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2024年宁夏银川市兴庆区唐徕中学中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年宁夏银川市兴庆区唐徕中学中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某地国庆这天的最高气温是6℃低气温是−2℃，则这天的最高气温比最低气温高( )
A. 8℃B. −8℃C. 4℃D. −4℃
2.春节档期的热门电影《飞驰人生2》上映30天，累计票房33.39亿元亿用科学记数法表示为( )
A. 3.339×108B. 33.39×108C. 3.339×109D. 3.339×1010
3.用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.“堑堵”的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2=4，S乙2=14，则乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为1100，买100张奖券，一定会中奖1次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. x=3是不等式2(x−1)>3的解，这是一个必然事件
5.如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=2∠2，则∠1的度数为( )
A. 120°B. 80°C. 60°D. 40°
6.已知压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式：F=pS.当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
7.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( )
A. 23(1−x)2=18.63B. 18.63(1+x)2=23
C. 18.63(1−x)2=23D. 23(1−2x)=18.63
8.如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为( )
A. −1
B. −2
C. −3
D. −4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算：3 5− 5= ．
10.若正n边形的一个外角为72°，则n= ______．
11.宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有雄浑的大漠风光.闽宁合作、山海情深，为促进福建、宁夏两地学生交流，某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动.选取三个景点：A.沙坡头，B.六盘山，C.水洞沟.每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点，求小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的概率为______．
12.某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数分布直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)如图所示，其中成绩在80分及以上的学生有______人.
13.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为______．
14.如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是−4与2x+23x−5，且点A、B到原点的距离相等.则x= ______．
15.如图，一束光线从点A(−2,5)出发，经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n)，则2m−n的值是______．
16.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA=2，∠AOB=90°时，|l−s|= ______.(结果保留一位小数)
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
(2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
(3)填空：∠OCB的度数为______．
18.(本小题6分)
求不等式组2(x−1)+3≤3xx−23+4>x的整数解．
19.(本小题6分)
下面是小明和小红两位同学对同一个分式进行化简，请认真阅读并完成相应的任务．
(xx+2+xx−2)⋅x2−4x
小明：解：原式=[x(x−2)(x+2)(x−2)+x(x+2)(x−2)(x+2)]⋅x2−4x……第一步
=x(x−2)+x(x+2)(x+2)(x−2)⋅x2−4x……第二步
=x(x−2)+x(x+2)(x+2)(x−2)⋅(x+2)(x−2)x……第三步
……
小红：解：原式=xx+2⋅x2−4x+xx−2⋅x2−4x……第一步
……
任务一：(1)小明同学的第______步是分式的通分，通分的依据是______；
(2)小明同学的第三步是进行的______运算，用到的公式是______；
任务二：小红同学这的解法的依据是______．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，且CF=CE.连接DE，CD，EF，请判断四边形CFED的形状，并说明理由．
21.(本小题6分)
创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶.若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
22.(本小题6分)
端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是______，七年级活动成绩的众数为______分；
(2)a= ______，b= ______；
(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
23.(本小题8分)
2024年4月3日6点56分，我国成功发射遥感四十二号01星，如图，在发射的过程中，卫星从地面O处发射，当卫星到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后卫星到达B处，此时测得仰角为45°.(1)求点A离地面的高度AO；
