2024年湖北省孝感市中考三模数学试题及答案

这是一份2024年湖北省孝感市中考三模数学试题及答案，共46页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟）
★祝考试顺利★ 注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上指定位置.
2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.
3 ．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用 2B 铅笔或黑色签字笔.
4 ．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（共 10 题，每小题 3 分，共 30 分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1. 实数 −5 的相反数是( )
A. −5 B. 5 C. D. ±5
2. 下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是( )
A. B. C. D.
3. 函数y ＝ 中自变量 x 的取值范围是( )
A. x＞3 B. x≥3 C. x≠3 D. x＜3
4. 下列运算正确的是( )
A. x4 . x3 = x12 B. (x3 )2 = x9 C. x2 + x3 = x5 D. x2 ÷ x = x
5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四个科技创新小组最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，如果要选出一个成 绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是( )
甲
乙
丙
丁
平均数
88
92
92
88
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 一元二次方程x2 + 2x −1 = 0的两根为x1 ，x2 ，则 x1x22 + x12x2 的值为( )
A. 2 B. −2 C. 3 D. −3
7. 如图，用直尺和圆规作∠AOB 的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是( )
A. OM = ON B. CM = CN C. OM = CM D. ∠AOC = ∠BOC
8. 半径为5cm 的圆内接正五边形一边所对的劣弧的长为( )
A. τcm B. 2τcm C. 3τcm D. 4τcm
9. 图 1 是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图 2 所示的示意图．测得∠A = 55° ,阳光垂直照射 地面时雕塑的影长 AC = 2m ，则雕塑的高BC 的长约为( )
（参考数据：sin 55° ≈ 0.82 ，cs55° ≈ 0.57 ， tan 55° ≈ 1.43，结果保留两位小数）
A. 2.86m B. 1.64m C. 1.14m D. 1.40m
10. 已知抛物线y = ax2 + bx + c （a ，b ，c 是常数，a ≠ 0 ）经过点(−1, −1) 和(0,1)，当 x = −2时，与其 对应的函数值y > 1 ．有下列结论：① abc > 0 ；②关于 x 的方程ax2 + bx + c +1 = 0有两个不等的实数
根；③ a > 2 ；④若方程ax2 + bx + c = 0的两根为x1 ，x2 ，则 x1 + x2 > −2 ．其中，正确结论的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（共 5 题，每小题 3 分，共 15 分）
方差
0.9
1.5
1
1.8
11. 请写出使不等式x +1 < 0 成立的一个 x 的值为 .
12. 如图，平面镜MN 放置在水平地面 CD 上，墙面ED 丄 CD 于点D ，一束光线 AO 照射到镜面MN
上，反射光线为 OB ，点 B 在ED上，若 ∠AOC = 40° ,则 ∠OBD 的度数为 .
13. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，根据调 查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
该地区九年级学生共有4000 人，根据以上统计分析，估计该地区九年级学生中视力正常的人数约有
人.
14. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，
问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里．慢马先走 12 天，快马 几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马，则由题意，可列方程为 .
15. 如图 1，在 Rt△ABC 中， ∠ACB = 90° , AC = 4 ，BC = 3，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 AB 的中
点，连接DE ．如图 2，将 △ADE 绕 A点顺时针旋转到点 C，D ，E 首次在同一条直线上，连接 BE ．则
BE 的长为 .
三、解答题（共 9 题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：| −3 | − + (−2024)0 − 5 tan 45° .
17. 如图，在 □ABC 中， AB = AC ， AD 为 □ABC 的中线．点E ，F 分别在 AB ， AC 上，且
AE = AF = AD ，连接 DE ，DF .
（1）求证： △ADE≌△ADF ；
（2）若∠BAC = 80° ,求 ∠BDE 的度数.
18. 甲、乙两名同学到离校1.4km 的“人民广场 ”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自 行车速度是步行速度的 3.5 倍，甲出发15min 后乙同学出发，结果，两名同学同时到达，求乙同学骑自行 车的速度是多少km/h ？
19. 某校甲、乙两班分别有一名男生和一名女生共4 名学生报名竞选校园广播播音员.
