，那么，不满足；如果，那么，满足，所以此人计算的答案正确．所以．【总结升华】在处理数学问题中的误选答案问题时，常采用验算法，如本题的解法2：先利用假设求出相应的α的度数，再验证是否正确．例3.（1）如图（1），已知直线a、b相交于点 O，则（1）图中共有几对对顶角?几对邻补角？（2）如图（2），已知直线a、b、c、d是经过点O的四条直线，则图（2）中共有几对对顶角（不含平角）?几对邻补角？ 【答案与解析】解：（1）2对对顶角，4对邻补角。（2）将图（2）拆分为下图： 通过观察图形．不难发现a、b、c、d四条直线两两相交，最多有6个交点，而由（1）知：每个交点处有两对对顶角，有四对邻补角，对顶角的对数：（对）；邻补角的对数:(对)答：图中共有12对对顶角，24对邻补角【总结升华】本例分析问题的方法是通过直线的移动，将直线相交于一点转化为直线两两相交．这样移动，可将抽象的问题直观化．因为n条直线两两相交，最多有个交点．每个交点处有两组对顶角，故n条直线相交于一点共有n(n-1)对对顶角，2n(n-1)对邻补角。举一反三：【变式】如图，直线AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是　 　，∠1的对顶角是　 　．【答案】∠ 2和∠ 4；∠ 3.由图形可知，∠1的对顶角是∠3，∠1的邻补角是∠2和∠4．类型二、垂线例4．下列语句：①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。②一条直线的垂线有无数条。③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。【答案】①②【解析】解此题必须严格按照垂线的定义“两条直线相交成直角”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直”来作判断。①正确；②正确，过任意一点都可以作；对于③只有在“同一平面内”才成立，因为空间内，当这点在直线上时，过这点并非只有一条直线与已知直线垂直，故③错误；④错误，必须是两个邻角相等，如下图：【总结升华】应用垂线的定义及垂线的性质时要把握其中的本质要求：①关于垂线的定义：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直；②关于垂线的性质：平面内，过任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，这条性质说明了已知直线的垂线的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性质中的“任意一点”可能在这条已知直线上，也可能在这条已知直线外。举一反三：【变式】在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，是因为( )A．经过两点有且只有一条直线B．两点之问的所有连线中，线段最短C．在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，则这两直线也互相垂直． D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D 提示：注意区分直线性质与垂线性质 例5.如图所示，OA⊥OB，OC⊥OE，OD为∠BOC的平分线，∠BOE=20°，求∠DOE的度数．【思路点拨】首先根据垂直定义以及角平分线的定义得出∠BOD的度数，进而得出∠DOE的度数．【答案与解析】解：∵OC⊥OE，∴∠COE=90°，∵∠BOE=20°，∴∠COB=90°+20°=110°，∵OD为∠BOC的平分线，∴∠BOD=55°，∴∠DOE=55°﹣20°=35°．【总结升华】此题主要考查了角平分线的定义以及垂直定义，正确求出∠COB的度数是解题关键．举一反三：【变式】如图，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求证：ON平分∠BOC.【答案】解：如图，∵OM平分∠AOB ∴∠1=∠2又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2由图可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2∴∠3=∠4∴ ON平分∠BOC例6.如图所示，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄．(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置(保留作图痕迹)．(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必说明)【答案与解析】解：(1)过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点，如图所示．(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近．【总结升华】利用垂线段最短解决实际问题是常用的一种方法．举一反三：【变式1】如图所示，过A点作AD⊥BC，垂足为D点．【答案】解：如图所示 【变式2】点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm【答案】D.【提升练习】一、选择题1．a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（　　）　A．1个或2个或3个 B． 0个或1个或2个或3个　C．1个或2个 D． 都不对2．下列说法正确的有 ( ) ①因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2；②因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1＝∠2；③因为∠1和∠2不是对顶角，所以∠1≠∠2；④因为∠1和∠2不是邻补角，所以∠1+∠2≠180°．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD，则图中与∠EOF相等的角还有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，∠PQR＝138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT等于（ ）A．42° B．64° C．48° D．24°5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD=70°，则∠AOF等于（　　）A．