(2)求卫星从A处到B处的平均速度.(结果精确到0.1km/s，参考数据： 3≈1.73)
24.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
(1)求证：EF为⊙O的切线；
(2)若AB=13，AC=5，求EF的长．
25.(本小题10分)
问题探究与应用实践
(一)问题探究：
如图(1)，已知直线l与水平视线m互相垂直，A，B在l上，C在m上，∠ACB叫做“视角”，点C叫做“视点”，⊙M是过A，B，C三点的圆.当视点C在直线m上移动时，视角∠ACB的大小会发生改变，可以证明：当视点C恰是⊙M的切点时，视角∠ACB最大，此时观察AB的效果最佳.当视角∠ACB最大时：分别以直线m，l为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图(2)．
(1)如果此时点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(0,1)，试求圆心M的坐标及tan∠ACB的值；
(2)如果此时点A，B的坐标分别为(0,a)，(0,b)，请求出视点C的坐标.(用a，b的代数式表示)
(二)应用实践：
应用上述结论，让我们解决如下问题：
如图(3)，AB是广场上挂的一个大屏幕电视，直线CE是水平视线，屏幕最高点A和最低点B到水平视线CE的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点(在水平视线CE上)到直线AB的距离约是多少？(结果保留一位小数，参考数据： 2≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236)
26.(本小题10分)
如图，二次函数y=−x2+6x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,5)，与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB上方，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①当PD=12OC时，求m的值；
②设△PAB的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：6−(−2)
=6+2
=8(℃)，
故选：A．
根据题意列出式子，用有理数的减法法则计算即可．
本题考查了有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：33.39亿=3339000000=3.339×109，
故选：C．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：“堑堵”的俯视图是一个矩形，
故选：C．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵4<14，∴S甲2B、某奖券的中奖率为1100，则买100张奖券，不一定会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，故本选项不符合题意；
D、不等式2(x−1)>3的解集是x>2.5，∴x=3是这个不等式的解，是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
根据必然事件，随机事件，方差的意义，调查方式，分别进行判断即可．
本题考查了必然事件，随机事件，方差，抽样调查，全面调查，掌握这些定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=2∠2，
∴∠1=2∠3，
∴3∠3+60°=180°，
∴∠3=40°，
∴∠1=80°，
故选：B．
先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式：F=pS．
∴当F为定值时，压强p与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故选：D．
根据函数的解析式判断函数的图形即可．
此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：23(1−x)2=18.63．
故选：A．
利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价×(1−该款汽车这两月售价的月平均降价率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOH=45°，
∴AH=OH，
设A(m,m)，则B(0,2m)，
∴m=am2+c2m=c，
解得am=−1，m=c2，
∴ac的值为−2，
故选：B．
过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB=45°，得到AH=OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
9.【答案】2 5
【解析】解：原式=2 5．
故答案为：2 5．
直接合并同类二次根式即可求解．
本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．
10.【答案】5
【解析】解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n=360÷72=5，
故答案为：5．
根据正多边形的性质及其外角和为360°列式计算即可．
本题考查多边形的外角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11.【答案】19
【解析】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的结果有1种，
∴小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的概率为19．
故答案为：19．
列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
12.【答案】140
【解析】解：其中成绩在80分及以上的学生有：80+60=140(人)．
故答案为：140．
用成绩在80分及以上的频数相加即可．
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴S阴影=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△BCD；
∵S△BCD=12BC⋅CD=6，
∴S阴影=6．
故答案为6．