（1）若从甲、乙两班报名的学生中分别随机选1名学生，求所选的2 名学生均为男生的概率是多少？
（2）若从报名的4 名学生中随机选2 名，求这2 名学生来自同一班级的概率.
20. 如图，一次函数y = kx + b 的图象与反比例函数 的图象相交于 A(1, 3), B (n, −1) 两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足kx + b < 的 x 的取值范围；
（3）若点 P 在 x 轴上，且S△ABP = 6 ，求点 P的坐标.
21. 如图，已知 AB 为□ O 的直径，点 C 为 □ O 外一点， AC = BC ，连接OC ，DF 是 AC 的垂直平分
线，垂足为点 E，交 OC 于点F ，垂足为点E ，连接 AD 、 CD ，且∠DCA = ∠OCA .
（1）求证： AD 是 □ O 的切线；
（2）若CD = 5 ， OF = 3 ，求 cs ∠DAC 的值.
22. 利民超市购进一种新上市的商品，进价为50 元/件，超市先进行了30 天的试销售．销售结束后，对试
销情况进行了统计分析，得知日销售量y （件）与销售时间x （天）之间有如下关系：y = −2x +120 （1 ≤ x ≤ 30 ，且 x 为整数）；销售价格z （元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：z = x + 70 （1 ≤ x ≤ 30 ，且 x 为整数）．设销售该商品的日利润为 w （元）.
（1）求出 w （元）与 x （天）之间的 函数关系式；
（2）在这30 天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分别求出这个最大 利润和最小利润.
（3）在这30 天中， 日利润不低于2750 元的共有几天？
23. 已知 □ABC ， CA = CB ， ∠ACB = 90° , CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D ．点 E 在线段 CA 上，连接
DE ，过点 D 作DE 的垂线与 CB 交于点 F.
（1）如图 1，当 DE 丄 CA 时，求证：DE = DF ；
（2）如图 2，当 DE 与 CA 不垂直时，“ DE = DF ”是否仍成立？请作出判断，并说明理由；
（3）如图 3，连接EF 与 CD 交于点 O，若OE = 2 ， OF = 4 ，求线段OC 的长.
24. 如图 1，已知抛物线y = x2 + bx + c 与 x 轴交于点 A(1, 0) 和B(4, 0) ，与 y 轴交于点 C，过点 B ，C 作 直线.
（1）求 b ，c 的值和直线BC 的解析式；
（2）点 P 是直线BC 下方的抛物线上的点，PD ∥ y 轴与直线BC 交于点 D，设点 P 的横坐标为 t .
①如图 2，连接PB，PC，OP ，当 □PBC 的面积最大时，试判断四边形OCDP 的形状，并说明理由；
②如图3，抛物线的对称轴为直线 l，直线DP 与 x 轴交于点 E，过点 D 作直线BC 的垂线，与直线 l 交于 点 F，与 y 轴交于点 G，连接EF，EG ．当 ∠FEG = 45°时，求 t 的值.
2024 年 5 月学情调研九年级
数学试卷
（本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟）
★祝考试顺利★ 注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上指定位置.
2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.
3 ．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用 2B 铅笔或黑色签字笔.
4 ．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（共 10 题，每小题 3 分，共 30 分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求）
1. 实数 −5 的相反数是( )
A. −5 B. 5 C. D. ±5
【答案】B 【解析】
【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数的定义.
相反数：绝对值相等，符号不同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另外一个数的相反数．根据此定义 即可得解.
【详解】解：结合根据相反数的定义可得： −5 的相反数是5 . 故选：B .
2. 下列水平放置的几何体中，主视图是圆形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的图形．分别
找出从图形的正面看所得到的图形即可.
【详解】解：A ．主视图是圆，故此选项符合题意；
B ．主视图是梯形，故此选项不合题意；
C ．主视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
D ．主视图是矩形，故此选项不合题意； 故选：A .
3. 函数y ＝ 中自变量 x 的取值范围是( )
A. x＞3 B. x≥3 C. x≠3 D. x＜3
【答案】C 【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，列不等式求解.
【详解】解：根据分式有意义的条件，得 x − 3 ≠ 0 ，
解得x ≠ 3， 故选：C .
