2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期5月联考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高一下学期5月联考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。

1.3888∘的终边落在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.若tanα2=4，则tanα=( )
A. −817B. 817C. −815D. 815
3.将函数f(x)=sin8x+π16的图象向右平移π16个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则g(x)=( )
A. sin8x−15π16B. sin8x−7π16C. sin8xD. sin8x+π8
4.某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为34，在续航测试中结果为优秀的概率为23，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为
( )
A. 712B. 12C. 512D. 13
5.已知函数fx=sin2ωx+π6ω>0的最小正周期为π，则fx图象的一个对称中心的坐标为
( )
A. −5π12,0B. −π4,0C. π12,0D. −7π12,0
6.已知向量a=(1,2)，b=(0,10)，则向量b在向量a上的投影向量的坐标为
( )
A. (4,8)B. (2,4)C. (5,10)D. 12,1
7.若a=0.70.3,b=lg2a,c=lg0.70.3，则
( )
A. c>a>bB. b>c>aC. a>b>cD. a>c>b
8.已知A,B,C∈0,π2，sinAcsB=sinBcsC=12，则sinCcsA的最大值是
( )
A. 14B. 12C. 32D. 22
9.为了解“全民齐参与城市更美丽”的志愿服务情况，随机抽取了100名志愿者进行问卷调查，将这100名志愿者问卷调查的得分按50,60,60,70，70,80,80,90，90,100分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列结论正确的是
( )
A. a=0.015
B. 估计这100名志愿者问卷调查得分的90%分位数为85
C. 这100名志愿者问卷调查得分的平均数为75(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
D. 若采用分层随机抽样从得分在50,60,90,100内的志愿者中抽取8人，则抽取的这8名志愿者得分在50,60内的人数为6
10.若函数fx=csωx−π12(ω>0)在π6,2π3上单调，则ω的取值可能为
( )
A. 116B. 18C. 38D. 74
11.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AD⊥AB,CD=2,AD=4,AB=5,E,F分别在线段AD,AB上，且线段DE与线段BF的长度相等，则
( )
A. CE⋅CF的最小值为−4B. CE⋅CF的最大值为18
C. CE⋅EF的最大值为−1D. △CEF的面积的最大值为418
二、非选择题（共75分）
12.用一根长度为4的绳子围成一个扇形，当扇形弧长为2时，其圆心角的弧度数为_
13.已知向量a=1,2,b=1,λ，若a⊥b，则λ= ；若a,b=π4，则b= ．
14.若函数f(x)=2x−3−1−m只有1个零点，则m的取值范围是_
15.已知角α的终边经过点(−1,2)．
(1)求sinα，csα，cs2α的值；
(2)若sin(α+β)= 1010，α∈π2,π，β∈0,π2，求角β的大小．
16.已知函数f(x)=lg2(x2−1)−lg2(x−1)．
(1)证明：fx的定义域与值域相同．
(2)若∀x∈3,+∞,∀t∈0,+∞,fx+1t2−4t>m，求m的取值范围．
17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在π24,11π24上的值域；
(3)求不等式f(x)⋅cs2x+π4≥0的解集．
18.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=8，CD=3，AD=6，E在线段BC上．

(1)若CE=2EB，用向量AB，AD表示CB，AE；
(2)若AE与BD交于点F，DF=xDB019.已知函数f(x)=sin4x+cs4x−78．
