2024年安徽省合肥市包河区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年安徽省合肥市包河区中考数学二模试卷（含解析）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−4的绝对值是( )
A. 14B. −14C. 4D. −4
2.空中飘雪前往往先下霰，霰是一种球形小冰晶，其半径0.15到1.25毫米，0.15毫米=0.00015米.数据0.00015用科学记数法表示为( )
A. 1.5×10−4B. −1.5×104C. 1.5×10−3D. −1.5×10−3
3.如图，几何体的俯视图为( )
A. B. C. D.
4.计算(−2ab2)3，结果正确的是( )
A. −2a3b6B. −6a3b6C. −8a3b5D. −8a3b6
5.如图，一束太阳光线照射直角三角板ABC(∠BAC=30°)后投射在地面上得到线段BD，若∠1=32°，∠2=50°，则∠ABD=( )
A. 12°B. 15°C. 18°D. 20°
6.小明爬楼回家，他所爬楼梯台阶总数m个是楼层的层数n层(n≥2的整数)的一次函数，其部分对应值如表所示：
已知每个台阶的高为0.1m，小明家在20楼，他家距地面的高度是( )
A. 56mB. 57.4mC. 54.6mD. 59.2m
7.甲、乙两名技工每天的基本工作量都是做10件产品，质检部将他们一周的优等品件数绘制如图的折线统计图，根据统计图中的数据，下列说法正确的是( )
A. 甲、乙的优等品件数的平均数相同B. 甲、乙的优等品件数中位数相同
C. 甲的优等品件数的众数小于乙的众数D. 甲的优等品件数的方差大于乙的方差
8.已知实数a，b满足：b=−a+2，−1<2a−b<1，则下列结论不正确的是( )
A. a>0B. 112
9.如图，菱形ABCD的面积为48，AB=8，∠B为锐角，点E，F，G分别在AB，BC，AD上，∠FEG=90°，EF=EG，若FG⊥BC，则BF的长为( )
A. 5
B. 7+3
C. 3 2
D. 3 2+2
10.已知点P(m,y1)，Q(a−m,y2)是抛物线y=−x2+2x+3上的不同两点，抛物线y=−x2+2x+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B.下列四个论断：①当a=2时，y1=y2；②若点P是线段AB上方的点，作PM⊥x轴于点M，交AB于点N，当1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.命题“如果a，b互为相反数，那么a+b=0”的逆命题为：______．
12.如图，AB是半径为3的⊙O的切线，切点为A，BO的延长线交⊙O于点C，连接AC，若∠B=36°，则AC的长为______．
13.如图.正方形ABCD的顶点A，C在双曲线y=6x(x>0)上，顶点B在双曲线y=kx(x>0)上，AB/​/x轴，正方形ABCD的面积为25，则k的值是______．
14.已知，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，延长BC至F，使EF=AE，连接AF交CD于点G．
(1)若AF=2AB，则∠BAE= ______°；
(2)点接BG，EG，AE与BG交于O，若EG⊥AF，则AOOE= ______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 12−(12)−1+| 3−2|．
16.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC．
(1)将△ABC向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到△DEF(其中A与D，B与E，C与F是对应点)，在网格中画出△DEF；
(2)用无刻度直尺在网格中画出AC边上的高BH．
17.(本小题8分)
某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半.今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变．
(1)今年燃油汽车计划的销量为______辆(用含a或b的代数式表示)．
(2)若今年计划的总销量就比去年增加20%，求ab的值．
18.(本小题8分)
图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD′的夹角为∠D′AB=37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流刚好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=150cm.问安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cs72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70)
19.(本小题10分)
已知，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O直径，AD与BC的延长线相交于点E，AC平分∠BAD.AC与BD相交于点F．
(1)如图1，若AD=BD，求证：AF=BE；
(2)如图2，若DE=4，CE=6，求⊙O的半径．
20.(本小题10分)
高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：
(1)图1的彩色正方形有：1+1=1+1×(1+1)2；
图2的彩色正方形有：1+1+2=1+2×(1+2)2；
图3的彩色正方形有：1+1+2+3=1+3×(1+3)2；
图4的彩色正方形有：1+1+2+3+4=1+4×(1+4)2；…，
图n的彩色正方形有：______．
(2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个；图3中，白色正方形比彩色正方形多3个；…；图n的白色正方形有______个.