首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．
此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
14.【答案】2.2
【解析】解：∵点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是−4与2x+23x−5，点A、B到原点的距离相等，
∴4=2x+23x−5，
∴x=2.2．
检验：把x=2.2代入3x−5≠0，
∴分式方程的解为：x=2.2．
故答案为：2.2．
根据实数与数轴的性质得出，结合数轴得出4=2x+23x−5，进而求出即可．
此题主要考查了实数与数轴的性质以及解分式方程，根据已知得出4=2x+23x−5是解决问题的关键．
15.【答案】−1
【解析】解：∵点A(−2,5)关于y轴的对称点为A′(2,5)，
∴反射光线所在直线过点B(0,1)和A′(2,5)，
设A′B的解析式为：y=kx+1，过点A′(2,5)，
∴5=2k+1，
∴k=2，
∴A′B的解析式为：y=2x+1，
∵反射后经过点C(m,n)，
∴2m+1=n，
∴2m−n=−1．
故答案为：−1．
点A(−2,5)关于y轴的对称点为A′(2,5)，根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B(0,1)和A′(2,5)，求出A′B的解析式为：y=2x+1，再根据反射后经过点C(m,n)，2m+1=n，即可求出答案．
本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出A′B的解析式．
16.【答案】0.1
【解析】解：如图，连接OD，
∵AO=2，∠AOB=90°，
∴OB=2，AB=2 2，
∵C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB，
∴CO⊥AB，即D、C、O共线，
∴CO= 2，CD=2− 2，
∵s=AB+CD2OA，
∴s=2 2+(2− 2)22=3，
∵l=2π×2×90360≈3.1，
∴|l−s|≈0.1
故答案为：0.1．
根据题意分别求出公式中各线段的长度，代入公式中求出s，得出答案．
本题以圆为背景考察了圆的相关概念，本题难度不大，掌握垂径定理和等腰直角三角形是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，OB为所作；
(2)如图，△COB为所作；
(3)45°
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，
∴OB=OA，∠AOB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵△COB与△AOB关于直线OB对称，
∴∠OCB=∠OAB=45°．
故答案为：45°．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A的对称点B，从而得到OB；
(2)延长AO到C点使OC=OA，则△COB满足条件；
(3)先根据旋转的性质得到OB=OA，∠AOB=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠OAB=45°，然后利用对称的性质得到∠OCB的度数．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
18.【答案】解：2(x−1)+3≤3x①x−23+4>x②
由①得x≥1(1分)
由②得x<5(2分)
所以原不等式组的解集为1≤x<5(4分)
所以原不等式组的整数解为1，2，3，4.(5分)
【解析】此题需要首先解不等式组，求得不等式组的解集，找到符合题意的值即可．解不等式时，注意系数化一时，系数的正负．此题系数均为负，所以不等号的方向均改变．
此题考查了一元一次不等式组的解法．特别要注意系数化一时，不等号的方向是否需要改变．还要注意按题意解题．
19.【答案】一 分式的基本性质 因式分解 平方差公式 乘法分配律
【解析】解：(1)小明同学的第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
故答案为：一，分式的基本性质；
(2)小明同学的第三步是进行的因式分解，用到的公式是平方差公式；
小红同学这的解法的依据是乘法分配律；
故答案为：因式分解，平方差公式；乘法分配律．
(1)观察解法填空即可；
(2)观察解法可得答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和因式分解，乘法分配律等运算依据．
20.【答案】解：四边形CFED是平行四边形，理由如下：
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=12BC，
∵AC=BC，点E分别是AC的中点，
∴CF=12BC，
∴DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE//BC，DE=12BC，然后证出四边形DEFC是平行四边形．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理并确定出平行四边形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得2x+3y=4205x+y=400，
解得x=60y=100，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
(2)设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100(200−a)≤15200，
a≥120，
答：至少需购买A型垃圾桶120个．
【解析】(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元，列出二元一次方程组，即可求解；
(2)设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15200元，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】1 8 2 3
【解析】解：(1)根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1−50%−20%−20%=10%
∴样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是10×10%=1，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1，8．
(2)∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5名学生为8分，第6名学生为9分，