35° B．45° C．55° D．65°6．已知关于距离的四种说法： ①连结两点的线段长度叫做两点间的距离；②连结直线外的点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离；③以直线外一点所引的这条直线的垂线叫做点到直线的距离；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离．其中正确命题的个数 （ ）A．0个 B．1个 C．2个 D． 3个二、填空题7.如图所示：直线AB与CD相交于O，已知∠1=30°，OE是∠BOC的平分线，则∠2=　　°，∠3=　　°．8．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD的取值范围是________． 9．请你在表盘上画出时针与分针，使时针与分针恰好互相垂直．(1) 时针和分针互相垂直的整点时刻分别为 ；(2)一天24小时，时针与分针互相垂直________次．10. 在同一平面内，OA⊥MN，OB⊥MN，所以OA，OB在同一直线线上，理由是________________．11. 100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对。 12．如图，工厂A要把处理过的废水引入排水沟PQ，从工厂A沿________方向铺设水管用料最省，这是因为________．三、解答题13. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为　 　，∠BOE的邻补角为　 　；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．14．如图，已知A、O、B三点在一直线上，∠AOC＝120°，OD、OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线．(1)判断OD与OE的位置关系；(2)当∠AOC大小发生变化时，OD、OE仍分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则OD与OE的位置关系是否改变? 请说明理由．15．如图，AOB为一条在O处拐弯的河，要修一条从村庄P通向这条河的道路，现在有两种设计方案：一是沿PM修路，二是沿PO修路．如果不考虑其他因素，这两种方案哪一个经济一些?它是不是最佳方案？如果不是，请你帮助设计出最佳的方案，并简要说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】三条直线两两平行，没有交点；三条直线交于一点，有一个交点；两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点；三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点.2. 【答案】B 【解析】只有①正确。3. 【答案】B 【解析】与∠EOF相等的角还有：∠BOC，∠AOD．4．【答案】A 【解析】∠PQS=138°－90°＝48°，∠SQT＝90°－48°＝42°．5. 【答案】C； 【解析】解：∵∠B0C=∠AOD=70°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠BOC=35°．∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°．∴∠AOF=180°﹣∠EOF﹣∠BOE=55°．故选C．6. 【答案】B 【解析】只有①正确．二、填空题7.【答案】30，75．【解析】∵∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，∠BOC=180°﹣∠1=150°，∵OE是∠BOC的平分线，∴∠3=∠BOC=75°.8. 【答案】bcm＜BD＜a cm9．【答案】(1)3时或9时； (2)44【解析】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，所以分针要超过时针的圈数是：24-2=22（圈），分针每超过时针一圈，前后各有一次垂直，所以一天24小时中分针与时针垂直的次数是：（24-2）×2=22×2=44（次）．10．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直11．【答案】9900，19800。【解析】100条直线两两相交，最多有个交点．每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，有4950×4＝19800（对）邻补角。12．【答案】垂直于PQ的，垂线段最短。三、解答题13.【解析】解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；（2）∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：3，∴得，∴，∴∠BOE=28°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．14．【解析】解：(1)OD⊥OE． (2)不变，理由如下：∵ OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，∴ ∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB．∴ ∠DOE＝(∠AOC+∠COB)＝×180°＝90°，∴ OD⊥OE．15．【解析】解：本题所给出的两种方案中，沿PO修路这种方案更经济一些，因为PO是OA的垂线段，PM是OA的斜线段，根据垂线段最短可知，PO＜PM，但它仍不是最佳方案，最经济的方案应为沿如图所示的线段PN修路．因为垂线段最短得知，线段PN是P与OB上的各点的连线中最短的，PO是P与OA上的各点的连线中最短的，即PN＜PO＜PM．所以沿线段PN修路是最经济的方案． 角的名称特 征性 质相 同 点不 同 点对顶角①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点；③没有公共边. 对顶角相等.①都是两条直线相交而成的角；②都有一个公共顶点；③都是成对出现的. ①有无公共边；②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 邻补角①两条直线相交而成；②有一个公共顶点；③有一条公共边. 邻补角互补.