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．解题的关键是掌握知识点为：分式有意义，分母不为 0.
4. 下列运算正确的是( )
A. x4 . x3 = x12 B. (x3 )2 = x9 C. x2 + x3 = x5 D. x2 ÷ x = x
【答案】D 【解析】
【分析】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解 题关键．直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而得出答 案.
【详解】解：A 、x4 . x3 = x7 ≠ x12 ，故此选项不合题意； B 、(x3 )2 = x6 ≠ x9 ，故此选项不合题意；
C 、x2 与x3 不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
D 、x2 ÷ x = x ，故此选项符合题意. 故选：D .
5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四个科技创新小组最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，如果要选出一个成 绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】C 【解析】
【分析】此题考查了平均数和方差，选择平均数较大且方差较小的运动员参加即可. 【详解】 乙和丙的平均成绩比甲和丁好，
:从乙和丙中选择一人参加比赛，
又 s > s ，
:选择丙参赛， 故选：C .
6. 一元二次方程x2 + 2x −1 = 0的两根为x1 ，x2 ，则 x1x22 + x12x2 的值为( )
A. 2 B. −2 C. 3 D. −3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意得：x1 + x2 = −2 ， x1x2 = − 1 ，再代入代数式 进行计算即可．解题的关键是掌握：若x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根，则
【详解】解： ∵ x1 ，x2 是一元二次方程x2 + 2x −1 = 0的两根， ∴ x1 + x2 = −2 ，x1x2 = − 1 ，
∴ x1x22 + x12x2 = x1x2 . (x1 + x2 ) = (−1)× (−2) = 2 ， ∴ x1x22 + x12x2 的值为2 .
故选：A .
7. 如图，用直尺和圆规作∠AOB 的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是( )
甲
乙
丙
丁
平均数
88
92
92
88
方差
0.9
1.5
1
1.8
A. OM = ON B. CM = CN C. OM = CM D. ∠AOC = ∠BOC
【答案】C 【解析】
【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键. 【详解】解：根据作图可得 OM = ON ， CM = CN ，故 A ，B 正确； ∵ OC 是角平分线，
∴ ∠AOC = ∠BOC ，故 D 选项正确，
而 OM = CM 不一定成立，故 C 选项错误， 故选：C .
8. 半径为5cm 的圆内接正五边形一边所对的劣弧的长为( )
A. τcm B. 2τcm C. 3τcm D. 4τcm
【答案】B 【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键. 根据正多边形和圆的性质，计算半径为5cm 的圆周长的五分之一即可.
【详解】由题意得，半径为5cm 的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为5cm 的圆周长的五分之
一，所以 × 2π× 5 = 2π ,
故选 B .
9. 图 1 是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图 2 所示的示意图．测得∠A = 55° ,阳光垂直照射 地面时雕塑的影长 AC = 2m ，则雕塑的高BC 的长约为( )
（参考数据：sin 55° ≈ 0.82 ，cs55° ≈ 0.57 ， tan 55° ≈ 1.43，结果保留两位小数）
A. 2.86m B. 1.64m C. 1.14m D. 1.40m
【答案】A 【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得：BC 丄 AC ，在 Rt△ABC 中， BC = AC . tan∠A ，代入数据计算即可．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
【详解】解：根据题意得：BC 丄 AC ，
在Rt△ABC 中， ∠C = 90° , ∠A = 55° , AC = 2 ，
∴ BC = AC . tan ∠A = 2 × tan 55° ≈ 2 × 1.43 = 2.86 (m) ，
∴雕塑的高BC 的长约为2.86m . 故选：A .
10. 已知抛物线y = ax2 + bx + c （a ，b ，c 是常数，a ≠ 0 ）经过点(−1, −1) 和(0,1)，当 x = −2时，与其 对应的函数值y > 1 ．有下列结论：① abc > 0 ；②关于 x 的方程ax2 + bx + c +1 = 0有两个不等的实数
根；③ a > 2 ；④若方程ax2 + bx + c = 0的两根为x1 ，x2 ，则 x1 + x2 > −2 ．其中，正确结论的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条 结论的正误是解题的关键.