∴a=5−1−2=2，
b=10−1−2−2−2=3，
故答案为：2，3．
(3)优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为20%+20%=40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5，
八年级优秀率为3+210×100%=50%>40%，平均成绩为：110×(6+7×2+2×8+3×9+2×10)=8.3<8.5，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高．
(1)根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
(2)根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解；
(3)分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
23.【答案】解：(1)在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km，
∴AO=12AC=12×8=4(km)；
(2)在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km；
∴OC= 32AC=4 3(km)，
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，∠BCO=45°，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∴OB=OC=4 3(km)，
∴AB=OB−OA=(4 3−4)km，
∴卫星从A处到B处的平均速度=4 3−410≈0.3(km/s)．
【解析】(1)根据直角三角形的性质即可得到结论；
(2)在Rt△AOC中，根据直角三角形的性质得到OC= 32AC=4 3(km)，在Rt△BOC中，根据等腰直角三角形的性质得到OB=OC=4 3km，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OE，
∴OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∵∠ACB=90°，CD为斜边中线，
∴CD=12AB=BD，
∴∠OCE=∠OEC=∠B，
∴OE//BD，
∵EF⊥AB，
∴∠OEF=90°，
∴EF为⊙O的切线．
(2)解：连接DE，
∵∠ACB=90°，AB=13，AC=5，
∴BC= AB2−AC2=12，CD=12AB=132，
∵CD是直径，
∴∠CED=90°，
∴DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BEBC=BDAB=12，
∴CE=EB=12BC=6，
∴sin∠B=ACAB=EFBE=513，
∴EF=3013．
【解析】(1)连接OE，则OC=OE，由已知直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD=BD，可以证得∠B=∠CEO，OE//BD，则∠OEF=∠EFB=90°，即可得到EF为⊙O的切线．
(2)连接ED，则∠CED=90°，则DE//AC，可得△BDE∽△BAC，进而求得BE的长度，再利用三角函数即可求得EF的长度．
本题考查了圆的相关性质，切线的判定，勾股定理，三角函数，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)连接MC，MA，MB，并过M作MN⊥AB于N，则四边形OCMN为矩形，因而有OC=MN，
因为A(0,4)，B(0,1)，
所以点N的坐标为(0,52)，
则M的纵坐标y=52，
即MC=MB=52；
又AB=4−1=3，
由垂径定理得BN=32，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：
MN= MB2−BN2= (52)2−(32)2=2，
故点M的坐标为(2,52)；
又由圆周角定理可知∠ACB=12∠AMB=∠BMN，
所以tan∠ACB=tan∠BMN=BNMN=32÷2=34．
(2)由于点A，B的坐标分别为A(0,a)，B(0,b)，
所以点N的坐标为(0,a+b2)，MC=ON=a+b2，
MB=MC=a+b2，
BN=a+b2−b=a−b2，
所以MN= MB2−BN2= (a+b2)2−(a−b2)2= ab，
所以OC=MN= ab，
故点C的坐标为( ab,0)．
(3)由题意a=8，b=4，
根据上述(2)的结论，可得小明视角最大时，
视点到直线AB的距离为 ab= 8×4=4 2≈5.7(米)．
【解析】(1)连接MC，MA，MB，并过M作MN⊥AB于N，利用垂径定理求解即可；根据圆周角的性质得出∠ACB=12∠AMB=∠BMN，求出正切值即可；
(2)根据(1)中的方法求出OC=MN= ab即可；
(3)根据(2)中结论求解即可．
本题考查了圆周角的性质、切线的性质、垂径定理和解直角三角形，解题关键是根据相关性质求出点的坐标．
26.【答案】解：(1)在y=−x2+6x中，当y=−x2+6x=0时，解得x=6或x=0，
∴A(6,0)，
设直线AB解析式为y=kx+b，
∴6k+b=0k+b=5，
∴k=−1b=6，
∴直线AB解析式为y=−x+6，
在y=−x+6中，当x=0时，y=6，
∴C(0,6)；
(2)①由题意得，P(m,−m2+6m)，
∵PE⊥x轴，
∴D(m,−m+6)，
∴PD=−m2+6m−(−m+6)=−m2+7m−6，
∵C(0,6)，
∴OC=6，
∵PD=12OC，
∴−m2+7m−6=3，
解得m=7− 132或m=7+ 132；
②∵S△PAB=S△PDB+S△PDA，
∴S=12PD⋅(xP−xB)+12PD⋅(xA−xP)
=12PD⋅(xA−xB)
=52PD
=52(−m2+7m−6)
=−52(m−72)2+1258，
∵−52<0，
∴当m=72时，S有最大值，最大值为1258．
【解析】(1)先求出点A的坐标，进而利用待定系数法求出直线AB的解析式，最后求出点C的坐标即可；
(2)①根据题意可得P(m,−m2+6m)，D(m,−m+6)，则PD=−m2+7m−6，根据PD=12OC，得到−m2+7m−6=3，解方程即可得到答案；②根据S△PAB=S△PDB+S△PDA列出S关于m的关系式，再利用二次函数的性质求出其最大值即可．
本题主要属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，三角形的面积计算公式等知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