(1)若φ≠0，函数f(x+φ)为偶函数，求|φ|的最小值；
(2)若f(x)在−π6,m上恰有4个零点，求m的取值范围；
(3)若不等式8f(x)+acs2x+6≥0对任意的a∈[−8,8]恒成立，求cs4x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据角α与角α+k⋅360∘k∈Z的终边相同，3888∘=288∘+10×360∘，所以3888∘与288∘的终边落在同一象限，判断288∘所在象限即可．
【详解】因为3888∘=288∘+10×360∘，又因为288∘的终边落在第四象限，
所以3888∘的终边落在第四象限．
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】利用二倍角的正切公式计算即可求得结论．
【详解】tanα=tan2×α2=2×41−42=−815．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】由图象平移法则可求解析式．
【详解】由题意得g(x)=fx−π16=sin8x−π16+π16=sin8x−7π16．
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率．
【详解】根据题意可得该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为14×23+34×13=512．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】由最小正周期可求ω=1，可得fx=sin2x+π6，利用2x+π6=kπ,k∈Z，可求对称中心的坐标．
【详解】由2π2ω=π，得ω=1，所以fx=sin2x+π6．
令2x+π6=kπ,k∈Z，则x=−π12+kπ2,k∈Z，
当k=−1时，x=−7π12，
所以fx图象的一个对称中心的坐标为−7π12,0．
故选：D．
6.【答案】A
【解析】【分析】向量b在向量a上的投影向量a⋅b|a|2⋅a，计算即可求坐标．
【详解】向量b在向量a上的投影向量的坐标为a⋅b|a|2⋅a=1×0+2×10( 12+22)2⋅a=201+4a=4a=(4,8)．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性即可得出答案．
【详解】因为a=0.70.3，所以0<0.70.3<0.70=1，
所以0所以b<0，又c=lg0.70.3>，所以c>a>b．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】根据题意分析可得14sin2A+14cs2C=1，即141−cs2A+141−sin2C=1，结合基本不等式分析求解．
【详解】因为A,B,C∈0,π2，可知sinA,sinB,sinC∈0,1,csA,csB,csC∈0,1，
又因为sinAcsB=sinBcsC=12，则csB=12sinA，sinB=12csC．
且sin2B+cs2B=1，可得14sin2A+14cs2C=1，
即141−cs2A+141−sin2C=1，
则4sinCcsA2+2=3sin2C+3cs2A≥6sinCcsA．
又因为sinCcsA<1，则sinCcsA≤12，
当且仅当sin2C=cs2A，即A=B=C=π4时，等号成立，
故sinCcsA的最大值为12．
故选：B．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】利用概率和为1，可求a判断A；设这100名志愿者问卷调查得分的90%分位数为m，可得0.015×10+0.035×10+0.035×10+0.010×(m−80)=0.9，求解可判断B；求得100名志愿者问卷调查得分的平均数可判断C；求得8名志愿者得分在[50,60)内的人数判断D．
【详解】对于A：由(a+0.035+0.035+0.010+0.005)×10=1，解得a=0.015， A正确．
对于B：设这100名志愿者问卷调查得分的90%分位数为m，
则0.015×10+0.035×10+0.035×10+0.010×(m−80)=0.9，解得m=85， B正确．
对于C：这100名志愿者问卷调查得分的平均数为55×0.15+65×0.35+75×0.35+85×0.10+95×0.05=70.5， C错误．
对于D：根据频率分布直方图可得抽取的这8名志愿者得分在[50,60)内的人数为8×0.015×100.015×10+0.005×10=6， D正确．
故选：ABD．
10.【答案】AB