①③当x = 0 时，c = 1，由点(−1, −1) 得a =b − 2 ，由 x = −2 时，与其对应的函数值y > 1 可得b > 4 ，进而 得出abc > 0 ，再判断 a 的范围；
②将a = b − 2 ，c = 1代入方程，根据根的判别式即可判断；
④由a = b − 2 ，c = 1 ，可得 x2 + bx + 1 = 0 ，所以x1 + x2 = − = −1 − 再根据 b 的范围求解后
即可判断.
【详解】解： 抛物线y = ax2 + bx + c(a ，b ，c 是常数，a ≠ 0) 经过点(−1, −1) ，(0,1)，
:c = 1 ， a − b + c = − 1， :a = b − 2 ，
当x = −2 时，与其对应的函数值y > 1 . :4a − 2b +1 > 1 ，
:4(b − 2) − 2b +1 > 1 ，解得：b > 4 ， :a = b − 2 > 0 ，
:abc > 0 ，
a = b − 2 ，b > 4 ，
: a > 2 ，
故①③正确；
a = b − 2 ，c = 1，
: (b − 2)x2 + bx +1 +1 = 0 ，即 (b − 2)x2 + bx + 2 = 0 ，
: Δ = b2 − 4 × 2 × (b − 2) = b2 − 8b +16 = (b − 4)2 ， b > 4 ，
: Δ > 0 ，
:关于x 的方程ax2 + bx + c +1 = 0有两个不等的实数根，故②正确；
a = b − 2 ，c = 1，
: (b − 2)x2 + bx +1 = 0 ，
b > 4 ，
故④正确； 故选：D
二、填空题（共 5 题，每小题 3 分，共 15 分）
11. 请写出使不等式x +1 < 0 成立的一个 x 的值为 .
【答案】 −2 （答案不唯一，小于−1即可） 【解析】
【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质.
根据不等式的性质求解即可. 【详解】解： x +1< 0
:x < −1
当x = −2 时，不等式成立
故答案为： −2 （答案不唯一，小于−1即可）
12. 如图，平面镜MN 放置在水平地面 CD 上，墙面ED 丄 CD 于点D ，一束光线 AO 照射到镜面MN
上，反射光线为 OB ，点 B 在ED上，若 ∠AOC = 40° ,则 ∠OBD 的度数为 .
【答案】 50° ## 50 度 【解析】
【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理的应用，解题关键是理解反射角等于入射角. 根据题意得到 ∠BOD = ∠AOC = 40° 后，结合三角形内角和定理即可求解.
【详解】解：依题得： ∠BOD = ∠AOC = 40° , ED 丄 CD ，
:∠BDO = 90° ,
:□ BOD 中， ∠OBD = 180° −∠BDO −∠BOD = 50° . 故答案为：50° .
13. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，根据调
查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
该地区九年级学生共有4000 人，根据以上统计分析，估计该地区九年级学生中视力正常的人数约有
人.
________
【答案】 600 【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的信息关联，样本估计总体．用B 的人数除以B 所占百分比可 得样本容量，再用该地区九年级学生总人数乘以样本中A 所占比例即可．读懂统计图，从统计图中得到必 要的信息是解题的关键.
【详解】解：此次调查的样本容量为：140 ÷ 35% = 400 ，
∴ 4000 × = 600 （人），
∴估计该地区九年级学生中视力正常的人数约有600 人. 故答案为： 600 .
14. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，
问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里．慢马先走 12 天，快马 几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马，则由题意，可列方程为 .
【答案】240x=150x+12×150 【解析】
【 分 析 】 设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程.
【详解】解：设良马x天能够追上驽马.
根据题意得：240x=150×（12+x）=150x+12×150.
【 点 睛 】 本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，列出关 于x的一元一次方程.
15. 如图 1，在 Rt△ABC 中，7ACB = 90° , AC = 4 ，BC = 3，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 AB 的中
点，连接DE ．如图 2，将 △ADE 绕 A点顺时针旋转到点 C，D ，E 首次在同一条直线上，连接 BE ．则
BE 的长为 .
【解析】
【分析】勾股定理求出 AB 的长，中点和三角形中位线的性质，求出 AE，AD，DE 的长，由旋转不变性，
结合勾股定理求出 CD 的长，证明 □ ADC∽□ AEB ，得到 进而求出BE 的长即可.