1.某地国庆这天的最高气温是6℃低气温是−2℃，则这天的最高气温比最低气温高( )
A. 8℃B. −8℃C. 4℃D. −4℃
2.春节档期的热门电影《飞驰人生2》上映30天，累计票房33.39亿元亿用科学记数法表示为( )
A. 3.339×108B. 33.39×108C. 3.339×109D. 3.339×1010
3.用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.“堑堵”的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2=4，S乙2=14，则乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为1100，买100张奖券，一定会中奖1次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. x=3是不等式2(x−1)>3的解，这是一个必然事件
5.如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=2∠2，则∠1的度数为( )
A. 120°B. 80°C. 60°D. 40°
6.已知压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式：F=pS.当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
7.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( )
A. 23(1−x)2=18.63B. 18.63(1+x)2=23
C. 18.63(1−x)2=23D. 23(1−2x)=18.63
8.如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为( )
A. −1
B. −2
C. −3
D. −4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.计算：3 5− 5= ．
10.若正n边形的一个外角为72°，则n= ______．
11.宁夏素有“塞上江南”之美誉，这里既有古老的黄河文明，又有雄浑的大漠风光.闽宁合作、山海情深，为促进福建、宁夏两地学生交流，某校开展“大美宁夏，闽宁同行”旅游主题活动.选取三个景点：A.沙坡头，B.六盘山，C.水洞沟.每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点，求小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的概率为______．
12.某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数分布直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)如图所示，其中成绩在80分及以上的学生有______人.
13.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为______．
14.如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是−4与2x+23x−5，且点A、B到原点的距离相等.则x= ______．
15.如图，一束光线从点A(−2,5)出发，经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n)，则2m−n的值是______．
16.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA=2，∠AOB=90°时，|l−s|= ______.(结果保留一位小数)
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
(2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
(3)填空：∠OCB的度数为______．
18.(本小题6分)
求不等式组2(x−1)+3≤3xx−23+4>x的整数解．
19.(本小题6分)
下面是小明和小红两位同学对同一个分式进行化简，请认真阅读并完成相应的任务．
(xx+2+xx−2)⋅x2−4x
小明：解：原式=[x(x−2)(x+2)(x−2)+x(x+2)(x−2)(x+2)]⋅x2−4x……第一步
=x(x−2)+x(x+2)(x+2)(x−2)⋅x2−4x……第二步
=x(x−2)+x(x+2)(x+2)(x−2)⋅(x+2)(x−2)x……第三步
……
小红：解：原式=xx+2⋅x2−4x+xx−2⋅x2−4x……第一步
……
任务一：(1)小明同学的第______步是分式的通分，通分的依据是______；
(2)小明同学的第三步是进行的______运算，用到的公式是______；
任务二：小红同学这的解法的依据是______．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，且CF=CE.连接DE，CD，EF，请判断四边形CFED的形状，并说明理由．
21.(本小题6分)
创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶.若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
22.(本小题6分)
端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是______，七年级活动成绩的众数为______分；
(2)a= ______，b= ______；
(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
23.(本小题8分)
2024年4月3日6点56分，我国成功发射遥感四十二号01星，如图，在发射的过程中，卫星从地面O处发射，当卫星到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后卫星到达B处，此时测得仰角为45°.(1)求点A离地面的高度AO；
(2)求卫星从A处到B处的平均速度.(结果精确到0.1km/s，参考数据： 3≈1.73)
24.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边中线，以CD为直径作⊙O交BC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
(1)求证：EF为⊙O的切线；
(2)若AB=13，AC=5，求EF的长．
