重庆市缙云教育联盟2024届高三上学期1月第一次诊断性检测（一模）数学试卷

这是一份重庆市缙云教育联盟2024届高三上学期1月第一次诊断性检测（一模）数学试卷，共6页。
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共7题；共35分)
1. “”是“”的（ ）
2. ， 则的共轭复数等于（ ）
3. 已知函数满足： ， ， 成立，且 ， 则（ ）
4. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列说法正确的是（ ）
5. 已知 ， ， 则（ ）
6. 已知函数 ， 则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
7. 已知 ， ， ， ， ， 则的最大值为（ ）
二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的，少选择1个正确选项得3分，少选择2个正确选项得1分，否则得0分。(共3题；共15分)
8. 已知 ， 则下列说法正确的是（ ）
9. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为F ， A ， B是抛物线上两个不同的点，为线段AB的中点，则（ ）
10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)
11. 已知为圆：上一点，则的取值范围是____________________.
12. 已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为____________________．
13. 椭圆上的点P到直线的最大距离是____________________；距离最大时点P坐标为____________________.
14. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nà）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共65分)
15. 记的内角的对边分别为.已知 ．
（1） 求；
（2） 若为的中点，且 ， 求 ．
16. 已知正项数列的前n项和为 ， 且 ．
（1） 求证：
（2） 在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项 ， （其中m ， k ， p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
17. 已知函数（a为常数）.
（1） 求函数的单调区间；
（2） 若存在两个不相等的正数 ， 满足 ， 求证：.
（3） 若有两个零点 ， ， 证明：.
18. （15分）
在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为和 ， 设的面积为 ， 内切圆半径为 ， 当时，记顶点的轨迹为曲线 ．
（1） 求的方程；
（2） 已知点 ， ， ， 在上，且直线与相交于点 ， 记 ， 的斜率分别为 ， ．
(i) 设的中点为 ， 的中点为 ， 证明：存在唯一常数 ， 使得当时，；
(ii) 若 ， 当最大时，求四边形的面积．
19. 某工厂引进新的生产设备 ， 为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值 ， 标准差 ， 以频率值作为概率的估计值.
（1） 为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程.
（2） 为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ， 并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
（3） 将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望.
附：①对于一组数据 ， 其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， ；
②参考数据： ， ， ， .
五、本题分为Ⅰ、Ⅱ两部分，考生选其中一部分作答.若多选，则按照第Ⅰ部分积分.(共2题；共30分)
20. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴 ， 短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．
（1） 求证：当为的中点时，平面
（2） 若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为 ， 试求出的取值范围．
（3） 求三棱锥的体积的最大值．
21. 如图1，已知 ， ， ， ， ， .
（1） 求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积；
（2） 将平面绕旋转到平面 ， 使得平面平面 ， 求异面直线与所成的角；
（3） 某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 则
B . 则
C . 则
D . 则
A .
B .
C .
D .
A . 0
B . 3
C . 6
D . 12
A .
B . 4
C .
D .
A .
B .
C .
D .
E .
A . 若 ， 则到准线距离的最小值为3
B . 若 ， 且 ， 则到准线的距离为
C . 若 ， 且 ， 则到准线的距离为
D . 若AB过焦点 ， ， 为直线AB左侧抛物线上一点，则面积的最大值为
E . 若 ， 则到直线AB距离的最大值为4
A . 函数 为偶函数
B . 函数 的值域是
C . 对于任意的 ， 都有
D . 在 图象上不存在不同的三个点 ， 使得 为等边三角形
E . 在 图象存在不同的三个点 ， 使得 为等边三角形
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100