(3)若图n中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n中白色正方形的个数．
21.(本小题12分)
2024年巴黎奥运会新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个项目，为了更好地观赏这些项目，学校在四个场所开展了这四个项目竞技知识讲座，要求每位学生参与其中一场讲座，九(1)班在不透明的袋子中放置四个大小一样的小球，编号为1，2，3，4．
(1)若1号表示霹雳舞，2号表示滑板，3号表示攀岩，4号表示冲浪.第一位同学从袋子中摸出一球，记录球号后放回袋子中，摇匀后让第二位同学摸出一球……，摸到球号是多少就去参加对应项目的讲座，求包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率；
(2)包包和河河同学都有霹雳舞基础，霹雳舞会场将从这两人中选一人作为助讲.他俩都想去，于是商定：从袋子中一次性摸出两球，若球号之和大于5，则包包去辅助教学，否则河河去.问他们商定的方案公平吗？若不公平，请修改游戏规则使游戏公平．
22.(本小题12分)
如图，在1～12月份期间，某种农产品销售单价y1(元/件)与月份x之间的函数图象是抛物线ABC(部分)，7月份该产品的销售单价最高，为10元/件；它的生产成本y2(元/件)与月份x之间函数图象是折线DEF．
(1)分别求出y1、y2关于x的函数关系式；
(2)从1月份到8月份，问几月份这种产品每件的销售利润最大，最大时多少元？
23.(本小题14分)
如图，AB=AC，AM⊥BC于点M，D在BM上，E在AC上，∠ADE=∠B．
(1)若∠B=40°，∠BAD=30°，求证：△ABD≌△DCE；
(2)作AN⊥DE于点N，点F是CM一点，且FN=FM，
①求证：∠MFN=2∠B；
②求BDMF的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：|−4|=4．
故选C．
根据绝对值的性质一个负数的绝对值等于这个数的相反数，直接就得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质，熟练应用绝对值的性质是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：0.00015=1.5×10−4．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：从上边看，是一个正方形，正方形内部左上角是一个小正方形．
故选：D．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
4.【答案】D
【解析】解：(−2ab2)3=−8a3b6．
故选：D．
直接利用积的乘方运算法则化简求出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵一束太阳光线照射直角三角板ABC，
∴∠ADB=∠2=50°，
∵∠1=32°，∠BAC=30°，
∴∠1+∠BAC=32°+30°=62°，
∵∠1+∠BAC=∠ADB+∠ABD，
∴∠ABD=∠1+∠BAC−∠ADB=62°−50°°=12°，
故选：A．
由平行线的性质得∠ADB=∠2=50°，再求出∠1+∠BAC=62°，然后由三角形的外角性质得∠1+∠BAC=∠ADB+∠ABD，即可得出结论．
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：设m与n之间的函数关系式为m=kn+b(m、n为常数，且m≠0)．
将n=2，m=42和n=3，m=70代入m=kn+b，
得2k+b=423k+b=70，
解得k=28b=−14，
∴m与n之间的函数关系式为m=28n−14，
当n=20时，m=28×20−14=546，
0.1×546=54.6(m)，
∴他家距地面的高度是54.6m．
故选：C．
利用待定系数法求出m与n之间的函数关系式，将n=20代入，求出对应m的值，再根据“距地面的高度=每个台阶的高度×台阶数”计算即可．
本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：x−甲=15×(5+8+6+8+6)=6.6(件)，
x−乙=15×(9+4+7+9+10)=7.8(件)，
所以甲、乙的优等品件数的平均数不相同，故选项A说法错误，不符合题意；
甲的优等品件数中位数是6，乙的优等品件数中位数是9，所以甲、乙的优等品件数中位数不相同，故选项B说法错误，不符合题意；
甲的优等品件数的众数为6和8，乙的优等品件数的众数为9，所以甲的优等品件数的众数小于乙的众数，故选项C说法正确，符合题意；
由统计图可知，甲的优等品件数的波动比乙的小，即甲的优等品件数的方差小于乙的方差，故选项D说法错误，不符合题意．
故选：C．
根据加权平均数、中位数、众数的计算公式可判断选项A、B、C；利用折线统计图判断甲、乙成绩的波动性的大小可得判断选项D．