25.(本小题10分)
问题探究与应用实践
(一)问题探究：
如图(1)，已知直线l与水平视线m互相垂直，A，B在l上，C在m上，∠ACB叫做“视角”，点C叫做“视点”，⊙M是过A，B，C三点的圆.当视点C在直线m上移动时，视角∠ACB的大小会发生改变，可以证明：当视点C恰是⊙M的切点时，视角∠ACB最大，此时观察AB的效果最佳.当视角∠ACB最大时：分别以直线m，l为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图(2)．
(1)如果此时点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(0,1)，试求圆心M的坐标及tan∠ACB的值；
(2)如果此时点A，B的坐标分别为(0,a)，(0,b)，请求出视点C的坐标.(用a，b的代数式表示)
(二)应用实践：
应用上述结论，让我们解决如下问题：
如图(3)，AB是广场上挂的一个大屏幕电视，直线CE是水平视线，屏幕最高点A和最低点B到水平视线CE的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点(在水平视线CE上)到直线AB的距离约是多少？(结果保留一位小数，参考数据： 2≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236)
26.(本小题10分)
如图，二次函数y=−x2+6x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,5)，与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB上方，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①当PD=12OC时，求m的值；
②设△PAB的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：6−(−2)
=6+2
=8(℃)，
故选：A．
根据题意列出式子，用有理数的减法法则计算即可．
本题考查了有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：33.39亿=3339000000=3.339×109，
故选：C．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：“堑堵”的俯视图是一个矩形，
故选：C．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
4.【答案】D
【解析】解：A、∵4<14，∴S甲2
C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，故本选项不符合题意；
D、不等式2(x−1)>3的解集是x>2.5，∴x=3是这个不等式的解，是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
根据必然事件，随机事件，方差的意义，调查方式，分别进行判断即可．
本题考查了必然事件，随机事件，方差，抽样调查，全面调查，掌握这些定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=2∠2，
∴∠1=2∠3，
∴3∠3+60°=180°，
∴∠3=40°，
∴∠1=80°，
故选：B．
先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间有如下关系式：F=pS．
∴当F为定值时，压强p与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故选：D．
根据函数的解析式判断函数的图形即可．
此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意得：23(1−x)2=18.63．
故选：A．
利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价×(1−该款汽车这两月售价的月平均降价率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOH=45°，
∴AH=OH，
设A(m,m)，则B(0,2m)，
∴m=am2+c2m=c，
解得am=−1，m=c2，
∴ac的值为−2，
故选：B．
过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB=45°，得到AH=OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
9.【答案】2 5
【解析】解：原式=2 5．
故答案为：2 5．
直接合并同类二次根式即可求解．
本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并．
10.【答案】5
【解析】解：∵正n边形的一个外角为72°，
∴n=360÷72=5，
故答案为：5．
根据正多边形的性质及其外角和为360°列式计算即可．
本题考查多边形的外角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11.【答案】19
【解析】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的结果有1种，
∴小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的概率为19．
故答案为：19．
列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖选择的景点都是“六盘山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
12.【答案】140
【解析】解：其中成绩在80分及以上的学生有：80+60=140(人)．
故答案为：140．
用成绩在80分及以上的频数相加即可．
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；
又∵∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∴S阴影=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△BCD；
∵S△BCD=12BC⋅CD=6，
∴S阴影=6．
故答案为6．
首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．
此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