【详解】解： ∵ 7ACB = 90° , AC = 4 ，BC = 3，
∴ AB =
32 + 42
= 5 ，
∵点 D 是 AC 的中点，点 E 是 AB 的中点，
∴ AE = ，AD = AC = 2，DE = ，DE ∥ BC ，
∴ ∠ADE = ∠ACB = 90° ,
由旋转性质得 AE = 5 ，AD = 2，DE = 3 ， ∠ADE = 90° , ∠BAC = ∠DAE ，
2 2
∵C，D ，E 在同一条直线上， ∴ ∠ADC = 90° ,
∵ ∠BAC = ∠DAE ， ∴ ∠BAE = ∠CAD ，
∴ □ ADC∽□ AEB ，
5
故答案为： 3 .
2
【点睛】本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟 练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.
三、解答题（共 9 题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：
−3 | − + (−2024)0 − 5 tan 45° .
【答案】 −3 【解析】
【分析】 此题考查了实数的混合运算，先计算零次幂、开方、绝对值和特殊角的三角函数值，然后计算加 减．关键是能准确确定运算方法，并能进行正确地计算.
【详解】解：原式= 3 − 2 +1− 5
= −3 .
17. 如图，在 0ABC 中， AB = AC ， AD 为0ABC 的中线．点E ，F 分别在 AB ， AC 上，且 AE = AF = AD ，连接 DE ，DF .
（1）求证： △ADE≌△ADF ；
（2）若∠BAC = 80° ,求 ∠BDE 的度数.
【答案】（1）见解析 （2） ∠BDE = 20° 【解析】
【分析】本题考查的知识点是等腰三角形“三线合一 ”、全等三角形的判定、等边对等角，解题关键是熟 练掌握等腰三角形“三线合一 ”.
（1）根据等腰三角形“三线合一 ”推得 ∠BAD = ∠CAD 后即可用“边角边 ”证明全等；
（2）根据等腰三角形“三线合一 ”及等边对等角即可求解. 【小问 1 详解】
证明： AB = AC ， AD 是0ABC 的中线， :∠BAD = ∠CAD ，
在 △ADE 和△ADF 中，
:0ADE≌0ADF(SAS ) . 【小问 2 详解】
解： ∠BAC = 80° , ∠BAD = ∠CAD ，
AE = AD ，
AB = AC ， AD 是0ABC 的 中线，
: AD 丄 BC ，
即 ∠BDA = 90° ,
:∠BDE = ∠BDA − ∠ADE = 90° − 70° = 20° .
18. 甲、乙两名同学到离校1.4km 的“人民广场 ”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自 行车速度是步行速度的 3.5 倍，甲出发15min 后乙同学出发，结果，两名同学同时到达，求乙同学骑自行 车的速度是多少km/h ？
【答案】 14km/h 【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解决问题时需注意时间单位的统一，同时解分式方程需检验．根 据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关系列方程即 可.
【详解】解：设甲同学步行的速度为xkm/h ，则乙同学骑自行车的速度为3.5xkm/h ，
由题意得
解得：x = 4 .
经检验，x = 4 是原方程的解，且符合题意， ∴ 3.5x = 4 × 3.5 = 14 .
答：乙同学骑自行车的速度为14km/h .
19. 某校甲、乙两班分别有一名男生和一名女生共4 名学生报名竞选校园广播播音员.
（1）若从甲、乙两班报名的学生中分别随机选1名学生，求所选的2 名学生均为男生的概率是多少？
（2）若从报名的4 名学生中随机选2 名，求这2 名学生来自同一班级的概率.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题考查列表法和树状图法求概率，
（1）根据甲、乙两班分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案； 解题的关键掌握计算概率的公式：概率＝所求情况数与总情况数之比.