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了加权平均数、众数、中位数以及方差的意义．
8.【答案】D
【解析】解：∵−1<2a−b<1，b=−a+2，
∴−1<2a+a−2<1．
∴−1<3a−2<1．
∴1<3a<3，
∴13∵b=−a+2，
∴a=2−b．
∵13∴13<2−b<1．
∴1∵13∴a<1∴a−b<0，故选项C正确，不符合题意；
∵b=−a+2，
∴b−1a+112
=2b−22a+2−a+12a+2
=2(−a+2)−2−a−12a+2
=−2a+4−2−a−12a+2
=−3a+12a+2．
∵13∴−3a+1<0，2a+2>0．
∴−3a+12a+2<0．
∴b−1a+1<12，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
利用不等式的性质、分式的加减逐个计算得结论．
本题主要考查了不等式的应用，掌握不等式的性质及分式的性质是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥BC于M，作EO⊥FG于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，BC=AB=8，
∵FG⊥BC，
∴菱形ABCD的面积=BC⋅FG=48，
∴FG=6，
∵∠FEG=90°，EG=FE，
∴O是FG的中点，
∴OE=12FG=12×6=3，
∴OE=OF，
∵EM⊥BC，FG⊥BC，EO⊥FG，
∴四边形OEBF是正方形，
∴FM=OE=3，EM=OF=3，
∵BC⊥FG，EO⊥FG，AG⊥AD，
∴AD//OE//BF，
∵OG=OF，
∴AE=BE=12AB=4，
∴MB= BE2−EM2= 7，
∴BF=MB+MF= 7+3．
故选：B．
过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥BC于M，作EO⊥FG于O，由菱形的性质推出AD//BC，BC=AB=8，由菱形的面积公式求出FG=6，由直角三角形斜边中线的性质推出OE=OF，判定四边形OEBF是正方形，FM=OE=3，EM=OF=3，由平行线等分线段定理推出AE=BE=4，由勾股定理求出MB= BE2−EM2= 7，得到BF=MB+MF= 7+3．
本题考查菱形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边的中线，正方形的判定和性质，勾股定理，关键是由等腰直角三角形的性质推出四边形OEBF是正方形，得到FM=OE=3，EM=OF=3，由勾股定理求出BM的长．
10.【答案】C
【解析】解：：∵y=−x2+2x+3=−(x−3)(x+1)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−22×(−1)=1，
A(3,0)，B(0,3)，∴设直线AB的解析式为y=kx+b，
则0=3k+b3=b，
解得：k=−1b=3，
直线AB的解析式为y=−x+3，
∵当a=2时，m+2−m2=1，
∴P(m,y1)，Q(a−m,y2)，是关于直线x=1的对称点，
∴y1=y2，
故①正确，
若点P是线段AB上方的点，则0则PN=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m=−(m−32)2+94，
当32当a=1，m<12时，
y1−y2=(−m2+2m+3)−[−(1−m)2+2(1−m)+3]=2(m−12)<0，
∴y1a=3时，
y1−y2x1−x2=(−m2+2m+3)−[−(1−m)2+2(1−m)+3]m−(3−m)=3−2m2m−3=−1，
∵点P不与点A、B重合，直线PQ/​/AB，
∴④正确，
综上所述：①③④正确．
故选：C．
由抛物线方程，得到对称轴解析式，A、B坐标，进而得到直线AB的解析式，当a=2时，根据中点公式，得到P、Q的对称轴，即可判断①，将m分别代入直线AB与抛物线方程，并配方，根据一元二次方程的增减性，即可判断②，当a=1，m<12时，计算y1−y2的值，即可判断③，当a=3时，计算y1−y2x1−x2的值，结合点P不与点A，B重合，即可判断④．
本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
11.【答案】如果a+b=0，那么a、b互为相反数
【解析】解：命题“如果a、b互为相反数，那么a+b=0”的逆命题是：如果a+b=0，那么a、b互为相反数．
故答案为：如果a+b=0，那么a、b互为相反数．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12.【答案】21π10
【解析】解：连接OA，
∵AB是半径为3的⊙O的切线，切点为A，
∴OA=3，AB⊥OA，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=36°，
∴∠AOC=∠OAB+∠B=90°+36°=126°，
∴lAC=126π×3180=21π10，
故答案为：21π10．