14.【答案】2.2
【解析】解：∵点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是−4与2x+23x−5，点A、B到原点的距离相等，
∴4=2x+23x−5，
∴x=2.2．
检验：把x=2.2代入3x−5≠0，
∴分式方程的解为：x=2.2．
故答案为：2.2．
根据实数与数轴的性质得出，结合数轴得出4=2x+23x−5，进而求出即可．
此题主要考查了实数与数轴的性质以及解分式方程，根据已知得出4=2x+23x−5是解决问题的关键．
15.【答案】−1
【解析】解：∵点A(−2,5)关于y轴的对称点为A′(2,5)，
∴反射光线所在直线过点B(0,1)和A′(2,5)，
设A′B的解析式为：y=kx+1，过点A′(2,5)，
∴5=2k+1，
∴k=2，
∴A′B的解析式为：y=2x+1，
∵反射后经过点C(m,n)，
∴2m+1=n，
∴2m−n=−1．
故答案为：−1．
点A(−2,5)关于y轴的对称点为A′(2,5)，根据反射的性质得，反射光线所在直线过点B(0,1)和A′(2,5)，求出A′B的解析式为：y=2x+1，再根据反射后经过点C(m,n)，2m+1=n，即可求出答案．
本题考查一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，求出A′B的解析式．
16.【答案】0.1
【解析】解：如图，连接OD，
∵AO=2，∠AOB=90°，
∴OB=2，AB=2 2，
∵C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB，
∴CO⊥AB，即D、C、O共线，
∴CO= 2，CD=2− 2，
∵s=AB+CD2OA，
∴s=2 2+(2− 2)22=3，
∵l=2π×2×90360≈3.1，
∴|l−s|≈0.1
故答案为：0.1．
根据题意分别求出公式中各线段的长度，代入公式中求出s，得出答案．
本题以圆为背景考察了圆的相关概念，本题难度不大，掌握垂径定理和等腰直角三角形是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)如图，OB为所作；
(2)如图，△COB为所作；
(3)45°
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，
∴OB=OA，∠AOB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵△COB与△AOB关于直线OB对称，
∴∠OCB=∠OAB=45°．
故答案为：45°．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A的对称点B，从而得到OB；
(2)延长AO到C点使OC=OA，则△COB满足条件；
(3)先根据旋转的性质得到OB=OA，∠AOB=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠OAB=45°，然后利用对称的性质得到∠OCB的度数．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
18.【答案】解：2(x−1)+3≤3x①x−23+4>x②
由①得x≥1(1分)
由②得x<5(2分)
所以原不等式组的解集为1≤x<5(4分)
所以原不等式组的整数解为1，2，3，4.(5分)
【解析】此题需要首先解不等式组，求得不等式组的解集，找到符合题意的值即可．解不等式时，注意系数化一时，系数的正负．此题系数均为负，所以不等号的方向均改变．
此题考查了一元一次不等式组的解法．特别要注意系数化一时，不等号的方向是否需要改变．还要注意按题意解题．
19.【答案】一 分式的基本性质 因式分解 平方差公式 乘法分配律
【解析】解：(1)小明同学的第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；
故答案为：一，分式的基本性质；
(2)小明同学的第三步是进行的因式分解，用到的公式是平方差公式；
小红同学这的解法的依据是乘法分配律；
故答案为：因式分解，平方差公式；乘法分配律．
(1)观察解法填空即可；
(2)观察解法可得答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和因式分解，乘法分配律等运算依据．
20.【答案】解：四边形CFED是平行四边形，理由如下：
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE//BC，DE=12BC，
∵AC=BC，点E分别是AC的中点，
∴CF=12BC，
∴DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE//BC，DE=12BC，然后证出四边形DEFC是平行四边形．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理并确定出平行四边形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得2x+3y=4205x+y=400，
解得x=60y=100，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
(2)设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100(200−a)≤15200，
a≥120，
答：至少需购买A型垃圾桶120个．
【解析】(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元，列出二元一次方程组，即可求解；
(2)设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15200元，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】1 8 2 3
【解析】解：(1)根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1−50%−20%−20%=10%
∴样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是10×10%=1，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1，8．
(2)∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5名学生为8分，第6名学生为9分，
∴a=5−1−2=2，
b=10−1−2−2−2=3，
故答案为：2，3．
