2023-2024学年广东省揭阳市八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市八年级（下）月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.分式x2−92x+6的值为0，则x的值为( )
A. −3B. 3C. ±3D. 以上结论都有可能
2.将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，若AB=8，则阴影部分的面积是( )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数是( )
A. 18°
B. 36°
C. 72°
D. 108°
4.在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在( )
A. △ABC的重心处
B. AD的中点处
C. A点处
D. D点处
5.设a”填空，正确的是( )
A. >，>B. >，
6.如果三角形三边长为5，m，n，且(m+n)(m−n)=25，那么此三角形形状为( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形
7.若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有( )
(1)这个三角形是锐角三角形；(2)这个三角形是等腰三角形；(3)这个三角形是等边三角形；(4)形状不能确定；(5)不存在这样的三角形．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=5cm，点M，N在边OB上，PM=PN，
若MN=2cm，则OM的长为( )
A. 2cm
B. 2.5cm
C. 1.5cm
D. 3cm
9.下列四个命题：①若a>b，则a+2>b+2；②若a>b，则a−2>b−2；③若a>b，则2a<2b；④若a>b，则−2a<−2b.其中，正确的是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ②③④D. ①②④
10.定义一种运算：a#b=b−a(a≥b)，现有两个满足该运算条件的式子：a=2x−1和b=1−x，则不等式(2x−1)#(1−x)>−1的解集是( )
A. 23≤x<1B. x<1C. x>1D. x≥23
11.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的中垂线交AC于D，则△BCD的周长为( )
A. 13B. 15C. 18D. 21
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
12.若x2+2x−3=0，则x3+x2−5x+2012=______．
13.如图，点D是BC上的一点，若△ABC≌△ADE，且∠B=65°，则∠EAC=______°.
14.已知a=−32，b=−3−2，c=(−3)0，比较a，b，c的大小关系，用“<”号连接为______．
15.已知2x−y=13，xy=2，则23x4y3−13x3y4的值______．
16.如图，直线l1是y=k1x+b1，直线l2是y=k2x+b2.那么不等式k1x+b117.(a+b)2ab−(a−b)2ab=______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
先化简，再求值：x2−2x+1x2−1÷(1−3x+1)，其中x=0．
19.(本小题8分)
如图，三角形ABC在建立了平面直角坐标系的方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．
(1)把三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，点B经过平移后对应点为B′(6,5)，请在图中画出三角形A′B′C′；
(2)计算三角形ABC的面积．
20.(本小题8分)
2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家的喜欢.某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品，已知每件冰墩墩的进价比每件雪容融的进价贵10元，用350元购进冰墩墩的件数恰好与用300元购进雪容融的件数相同.求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元？
21.(本小题10分)
现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：
(1)求这两种货车各用多少辆？
(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式(写出自变量的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
22.(本小题10分)
进入五月份，樱桃开始上市，某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
(2)受疫情影响，在运输过程中大樱桃损耗了15%，若大樱桃售价为每千克40元，要使此次销售获利不少于2100元，则小樱桃的售价最少应为多少元？
23.(本小题10分)
如图，AC=DB，AB=DC．
(1)求证：△ABC≌△DCB．
(2)线段EB与EC相等吗？请说明理由．
24.(本小题10分)
已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：∠B=∠C．
25.(本小题10分)
阅读下列资料，解决问题：
定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x+1,x+1x2，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+2x−1,x2−12x+1这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如：x+2x−1=(x−1)+3x−1=1+3x−1．
(1)分式x22x是______(填“真分式”或“假分式”)；
(2)将假分式3x+1x−1、x2+3x+2分别化为带分式；
(3)如果分式2x2+3x−6x+3的值为整数，求所有符合条件的整数x的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵分式x2−92x+6的值为0，
∴x2−9=0且2x+6≠0，
解得：x=3．
故选：B．
直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵AB=8，∠B=30°，∠ACB=90°
∴AC=4
∵∠ACB=∠B=90°
∴CF/​/BD
∴∠AFC=∠D
∵∠D=45°
∴∠AFC=45°