连接OA，则OA=3，由切线的性质得AB⊥OA，则∠OAB=90°，所以∠AOC=∠OAB+∠B=126°，即可根据弧长公式求得lAC=126π×3180=21π10，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】36
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB/​/x轴，正方形ABCD的面积为25，
∴AB=BC=5，
∵点A，C在双曲线y=6x(x>0)上，
设B(a,b)，
∴A(a−5,b)，C(a,b−5)，
∴ab−5b=6ab−5a=6，
∴a=b，
∴a2−5a−6=0，
∴a=6或−1(舍去)，
∴B(6,6)，
∵点B(6,6)在双曲线y=kx(x>0)图象上，
∴k=36．
故答案为：36．
设B(a,b)，根据题意可知A(a−5,b)，C(a,b−5)根据图像上点的坐标特征解得a=b=6.继而求出k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
14.【答案】30 83
【解析】解：(1)∵在正方形ABCD中，∠B=90°，AF=2AB，
∴sin∠AFB=ABAF=12，
∴∠F=30°，
∴∠BAF=60°，
∵EF=AE，
∴∠EAF=∠F=30°，
∴∠BAE=∠BAF−∠EAF=30°；
故答案为：30；
(2)作EM⊥BC交BG于点M，
则EM//CD//AB，
∵EF=AE，EG⊥AF，
∴AG=GF，
∵∠D=∠DCF=90°，∠AGD=∠CGF，
∴△ADG≌△FCG(AAS)，
∴DG=CD=12CD=12AB，AD=CF=BC=AB，
∴EF=AE=BF−BE=2AB−BE，
∵∠ABC=90°，
∴AE2=AB2+BE2，即(2AB−BE)2=AB2+BE2，
∴BEAB=BEBC=34，
∵EM//CD，
∴△BEM∽△BCG，
∴EMCG=BEBC=34，
∴EM2CG=38
∵EM//AB，
∴△AOB∽△EOM，
∴，AOOE=ABEM=83
故答案为：83．
(1)由正方形的性质，结合AF=2AB，可推出∠F=30°，得到∠BAF=60°，由EF=AE可得∠EAF=∠F=30°，再根据角的和差即可求解；
(2)作EM⊥BC交BG于点M，则EM//CD//AB，证明△ADG≌△FCG，得到DG=CD=2CD=AB，AD=CF=BC=AB，推出EF=AE=2AB−BE，根据勾股定理可推出BEAB=BEBC=34，由EM//CD可得△BEM∽△BCG得出EMCG=EMAB=34，根据EM/​/AB得出△AOB∽△EOM，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
15.【答案】解：原式=2 3−2+2− 3
=2 3− 3+2−2
= 3．
【解析】根据负整数指数幂的性质和绝对值的性质进行乘方运算和去掉绝对值符号，并把二次根式化成最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
本题主要考查了实数的有关运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质和绝对值的性质．
16.【答案】解：(1)如图，△DEF即为所求．
(2)如图，BH即为所求．

【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据三角形的高的定义画图即可．
本题考查作图−平移变换、三角形的高，熟练掌握平移的性质、三角形的高的定义是解答本题的关键．
17.【答案】0.7a
【解析】解：(1)∵某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，
∴今年燃油汽车计划的销量为(1−30%)a，即0.7a辆，
故答案为：0.7a；
(2)∵某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半，
∴混动汽车的销量是12a辆，
∴去年总销量为(a+b+12a)辆，即(32a+b)辆，
∵今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变，
∴今年总销量为(0.7a+2b+12a)辆，即(1.2a+2b)辆，
由题意得，1.2a+2b=(1+20%)(32a+b)，
解得ab=43．
(1)根据今年计划销售燃油汽车比去年减少30%列出代数式即可；
(2)分别计算去年、今年的总销量，然后列出方程求解即可．
本题考查了列代数式以及分式的值，读懂题意，正确列出代数式是解题的关键．
18.【答案】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，
∵AB=25cm，DE=50cm，
∴sin37°=GBAB，cs37°=GAAB，
∴GB≈25×0.60=15(cm)，GA≈25×0.80=20(cm)，
∴BF=50−15=35cm，
∵∠ABC=72°，∠D′AB=37°，
∴∠GBA=53°，
∴∠CBF=55°，