【解析】【分析】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得0<ω≤2，再通过整体法确定ωx−π12的取值范围，最后求解ω取值范围即可．
【详解】由题意函数f(x)的最小正周期为T=2πω，
因为函数f(x)在区间[π6,2π3]上单调，
可得2π3−π6≤πω，
则0<ω≤2．
因为x∈π6,2π3，
所以ωx−π12∈ωπ6−π12,2ωπ3−π12．
因为0<ω≤2，
所以−π12<ωπ6−π12≤π4．
因为f(x)在π6,2π3上单调，
所以ωπ6−π12≤02ωπ3−π12≤0或ωπ6−π12≥0,2ωπ3−π12≤π,
解得0<ω≤18或12≤ω≤138．
故选：AB．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】利用坐标法，以A为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项．
【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，设DE=BF=x0≤x≤4，则C2,4,E0,4−x,F5−x,0,CE=−2,−x,CF=3−x,−4,EF=5−x,x−4，
对于A，B，CE⋅CF=2x−6+4x=6x−6∈−6,18，故 A错误，B正确；
对于C，CE⋅EF=2x−10−x2+4x=−x2+6x−10=−x−32−1，
当x=3时，CE⋅EF取得最大值，且最大值为−1，故 C正确；
对于D，△CEF的面积S=2+52×4−2x2−4x2−4−x5−x2
=−12x2+32x+4=−12x−322+418，当x=32时，S取得最大值，且最大值为418，故 D正确．
故选：BCD．
12.【答案】2
【解析】【分析】由题可知扇形的周长，可求得扇形的半径，由弧长公式即可求解．
【详解】解：设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，
由题意得2r=4−2=2，解得r=1，
由αr=2，故α=2，
故答案为：2．
13.【答案】−12或−0.5； 103
【解析】【分析】由垂直向量的坐标表示可求出λ的值；再由向量的夹角公式可得3λ2+8λ−3=0，解方程可得出答案．
【详解】若a⊥b，则a⋅b=1×1+2×λ=0，所以λ=−12．
若a,b=π4，则a⋅bab=1+2λ 5× 1+λ2= 22，
得3λ2+8λ−3=λ+33λ−1=0，
所以λ=−3(舍去)或λ=13，故b= 12+132= 103．
故答案为：−12； 103．
14.【答案】2,+∞∪−1
【解析】【分析】函数f(x)=2x−3−1−m只有1个零点等价于函数gx=2x−3−1=2−2x,x【详解】由f(x)=2x−3−1−m=0，得2x−3−1=m，
设函数gx=2x−3−1=2−2x,x由指数函数性质可知，函数gx在−∞,lg23上单调递减，
在lg23,+∞上单调递增，且2x∈0,+∞，glg23=0−1=−1，
可作出g(x)的大致图象，如图所示，
由图可知，m的取值范围是2,+∞∪−1．
故答案为：2,+∞∪−1．
15.【答案】解：(1)由三角函数定义可得sinα=2 1+4=2 55，csα=−1 1+4=− 55，
则cs2α=1−2sin2α=1−2×2 552=−35．
(2)
因为α∈π2,π，β∈0,π2，所以α+β∈π2,3π2，
又因为sin(α+β)= 1010，所以cs(α+β)=− 1−sin2(α+β)=− 1− 10102=−3 1010，
由sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα= 1010×− 55−−3 1010×2 55= 22．
因为β∈0,π2，所以β=π4．

【解析】【分析】(1)利用三角函数的定义就可得到角α的正、余弦函数值，再利用二倍角的余弦公式，就可以求出cs2α=−35；
(2)本问要利用化角β为两角差即β=α+β−α，然后利用已知的三角函数值和两角差的正弦公式去求解即可．
16.【答案】解：(1)
证明：由x2−1>0x−1>0，得x>1，
所以fx的定义域为(1,+∞)．
f(x)=lg2x2−1x−1=lg2(x+1)，
因为fx=lg2x+1在(1,+∞)上单调递增．
所以fx>f1=lg22=1，所以fx的值域为(1,+∞)，
所以fx的定义域与值域相同．
(2)
解：由(1)知fx=lg2x+1在(3,+∞)上单调递增，
所以当x∈[3,+∞)时，fxmin=f3=2．
设g(t)=1t2−4t=1t−22−4，
当1t=2，即t=12时，gt取得最小值，且最小值为−4．
因为∀x∈3,+∞,∀t∈0,+∞,fx+1t2−4t>m,
所以m