(3)优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为20%+20%=40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5，
八年级优秀率为3+210×100%=50%>40%，平均成绩为：110×(6+7×2+2×8+3×9+2×10)=8.3<8.5，
∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
∴优秀率高的年级不是平均成绩也高．
(1)根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
(2)根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解；
(3)分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
23.【答案】解：(1)在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km，
∴AO=12AC=12×8=4(km)；
(2)在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km；
∴OC= 32AC=4 3(km)，
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，∠BCO=45°，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∴OB=OC=4 3(km)，
∴AB=OB−OA=(4 3−4)km，
∴卫星从A处到B处的平均速度=4 3−410≈0.3(km/s)．
【解析】(1)根据直角三角形的性质即可得到结论；
(2)在Rt△AOC中，根据直角三角形的性质得到OC= 32AC=4 3(km)，在Rt△BOC中，根据等腰直角三角形的性质得到OB=OC=4 3km，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：连接OE，
∴OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∵∠ACB=90°，CD为斜边中线，
∴CD=12AB=BD，
∴∠OCE=∠OEC=∠B，
∴OE//BD，
∵EF⊥AB，
∴∠OEF=90°，
∴EF为⊙O的切线．
(2)解：连接DE，
∵∠ACB=90°，AB=13，AC=5，
∴BC= AB2−AC2=12，CD=12AB=132，
∵CD是直径，
∴∠CED=90°，
∴DE//AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BEBC=BDAB=12，
∴CE=EB=12BC=6，
∴sin∠B=ACAB=EFBE=513，
∴EF=3013．
【解析】(1)连接OE，则OC=OE，由已知直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD=BD，可以证得∠B=∠CEO，OE//BD，则∠OEF=∠EFB=90°，即可得到EF为⊙O的切线．
(2)连接ED，则∠CED=90°，则DE//AC，可得△BDE∽△BAC，进而求得BE的长度，再利用三角函数即可求得EF的长度．
本题考查了圆的相关性质，切线的判定，勾股定理，三角函数，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)连接MC，MA，MB，并过M作MN⊥AB于N，则四边形OCMN为矩形，因而有OC=MN，
因为A(0,4)，B(0,1)，
所以点N的坐标为(0,52)，
则M的纵坐标y=52，
即MC=MB=52；
又AB=4−1=3，
由垂径定理得BN=32，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：
MN= MB2−BN2= (52)2−(32)2=2，
故点M的坐标为(2,52)；
又由圆周角定理可知∠ACB=12∠AMB=∠BMN，
所以tan∠ACB=tan∠BMN=BNMN=32÷2=34．
(2)由于点A，B的坐标分别为A(0,a)，B(0,b)，
所以点N的坐标为(0,a+b2)，MC=ON=a+b2，
MB=MC=a+b2，
BN=a+b2−b=a−b2，
所以MN= MB2−BN2= (a+b2)2−(a−b2)2= ab，
所以OC=MN= ab，
故点C的坐标为( ab,0)．
(3)由题意a=8，b=4，
根据上述(2)的结论，可得小明视角最大时，
视点到直线AB的距离为 ab= 8×4=4 2≈5.7(米)．
【解析】(1)连接MC，MA，MB，并过M作MN⊥AB于N，利用垂径定理求解即可；根据圆周角的性质得出∠ACB=12∠AMB=∠BMN，求出正切值即可；
(2)根据(1)中的方法求出OC=MN= ab即可；
(3)根据(2)中结论求解即可．
本题考查了圆周角的性质、切线的性质、垂径定理和解直角三角形，解题关键是根据相关性质求出点的坐标．
26.【答案】解：(1)在y=−x2+6x中，当y=−x2+6x=0时，解得x=6或x=0，
∴A(6,0)，
设直线AB解析式为y=kx+b，
∴6k+b=0k+b=5，
∴k=−1b=6，
∴直线AB解析式为y=−x+6，
在y=−x+6中，当x=0时，y=6，
∴C(0,6)；
(2)①由题意得，P(m,−m2+6m)，
∵PE⊥x轴，
∴D(m,−m+6)，
∴PD=−m2+6m−(−m+6)=−m2+7m−6，
∵C(0,6)，
∴OC=6，
∵PD=12OC，
∴−m2+7m−6=3，
解得m=7− 132或m=7+ 132；
②∵S△PAB=S△PDB+S△PDA，
∴S=12PD⋅(xP−xB)+12PD⋅(xA−xP)
=12PD⋅(xA−xB)
=52PD
=52(−m2+7m−6)
=−52(m−72)2+1258，
∵−52<0，
∴当m=72时，S有最大值，最大值为1258．
【解析】(1)先求出点A的坐标，进而利用待定系数法求出直线AB的解析式，最后求出点C的坐标即可；
(2)①根据题意可得P(m,−m2+6m)，D(m,−m+6)，则PD=−m2+7m−6，根据PD=12OC，得到−m2+7m−6=3，解方程即可得到答案；②根据S△PAB=S△PDB+S△PDA列出S关于m的关系式，再利用二次函数的性质求出其最大值即可．
本题主要属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，三角形的面积计算公式等知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
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