∴∠BCF=35°，
∵tan35°=BFCF，
∴CF≈350.70=50(cm)，
∴FE=50+150=200(cm)，
∴GD=FE=200cm，
∴AD=200−20=180(cm)，
∴安装师傅应将支架固定在离地面180cm的位置．
【解析】过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
19.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=∠BDE=∠ACB=90°，
∴∠DAF+∠DFA=∠CFB+∠CBF=90°，
∵∠DFA=∠CFB，
∴∠DAF=∠EBD，
∵AD=BD，
∴AD=BD，
在△DAC和△EBD中，
∠DAC=∠EBDAD=BD∠ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(ASA)
∴AF=BE；
(2)解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠EAC，
由(1)得：∠ACE=∠ACB=90°，
在△ACE和△ACB中，
∠EAC=∠BACAC=AC∠ACE=∠ACB，
∴△ACE≌△ACB(ASA)，
∵CE=6，
∴BC=CE=6，BE=2BC=12，
设AD=a，AB=b，
由勾股定理得：EA2−CE2=CA2，BE2−DE2=DB2，
∴CA2=(a+4)2−62，DB2=122−42，
CA2+CB2=AB2DB2+DA2=AB2，即：(a+4)2−62+62=b2122−42+a2=b2，
解得：b=18，
∵AB为⊙O直径，
∴⊙O的半径为b2=9．
【解析】(1)利用ASA证得△ADF≌△BDE，进而可求证结论；
(2)利用ASA先证得△ACE≌△ACB，进而可得BC=CE=6，BE=2BC=12，设AD=a，AB=b，利用勾股定理得CA2=(a+4)2−62，DB2=122−42，再结合CA2+CB2=AB2DB2+DA2=AB2，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
20.【答案】1+1+2+3+…+n=1+n(n+1)2 [1+n+n(n+1)2]
【解析】解：(1)由题知，
图1的彩色正方形有：1+1=1+1×(1+1)2；
图2的彩色正方形有：1+1+2=1+2×(1+2)2；
图3的彩色正方形有：1+1+2+3=1+3×(1+3)2；
图4的彩色正方形有：1+1+2+3+4=1+4×(1+4)2；
…，
所以图n的彩色正方形有：1+1+2+3+…+n=1+n(n+1)2．
故答案为：1+1+2+3+…+n=1+n(n+1)2．
(2)因为图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；
图2中，白色正方形比彩色正方形多2个；
图3中，白色正方形比彩色正方形多3个；
…；
所以图n中，白色正方形比彩色正方形多n个；
所以图n中，白色正方形的个数为：1+n+n(n+1)2．
故答案为：[1+n+n(n+1)2].
(3)由所给图形可知，
图1中，等边三角形的个数为2；
图2中，等边三角形的个数为3；
图3中，等边三角形的个数为4；
…，
所以图n中，等边三角形的个数为(n+1)个．
因为图n中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，
所以1+n(n+1)2−(n+1)=45，
解得n=10(舍负)，
则1+n+n(n+1)2=1+10+10×112=66(个)，
即白色正方形的个数为66个．
(1)根据所给等式，发现规律即可解决问题．
(2)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
(3)根据(1)中发现的规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形、白色正方形和彩色正方形个数变化的规律是解题的关键．
21.【答案】解：(1)画树状图如下：

∵共有16种等可能的情况，包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的有1种情况，
∴包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率是116．
(2)画树状图如下，

∵共有12种等可能的情况，球号之和大于5的有4种情况，
∴包包去辅助教学的概率是412=13，
∴河河去辅助教学的概率是1−13=23，
∵13≠23，
∴他们商定的方案不公平，
修改游戏规则为：从袋子中一次性摸出两球，若球号之积大于5，则包包去辅助教学，否则河河去．
【解析】(1)画出树状图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得包包和河河同学都选中参加霹雳舞讲座的概率．
(2)画出树状图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得包包和河河同学去辅助教学的概率，即可得到结论．
