福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数，则( )
A.2B.0C.D.
2．已知，是两个不共线的向量，且，，，则( )
A.A，B，D三点共线B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线D.A，C，D三点共线
3．在中，，，，则( )
A.B.或C.D.或
4．在矩形中，，，E为线段的中点，F为线段上靠近C的四等分点，则的值为( )
A.4B.8C.D.5
5．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是( )
A.6B.8C.4D.2
7．中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，，，中间圆台的高为，下面圆台的高为，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为( )
A.B.C.D.
8．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A.复数为实数
B.对应的点位于第二象限
C.若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为
D.
二、多项选择题
9．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是( )
A.
B.复数的共轭复数的虚部为2
C.若是关于x的方程的一个根，则
D.若复数z满足，则的最大值为2
10．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记.在上述坐标系中，若，，则( )
A.B.C.D.与夹角的余弦值为
11．给出下列命题，其中正确的选项有( )
A.若，，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为
B.已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C.若，则P是的垂心
D.在中，向量与满足，且，则为等边三角形
12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的有( )
A.当，，时，满足条件的三角形共有1个
B.若是钝角三角形，则
C.若，则
D.若，，则面积的最大值为
三、填空题
13．已知向量，满足，且，，则与的夹角为_________.
14．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是_____.
15．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在北偏东，则灯塔C与D处之间的距离为______海里.
16．赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形.如图所示，正方形ABCD的边长为，正方形EFGH边长为1，则的值为______；______.
四、解答题
17．已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求k的值.
18．如图所示，正方体的棱长为2，连接，，，，，得到一个三棱锥.求：
（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥的外接球的表面积和体积.
19．如图，在中，已知P为线段上一点，.
（1）若，求实数x，y的值；
（2）若，，，且与的夹角为，求的值.
20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角C的大小；
（2）若，且的外接圆半径为，求边上的高h.
21．某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在上，且.
（1）当米时，求的长和郁金香区的面积；
（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设，求面积的最大值.
22．如图，在中，已知，，，边上的中点为M，点N是边上的动点（不含端点），，相交于点P.
（1）求；
（2）当点N为中点时，求：的余弦值；
（3）求：的最小值；当取得最小值时设，求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意，，所以.
故选：C.
2．答案：A
解析：，故，则，
又因为两向量有公共点B，
故A，B，D三点共线.
故选：A.
3．答案：D
解析：在中，根据大边对大角可得，
由正弦定理，得，
所以，故或.
故选：D.
4．答案：B
解析：依题意，以点A为原点，直线，分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，，，，
所以.
故选：B.
5．答案：B
解析：设母线长为l，依题意得，，解得，于是圆锥的高为，
根据圆锥的体积公式，其体积为：.
故选：B.
6．答案：A
解析：因为，
根据正弦定理得到：，
故得到，
，，
再由余弦定理得到：，
代入，，得到.
故选：A.
7．答案：D
解析：由，，
可得该瓷器的侧面积为.
故选：D.
8．答案：D
解析：对于A：，则复数为纯虚数，故A错误；
对于B：，因为，所以，，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误；
对于C：，，
，，
因此的面积为，
因为，
所以面积的最大值为，故C错误；
对于D：
，
所以
，故D正确.
故选：D.
9．答案：BD
解析：对于A中，由复数的运算法则，可得，所以A不正确；
对于B中，由复数，可得，可得的虚部为2，所以B正确；
对于C中，由若是关于x的方程的一个根，
可得方程的另一根为，则，所以C不正确；
对于D中，由复数z满足，可得在复平面内表示以为圆心，半径为1的圆，
又由表示圆上的点到原点的距离，可其最大值为2，所以D正确.
故选：BD.
10．答案：AD
解析：由题意，，且，A正确；
所以，则，，则，B错误；
，故C错误；
由上知：，D正确.
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：A.因为，，向量与向量的夹角为，则，
所以在上的投影向量为，故A正确；
B.因为，，且与的夹角为锐角，，
所以，且，不共线且同向，
即，且，解得，故B错误；
C.因为，
所以，，，
即，，，所以P是的垂心，故C正确；
D.在中，因为向量与满足，
则，
又是的角平分线上的向量，所以，
又，所以，所以为等边三角形，故D正确，
故选：ACD.
12．答案：BD
解析：对于A：由余弦定理有：①，
，，代入①式有：②，
上式判别式，
故②式无解，即c不存在，故A错误.
对于B：当时，；
故，显然成立；
当时，且，则，
所以③，
对③式两边同乘以有；
当时，；
故，显然成立；
综上所述三种情况都有：恒成立，故B正确；
对于C：，
当时，，
当时，时，得不出，故C错误；
对于D：若，，则由余弦定理，有.
又，故，当且仅当时取等号.
故，故D正确；
故选：BD.
13．答案：/
解析：由，得，解得，
设与的夹角为，则
，
因为，
所以.
所以与的夹角为.
故答案为：.
14．答案：40
解析：根据题意，原图形如下图：
的底边AB的长为5，高为16，
其面积为.
故答案为：40.
15．答案：
解析：如图所示，，，，，，
在中，，，
由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
即灯塔C与D处之间的距离为海里.
故答案为：.
16．答案：6；
解析：依题意，，，，全等，
在中，，，，由得：
，即，又，解得，
；
，，
所以.
故答案为：6；.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由得，，.
（2）由已知，
又，，解得.
18．答案：（1）
（2），
解析：（1）正方体的棱长为2，则，
显然三棱锥是正四面体，其表面积为，而正方体的表面积为，
所以三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为.
（2）显然三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设球半径为R，
则，即，
所以三棱锥的外接球的表面积为，体积为.
19．答案：（1），
（2）
解析：（1）由得：，
，，
，.
（2）由得：，
，
又，，且与的夹角为，
则
，
所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由及正弦定理，得，
即，
整理得，而，则，又，
所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得，
由余弦定理，得，
解得，的面积，即，
所以.
21．答案：（1）80米，平方米
（2）平方米
解析：（1）由，得，在中，，，
由余弦定理得，
即，而，解得，
，
所以的长为80米，郁金香区的面积平方米.
（2）由，得，，，
在中，由正弦定理得，则，
因此
，当时，，的面积取得最大值，
所以面积的最大值为平方米.
22．答案：（1）
（2）
（3），
解析：（1）在中，，，，由余弦定理知：
，
所以.
（2）设，，由M，N分别为，的中点，得，，
而，，，则，
，
又，
，
所以的余弦值为.
（3）设，，
当，即时，取最小值；
显然，则，而，，
因此，又A，P，M三点共线，则，
所以.