【小问 1 详解】
解：将甲班报名的一名男生和一名女生分别记为男甲和女甲，将乙班报名的一名男生和一名女生分别记为 男乙和女乙，画树状图如下：
共有8 种等可能情况，所选的 2 名学生均为男生的有2 种情况，
∴ P （所选的2 名学生均为男生 ， ∴所选的2 名学生均为男生的概率是 ；
【小问 2 详解】 画树状图如下：
共有12种情况，这 2 名学生来自同一班级的有4 种情况，
∴ P （所选的这2 名学生来自同一班级
∴这2 名学生来自同一班级的概率为 .
20. 如图，一次函数y = kx + b 的图象与反比例函数 的图象相交于 A(1, 3), B (n, −1) 两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足kx + b < 的 x 的取值范围；
若点 P 在 x 轴上，且S△ABP = 6 ，求点 P 的坐标.
【答案】（1）反比例函数的解析式为 一次函数的解析式为y = x + 2
（2）x < −3 或0 < x < 1
（3）(1, 0) 或(−5, 0)
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，图象法解不 等式.
（1）把 A(1, 3) 坐标代入 可得解析式，继而求出 n，用待定系数法求出一次函数解析式；
m
（2）根据图象直接写出kx + b < 的 x 的取值范围即可； x
（3）设点 P 坐标为(t,0) ，直线 y = x + 2 与 x 轴交于点 C．令x + 2 = 0 ，得 x = −2 ，得到C(−2, 0) ．利
用 S△ABP = 6 ，即 SO ABP = yA + y B ) = 6 建立方程求出 x 即可.
【小问 1 详解】
解： ∵反比例函数 的图象经过点 A(1, 3) ，
∴ m = 3 .
∴反比例函数的解析式为
∵反比例函数 的图象经过点B (n, −1) ，
∴ n = −3 ，
∴ B(−3, −1) .
∵一次函数y = kx + b 的图象过点A(1, 3) ，B (−3, −1) ，
∴一次函数的解析式为y = x + 2 . 【小问 2 详解】
解：由函数图象可得：kx + b < 时，即反比例函数图象在一次函数图象上方，
: x < −3 或 0 < x < 1 .
【小问 3 详解】
解：设点 P 坐标为(t,0) ，直线 y = x + 2 与 x 轴交于点 C.
令x + 2 = 0 ，得 x = −2 ， ∴C(−2, 0) .
∵ S△ABP = 6 ，
∴ t = 1或 −5 .
∴点 P 的坐标为(1, 0) 或(−5, 0) .
21. 如图，已知 AB 为0 O 的直径，点 C 为0 O 外一点， AC = BC ，连接OC ，DF 是 AC 的垂直平分
线，垂足为点 E，交 OC 于点F ，垂足为点E ，连接 AD 、 CD ，且∠DCA = ∠OCA .
（1）求证： AD 是0 O 的切线；
（2）若CD = 5 ， OF = 3 ，求 cs ∠DAC 的值.
2
【答案】（1）见解析 （2）-I5
5
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 CO 丄 AB ，由线段垂直平分线的性质可得 ∠DAC = ∠DCA ，由 ∠DCA = ∠OCA 可得 ∠DAC = ∠OCA ，证明 AD ∥OC ，从而可得结论；
（2）连接 AF ，由线段垂直平分线的性质可得 AF = AD = CD = CF = 5 ，再由勾股定理求出相关线段长
即可.
【小问 1 详解】
证明： ∵O 为圆心， ∴ OA = OB ，
∵ AC = BC ，
∴ CO T AB, 即∠COA = 7COB = 90° ,
∵ DF 是 AC 的垂直平分线，
∴ AD = CD
∴ 7DAC = 7DCA ∵ 7DCA = 7OCA ∴ 7DAC = 7OCA
∴ AD 0OC
∴∠ 7DAO = 7COB = 90° ,即 AD T AB
又 AB 是圆O 的直径， ∴ AD 是0 O 的切线； 【小问 2 详解】
解：连接 AF ，如图，
由（1）知， AD = CD, AE = CE ， ∵ 7DCA = 7OCA, DF T AC ，
∴ CD = CF, AF = AD ，
∴ AF = AD = CD = CF = 5 ，
在Rt0AOF 中， AF = 5, OF = 3, AO2 + OF2 = AF2
∴ AO =
AF2 − OF2
52 − 32
= 4
=
在Rt AOC 中， AO = 4, CO = CF + OF = 5 + 3 = 8， AC2 = AO2 + OC2
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理以及求锐角 余弦值，熟练运用相关知识解答本题的关键.