∴△AFC为等腰直角三角形
∴CF=AC=4
∴△AFC的面积为：4×4÷2=8
故选：A．
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半及AB=8，可得AC=4，；易证CF/​/BD，从而可知△AFC为等腰直角三角形，则CF=AC=4，利用三角形面积计算公式可得答案．
本题考查了含30°角的直角三角形的性质以及平行线的判定与性质，明确相关判定定理及其性质，是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=72°，
∴∠DBC=36°，
∴∠ADB=∠ACB+∠DBC=72°+36°=108°，
故选：D．
在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=72°，根据作图可知∠BDC=∠ACB=72°，从而∠DBC=36°，即可求出∠ADB．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和和外角的应用．
4.【答案】A
【解析】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，
当B、E、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，
故选：A．
连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．
本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
5.【答案】D
【解析】解：(1)∵a∴2a<2b，
∴2a−5<2b−5；
(2)∵a∴−3.5a>−3.5b，
∴−3.5a+1>−3.5b+1；
故选：D．
根据不等式的性质进行求解即可
本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
根据平方差公式可得m2−n2=25，再根据勾股定理的逆定理可得此三角形形状为直角三角形．
【解答】
解：∵(m+n)(m−n)=25，
∴m2−n2=25，
n2+52=m2，
∴此三角形形状为直角三角形，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形；
其最大角不大于90度，所以是锐角三角形；
等边三角形是特殊的等腰三角形．
所以前三项正确，即正确有三个．
故选：C．
因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则最小的角将不是60°，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形．
此题主要考查学生对等边三角形的判定的理解及运用．
8.【答案】C
【解析】解：过点P作PC⊥MN，垂足为C，
∴∠PCO=90°，
∵PM=PN，PC⊥MN，
∴CM=12MN=1cm，
在Rt△POC中，∠AOB=60°，
∴∠OPC=90°−∠AOB=30°，
∴OC=12OP=12×5=2.5cm，
∴OM=OC−CM=2.5−1=1.5cm，
故选：C．
过点P作PC⊥MN，垂足为C，根据等腰三角形的三线合一性质可得CM=12MN=1，然后在Rt△POC中，求出∠OPC=30°，从而求出OC=12OP，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：①若a>b，则a+2>b+2，正确；
②若a>b，则a−2>b−2，正确；
③若a>b，则−2a<−2b，故错误；
④若a>b，则−2a<−2b，正确，
故选D．
利用不等式的基本性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的基本性质，难度不大．
10.【答案】A
【解析】解：根据题意得，2x−1≥1−x1−x−(2x−1)>−1，
解不等式组得，23≤x<1，
故选：A．
根据题意列出不等式组，解不等式组即可．
本题考查了不等式组的应用，解题关键是准确理解题意，列出不等式组．
11.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC=8，BC=5，AB的中垂线交AC于D，
∴AD=BD，
∴△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．
故选：A．
根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC求出即可．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，得出AD=BD是解题关键．
12.【答案】2009
【解析】解：∵x2+2x−3=0，
∴(x+3)(x−1)=0，
解得x=−3或x=1，
(1)x=−3时，
x3+x2−5x+2012
=(−3)3+(−3)2−5×(−3)+2012
=−27+9+15+2012
=2009
(2)x=1时，
x3+x2−5x+2012
=13+12−5×1+2012
=1+1−5+2012
=2009
故答案为：2009．
首先根据：x2+2x−3=0，可得：(x+3)(x−1)=0，据此求出x的值是多少，然后应用代入法，求出x3+x2−5x+2012的值是多少即可．
此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是求出x的值是多少．
13.【答案】50
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，∠EAD=∠CAB，
∴∠ADB=∠B=65°，∠EAD−∠CAD=∠CAB−∠CAD，
∴∠EAC=∠BAD=50°，
故答案为：50．
根据全等三角形的性质得到AB=AD，∠EAD=∠CAB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
14.【答案】a【解析】解：∵a=−32=−9，b=−3−2=−19，c=(−3)0=1，
∴a故答案为：a分别根据有理数乘方的法则、负整数指数幂及0指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数比较大小的法则进行比较即可．
本题考查的是负整数指数幂的计算，熟知任何非0数的负整数指数幂等于相应的正整数指数幂的倒数是解答此题的关键．
15.【答案】89
【解析】解：∵2x−y=13，xy=2，
∴23x4y3−13x3y4=13x3y3(2x−y)
=13×23×13
=89．
故答案为：89．
直接提取公因式13x3y3，进而分解因式，把已知代入求出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
16.【答案】x<−3
【解析】解：当x<−3时，k1x+b1所以不等式k1x+b1故答案为：x<−3．