【解析】【分析】(1)由具体函数的定义域可得x2−1>0x−1>0，解不等式即可求出fx的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出fx的值域．
(2)设g(t)=1t2−4t=1t−22−4，则m17.【答案】解：(1)
由图可得A=3．
因为T=2πω=4×7π8−5π8=π，所以ω=2．
当x=5π8时，f(x)取得最小值，所以2×5π8+φ=3π2+2kπ，k∈Z，
得φ=π4+2kπ，k∈Z．
因为|φ|<π2，所以φ=π4，所以f(x)=3sin2x+π4．
(2)
由x∈π24,11π24，得π3≤2x+π4≤7π6，所以−12≤sin2x+π4≤1，
所以−32≤f(x)≤3，即f(x)在π24,11π24上的值域为−32,3．
(3)
f(x)⋅cs2x+π4≥0即3sin2x+π4cs2x+π4≥0，
得32sin4x+π2=32cs4x≥0，则−π2+2kπ≤4x≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得−π8+kπ2≤x≤π8+kπ2(k∈Z)，
故f(x)⋅cs2x+π4≥0的解集为−π8+kπ2,π8+kπ2(k∈Z)．

【解析】【分析】(1)先由图像振幅得到A值，再由7π8,5π8距离为T4，求出ω=2，再代入x=5π8，f(x)取到最小值即可得φ=π4．
(2)根据x∈π24,11π24，得出π3≤2x+π4≤7π6范围，借助正弦图像即可得值域．
(3)代入f(x)，用二倍角公式化简不等式，借助余弦函数图像即可．
18.【答案】解：(1)
依题意CB=CD+DA+AB=−38AB−AD+AB=58AB−AD，
AE=AB+BE=AB−13CB=AB−1358AB−AD=1924AB+13AD．
(2)
因为DF=xDB=xAB−AD，
所以CF=CD+DF=x−38AB−xAD，
所以CF2=x−382AB2+x2AD2−2xx−38AB⋅AD．
因为cs∠DAB=13，所以AB⋅AD=6×8×13=16，
所以8=64x−38x2+36x2−32x−38，即68x2−36x+1=0，解得x=12或134．
连接AC交BD于G，因为AB//CD，所以▵ABG∽▵CDG，所以DGBG=CDAB=38，
则DG=311DB．
因为E在线段BC上，所以311

【解析】【分析】(1)根据图形关系及平面向量线性运算法则计算可得；
(2)依题意可得CF=x−38AB−xAD，根据数量积的运算律及定义得到方程，求出x，再判断即可．
19.【答案】解：(1)
f(x)=sin2x+cs2x2−2sin2xcs2x−78=18−12×1−cs4x2=−18+14cs4x，
则f(x+φ)=−18+14cs(4x+4φ)．
因为f(x+φ)为偶函数，所以4φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ4(k∈Z)，所以|φ|的最小值为π4．
(2)
令f(x)=0，得cs4x=12．
由x∈−π6,m，得4x∈−2π3,4m，
因为f(x)在−π6,m上恰有4个零点，所以π3+2π<4m≤−π3+4π，
得7π12(3)
不等式8f(x)+acs2x+6≥0，即为2cs4x+acs2x+5≥0，
得4cs22x+acs2x+3≥0．
当cs2x=0时，不等式3≥0恒成立，符合题意．
当cs2x≠0时，函数y=4cs22x+acs2x+3可看成关于a的一次函数，
则依题意得4cs22x+8cs2x+3≥04cs22x−8cs2x+3≥0，即(2cs2x+1)(2cs2x+3)≥0(2cs2x−1)(2cs2x−3)≥0,
因为2cs2x+3>0，2cs2x−3<0，所以2cs2x+1≥02cs2x−1≤0，解得−12≤cs2x≤12且cs2x≠0．
综上，−12≤cs2x≤12，则−1≤2cs22x−1≤−12，
即−1≤cs4x≤−12，故cs4x的取值范围为−1,−12．

【解析】【分析】(1)化简可得f(x)=−18+14cs4x，根据f(x+φ)为偶函数，可得φ=kπ4(k∈Z)，可求|φ|的最小值；
(2)由题意可得cs4x=12，f(x)在−π6,m上恰有4个零点，可得π3+2π<4m≤−π3+4π，求解即可；
(3)由题意可得4cs22x+acs2x+3≥0，令y=4cs22x+acs2x+3，不等式8f(x)+acs2x+6≥0对任意的a∈[−8,8]恒成立，可得4cs22x+8cs2x+3≥04cs22x−8cs2x+3≥0，计算可求cs4x的取值范围．
方法点睛：恒成立问题，通常是通过转化成求函数的最值解决问题，本题转化成一次函数恒成立问题，只需满足在端点处的函数值大于等于0即可．