22. 利民超市购进一种新上市的商品，进价为50 元/件，超市先进行了30 天的试销售．销售结束后，对试
销情况进行了统计分析，得知日销售量y （件）与销售时间x （天）之间有如下关系：y = −2x +120 （1 ≤ x ≤ 30 ，且 x 为整数）；销售价格z （元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：z = x + 70 （1 ≤ x ≤ 30 ，且 x 为整数）．设销售该商品的日利润为 w （元）.
（1）求出 w （元）与 x （天）之间的函数关系式；
（2）在这30 天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分别求出这个最大
利润和最小利润.
（3）在这30 天中， 日利润不低于2750 元的共有几天？
【答案】（1） w = −2x2 + 80x + 2400 （1 ≤ x ≤ 30 ，且x 为整数）
（2）第20 天日销售利润最大，最大利润为3200 元；第1天日销售利润最小，最小利润为 2478 元
（3）利润不低于2750 元的共有26 天
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
（1）根据销售问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量×（一件的销售价-一件的进价），建立函数关系 式即可.
（2）将（1）中函数关系式配方，可得其顶点式，结合自变量x 的范围，根据二次函数的性质可得函数的最 值情况.
（3）令 w = 2750 ，即 −2(x − 20)2 + 3200 ≥ 2750 ，解得 5 ≤ x ≤ 35， 因为1 ≤ x ≤ 30 ，且 x 为整数，所
以利润不低于2750 元的共有26 天.
【小问 1 详解】
解：根据题意，得 w = y(z − 50)
w = (−2x + 120)[(x + 70) − 50]
w = −2x2 + 80x + 2400 （1 ≤ x ≤ 30 ，且x 为整数）. 【小问 2 详解】
∵ w = −2(x − 20)2 + 3200 ，
∴当x =20 时， w 取最大值为3200 元； 当x =1时， w 取最小值为2478 元.
故：第20 天日销售利润最大，最大利润为3200 元；第1天日销售利润最小，最小利润为 2478 元. 【小问 3 详解】
令 w = 2750 ，即 −2(x − 20)2 + 3200 ≥ 2750 ， 解得5 ≤ x ≤ 35 ，
∵1 ≤ x ≤ 30 ，且 x 为整数，
∴利润不低于2750 元的共有26 天.
23. 已知0ABC ， CA = CB ， ∠ACB = 90° , CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D ．点 E 在线段 CA 上，连接 DE ，过点 D 作DE 的垂线与 CB 交于点 F.
（1）如图 1，当 DE 丄 CA 时，求证：DE = DF ；
（2）如图 2，当 DE 与 CA 不垂直时，“ DE = DF ”是否仍成立？请作出判断，并说明理由；
（3）如图 3，连接EF 与 CD 交于点 O，若OE = 2 ， OF = 4 ，求线段OC 的长. 【答案】（1）见解析 （2）成立，理由见解析
（3） 4
5
【解析】
【分析】（1）证明四边形DECF 是矩形，进而得到DF 丄 CB ，根据角平分线的性质定理，即可得出结果.
（2）证明OADE≌OCDF(ASA ) ，即可；
（3）作 DG 丄 EF 于点 G，根据等腰直角三角形的性质，求出OG 的长，勾股定理求出OD 的长，证明
△ODF ∽△FDC ，求出 CD 的长，用 CD − OD 求出OC 的长即可.
【小问 1 详解】
证明： ∵ DE 丄 CA ，DE 丄 DF ，
∵ ∠ACB = ∠EDF = ∠DEC = 90° , ∴四边形DECF 是矩形.
∴ ∠DFC = 90° , ∴ DF 丄 CB .
又∵CD 平分∠ACB ，DE 丄 CA ， ∴ DE = DF .
【小问 2 详解】
“ DE = DF ”仍成立. 理由如下：
∵ CA = CB ， ∠ACB = 90° , CD 平分∠ACB ， ∴ ∠ADC = 90° , ∠ACD = ∠BCD = 45° .