观察函数图象得到当x<−3时，直线y=k1x+b1在直线y=k2x+b2的下方，于是可得到不等式k1x+b1本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17.【答案】4
【解析】【分析】
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
【解答】
解：原式=a2+2ab+b2−(a2−2ab+b2)ab=4abab=4．
故答案为：4．
18.【答案】解：原式=(x−1)2(x+1)(x−1)÷(x+1x+1−3x+1)
=(x−1)2(x+1)(x−1)⋅x+1x−2
=x−1x−2，
当x=0时，原式=12．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=0代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，三角形A′B′C′即为所求．
(2)三角形ABC的面积为5×4−12×2×4−12×1×3−12×3×5=7．
【解析】(1)由题意知，三角形ABC是向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，由此画图即可．
(2)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：设冰墩墩每件的进价是x元，则雪容融每件的进价是(x−10)元，
根据题意得350x=300x−10，
解得x=70，
经检验，x=70是原方程的解，也符合题意，
∴x−10=60，
答：冰墩墩每件的进价是70元，雪容融每件的进价是60元．
【解析】设冰墩墩每件的进价是x元，则雪容融每件的进价是(x−10)元，利用数量=总价÷单价，结合用450元购进冰墩墩的数量与用360元购进雪容融的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每件雪容融的进价，再将其代入(x−10)中即可求出每件冰墩墩的进价．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
21.【答案】解：(1)设大货车用x辆，则小货车用(18−x)辆，根据题意得，
16x+10(18−x)=228，
解得x=8，
∴18−x=18−8=10．
答：大货车用8辆，小货车用10辆；
(2)设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为(8−a)辆，前往甲地的小货车为(9−a)辆，前往乙地的小货车为(1+a)辆，
w=720a+800(8−a)+500(9−a)+650(1+a)=70a+11550，
∴w=70a+11550(0≤a≤8且为整数)；
(3)∵运往甲地的大货车不多于6辆，
∴0≤a≤6，
∵w=70a+11550，k=70>0，
∴w随a的增大而增大，
∵0≤a≤8，
∴当a=0时，w最小，最小值为w=70a+11550=11550．
答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元．
【解析】(1)设大货车用x辆，则小货车用(18−x)辆，根据运输228吨物资，列方程求解；
(2)设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为(8−a)辆，前往甲地的小货车为(9−a)辆，前往乙地的小货车为(1+a)辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式即可；
(3)结合已知条件，求a的取值范围，由(2)的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式和一元一次方程的应用和最佳方案问题，综合性较强，列出函数关系式与不等式是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择．
22.【答案】解：(1)设大樱桃的进价是x元/千克，小樱桃的进价是y元/千克，
依题意得：200x+200y=8000x−y=20，
解得：x=30y=10．
答：大樱桃的进价是30元/千克，小樱桃的进价是10元/千克．
(2)设小樱桃的售价为m元/千克，
依题意得：40×200×(1−15%)+200m−8000≥2100，
解得：m≥16.5，
∴m的最小值为16.5．
答：小樱桃的售价最少应为16.5元/千克．
【解析】(1)设大樱桃的进价是x元/千克，小樱桃的进价是y元/千克，根据“某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设小樱桃的售价为m元/千克，利用总利润=销售单价×销售数量−进货总价，结合总利润不少于2100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】(1)证明：在△ABC 与△DCB中，
AC=DBAB=DCBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SSS)；
(2)解：EB=EC.理由如下：
∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴EB=EC．
【解析】(1)根据SSS定理证明结论；
(2)由(1)中全等三角形得∠ACB=∠DBC，再由等角对等边定理得结论．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定与性质．
24.【答案】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．
∴∠B=∠C．
【解析】由角平分线的性质可得DE=DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，所以∠B=∠C．
本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定及性质；由已知能够注意到Rt△DEB≌Rt△DFC是解决的关键．
25.【答案】(1)假分式
(2)x−2+7x+2
(3)当x=−6、−4、−2、0时，分式2x2+3x−6x+3的值为整数
【解析】解：(1)∵分子的次数大于分母的次数，
∴分式x22x是假分式
故答案为：假分式
(2)3x+1x−1=3(x−1)+4x−1
=3+4x−1；
x2+3x+2=x2−4+7x+2
=x−2+7x+2
(3)2x2+3x−6x+3=(2x−3)(x+3)+3x+3
=2x−3+3x+3
当x=−6、−4、−2、0时，分式2x2+3x−6x+3的值为整数．
(1)按“真分式”“假分式”的定义直接判断即可；
(2)仿照例题，利用分式的基本性质和分式的加减法则把假分式化为带分式；
(3)先把分式化为带分式，然后再找出满足条件的整数x即可．
本题考查了分式的加减法和分式的求值，理解题意是解决本题的关键运往地车型
甲地(元/辆)
乙地(元/辆)
大货车
720
800
小货车
500
650