此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
22.【答案】解：(1)由题意得：抛物线的顶点坐标为(7,10)．
∴设y1=a(x−7)2+10．
∵经过点(12,5)．
∴5=a(12−7)2+10．
解得：a=−15．
∴y1=−15(x−7)2+10；
①当1≤x≤8时，设y2=kx+b．
∵经过点(1,2)，(8,385)，
∴k+b=28k+b=385．
解得：k=45b=65．
∴y2=45x+65．
②当8∵经过点(12,185)，(8,385)，
∴12m+n=1858m+n=385．
解得：m=−1n=785．
∴y2=−x+785．
∴y2=45x+65(1≤x≤8)−x+785(8(2)设这种产品每件的销售利润为y元．
当1≤x≤8时，y=y1−y2
=−15(x−7)2+10−(45x+65)
=−15x2+2x−1．
∵−15<0，
∴当x=−b2a=5时，y有最大值．y最大=4．
答：从1月份到8月份，5月份这种产品每件的销售利润最大，最大时4元．
【解析】(1)易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点C的坐标代入可得a的值，即可求得y1的函数关系式；当1≤x≤8时，设y2=kx+b，把点D、E的坐标代入可得k和b的值，即可求得1≤x≤8时，y2的函数关系式；当8(2)从1月份到8月份，这种产品每件的销售利润=销售单价−销售成本，把相关数值代入可得二次函数解析式，根据二次函数的二次项的系数小于0，可得x=−b2a时，销售利润最大以及最大利润是多少元．
本题考查二次函数的应用．用待定系数法得到相关函数解析式是解决本题的关键．当二次函数有顶点坐标时，设函数的解析式为顶点式，计算比较简便．
23.【答案】(1)证明：∵∠B=40°，AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°−40°×2=100°，
∵∠BAD=30°，
∴∠ADC=70°，∠CAD=70°，
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD+∠ADB=∠ADB+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠CAD=∠ADC，
∴AC=CD，
∴AB=CD，
在△ABD和△DCE中，
∠B=∠CAB=DC∠BAD=∠CDE，
∴△ABD≌△DCE(ASA)；
(2)①证明：∵AN⊥DE，AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AND，
∵∠ADE=∠B，
∴△ABM∽△ADN，
∴∠BAM=∠DAM,ABAD=AMAN，
∴∠BAM−∠DAM=∠DAN−∠DAM，即∠BAD=∠MAN，
∴△ABD∽△AMN，
∴∠B=∠AMN，
∴∠FMN=∠AMF−∠AMN=90°−∠B，
∵FN=FM，
∴∠MFN=180°−2∠FMN=180°−2(90°−∠B)=2∠B；
②解：延长DE至C，使NG=DN，连接AG，CG，

∵NG=DN，AN⊥DE，
∴AD=AG，
∴∠DAG=2∠DAN，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴∠BAC=2∠BAM，
∵∠ADE=∠B，∠AND=∠AMB=90°，
∴∠DAN=∠BAM，
∴∠DAG=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAG，
∵AB=AC，AD=AG，
∴△ABD≌△ACG(SAS)，
∴BD=CG，∠B=∠ACG，
∵∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠ACG=∠B，
∴∠BCG=2∠B，
∵∠MFN=2∠B，
∴∠MFN=∠BCG，
∴NF//CG．
∵DN=NG，
∴DF=CF，
∴CG=2FN，
∵FN=FM，
∴BD=2MF，即BDMF=2．
【解析】(1)利用角与边的关系推导出∠B=∠C=40°，AB=CD，∠BAD=∠CDE，进而得到推导出△ABD≌△DCE(ASA)；
(2)①首先推导出△ABM∽△ADN，∠BAM=∠DAM,ABAD=AMAN，进一步得到∠BAD=∠MAN，△ABD∽△AMN，进而得到∠B=∠AMN，∠MFN=180°−2∠FMN=180°−2(90°−∠B)=2∠B；
②首先推导出∠BAD=∠CAG，AB=AC，AD=AG，从而得到△ABD≌△ACG(SAS)，推导出BD=CG，∠B=∠ACG，通过推导出∠MFN=∠BCG，得到NF//CG，由DN=NG，得到DF=CF，CG=2FN，结合FN=FM，推导出BD=2MF，即BDMF=2．
本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解答本题的关键是作出适当的辅助线，构造相似形进行解答．层数n/(层)
2
3
4
5
…
台阶数m/(个)
42
70
98
126
…