∴ ∠A = 45° ,
∴ ∠A = ∠ACD ，
∴ AD = CD .
∵ ∠ADC = ∠EDF = 90° , ∴ ∠ADE = ∠CDF .
又 ∠A = ∠DCF = 45° ,
∴OADE≌OCDF(ASA ) .
∴ DE = DF . 【小问 3 详解】
作DG 丄 EF 于点 G .
∵ DE 丄 DF ，DE = DF ， ∴ ODEF 是等腰直角三角形.
∵ EF = OE + OF = 2 + 4 = 6 ，
∵ DE = DF ， ∠EDF = 90° , DG 丄 EF ，
∴ OG = 1 .
在 RtODG 中， OD = DG2+OG2 = 32+12 = ∵ ∠DFO = ∠DCF = 45° , ∠ODF = ∠FDC ，
∴ △ODF ∽△FDC .
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，角平分线的 判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题 的关键.
24. 如图 1，已知抛物线y = x2 + bx + c 与 x 轴交于点 A(1, 0) 和B(4, 0) ，与 y 轴交于点 C，过点 B ，C 作 直线.
（1）求 b ，c 的值和直线BC 的解析式；
（2）点 P 是直线BC 下方的抛物线上的点，PD ∥ y 轴与直线BC 交于点 D，设点 P 的横坐标为 t .
①如图 2，连接PB，PC，OP ，当 0PBC 的面积最大时，试判断四边形OCDP 的形状，并说明理由；
②如图3，抛物线的对称轴为直线 l，直线DP 与 x 轴交于点 E，过点 D 作直线BC 的垂线，与直线 l 交于 点 F，与 y 轴交于点 G，连接EF，EG ．当 ∠FEG = 45°时，求 t 的值.
5 ，直线BC 的解析式为y = −x + 4
（2）①四边形OCDP 是平行四边形，理由见解析；② t = 1或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可得到 b ，c 的值，再根据二次函数解析式求出点 C 的 坐标，利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；
（2）①设P(t, t2 − 5t + 4)，则D(t, −t + 4) ，根据S0 PBC 最大时，得到t = 2 ，即可证明四边形OCDP 是
平行四边形；②根据题意易证是等腰直角三角形．抛物线的对称轴 l 的解析式为 ，得到E 证明 △EGF ∽△DGE ，根据
GE2 = OG2 + OE2 = (−2t +4)2 + t2 ，即可求解.
【小问 1 详解】
解： ∵抛物线y = x2 + bx + c 经过点 A(1, 0) 和B(4, 0) ，
解得 .
∴ y = x2 − 5x + 4 .
当 x = 0 时， y = 4 ， ∴C(0, 4) .
设直线BC 的解析式为y = mx + n ，
.
∴直线BC 的解析式为y = −x + 4 ； 【小问 2 详解】
解：①四边形OCDP 是平行四边形. 理由如下：
∵ P(t, t2 − 5t + 4)， ∴ D (t, −t + 4) .
∴ PD = (−t + 4) − (t2 − 5t + 4) = −t2 + 4t .
S△PBC = × 4 × PD = −2t2 + 8t = −2(t − 2)2 + 8 ，
∴SOPBC 最大时，t = 2 .
当t = 2 时，PD = −22 + 4× 2 = 4 .
又 OC = 4 ，
∴ OC = PD . 又PD ∥ OC ，
∴四边形OCDP 是平行四边形.
②∵ OC = OB = 4 ，
∴ OBOC 是等腰直角三角形. ∵ GD 丄 BC ，
∴ OCDG 是等腰直角三角形．抛物线的对称轴 l 的解析式为x = .
∴ GF = ， GD = t .
∵ ∠FEG = ∠EDG = 45° , ∠EGF = ∠DGE ， ∴ △EGF ∽△DGE .
∴ GE2 = GF × GD = × t = 5t .
2
在RtOOGE 中， GE2 = OG2 + OE2 = (−2t + 4)2 + t2 . ∴ (−2t + 4)2 + t2 = 5t ，
整理得：5t2 − 21t +16 = 0 .
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质、一次函数解析式，平行四边形的判 定，等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，综合性强，熟练运 用相应知识是解题关键.