广东省珠海市六校2023-2024学年高一（下）期中数学试卷

这是一份广东省珠海市六校2023-2024学年高一（下）期中数学试卷，共5页。
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
2. 在中，若 ， ， 则( )
3. 已知向量 ， ， 且 ， 则实数的值为( )
4. 已知向量 ， ， 且 ， 则的值是
( )
5. 已知与均为单位向量，它们的夹角为 ， 那么等于( )
6. 已知为非零平面向量，则下列说法正确的是( )
7. 在中，角A，B，C所对边分别为 ， ， ， ， 则值等于（ ）
8. 在等边三角形的三边上各取一点D，E，F，满足 ， ， ， 则三角形的面积的最大值是（ ）
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。(共4题；共20分)
9. 已知向量 ， 则( )
10. 已知复数的共轭复数为 ， 则下列说法正确的是( )
11. 已知点是的重心，则下列说法中正确的有( )
12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)
13. 复数满足 ， 则的虚部为____________________，____________________.
14. 已知平面向量 ， ， 且 ， 则____________________．
15. 已知平面向量与的夹角为 ， 若 ， ， 则在上的投影向量的坐标为____________________.
16. 在中， ， ， 则的最大值为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(共6题；共70分)
17. 已知复数（其中且 ， i为虚数单位），且为纯虚数.
（1） 求实数a的值：
（2） 若 ， 求复数的共轭复数.
18. 如图，已知 ， .
（1） 求线段AB的中点M的坐标；
（2） 若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标.
19. 如图，斜坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且的夹角为 ， 定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对 ， 记为在斜坐标系中完成下列问题：
（1） 若 ， ， 求；
（2） 若 ， 求 ．
20. 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A ， B两点间的距离是多少？
21. 在平面直角坐标系中，设向量 ， ， 其中 ， 分别是的两个内角．
（1） 若 ， 求的值；
（2） 若 ， ， 求的面积的最大值．
22. 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点在矩形区域内包含边界 ， 则挑战成功，否则挑战失败已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为 ， 与的夹角为 ．
（1） 若两机器人运动方向的夹角为 ， 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2） 已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．
若 ， 足够长，求机器人乙能否挑战成功．
如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B . 若 ， 则
C . 若 ， 则
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D . 与向量同向的单位向量是
A . 一定是实数
B . 一定是实数
C . 一定是纯虚数
D .
A .
B .
C .
D .
A . 若 ， 则为锐角三角形
B . 若为锐角三角形，则
C . 若 ， 则为等腰三角形或直角三角形
D . 若 ， 则是直角三角形