湖南省岳阳市2023-2024学年高三上学期质量监测（一）数学试卷

这是一份湖南省岳阳市2023-2024学年高三上学期质量监测（一）数学试卷，共5页。

考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
2. 已知复数满足 ， 则（ ）
3. 已知数列与均为等差数列，且 ， ， 则（ ）
4. 定义在上的函数满足：当时， ， 且对任意实数 ， 均有 ， 则为（ ）
5. 自2020年确定针对中国的“融入”政策（和平演变）失败，美国政府开始带领部分西方国家推动“去中国化”的“硬脱钩”政策，技术封锁特别是芯片出口限制就是其中重要一项.为突破围堵，以华为为代表的一批中国高新技术企业不仅着力发展硬件，而且加强了软件技术特别是算法的研发.如我国超级计算机天河一号每秒执行条指令，普通计算机每秒执行条指令.若天河一号用“插入排序”法排个数需要条指令，普通计算机用“并归排序”法排个数需要条指令.现排个数，则超级计算机与普通计算机所花时间的比值为（ ）
6. 据统计，我国结核病的感染率约为0.001.在针对结核病的检查中，健康者检测结果显示为阳性的概率为0.05，结核病感染者检测结果显示为阴性的概率为0.01，那么同学检测结果为阳性的概率为（ ）
7. 已知 ， 分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆交于另外一点 ， 若 ， 则椭圆离心率位于下列哪个区间（ ）
8. 已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的 ， 侧棱长为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(共4题；共20分)
9. 若函数的图象关于直线对称，则（ ）
10. 已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ）
11. 已知双曲线：的实轴长为2，左焦点到右顶点的距离为3.为坐标原点.直线交双曲线的右支于 ， 两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点（ ， 位于第一象限），则（ ）
12. 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成7等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成7等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成7等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的5只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”.下列说法正确的是（ ）
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.(共4题；共20分)
13. 已知 ， ， ， 若向量 ， 且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为____________________.
14. 已知曲线在点处的切线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围为____________________.
15. 过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、 ， 若 ， 则点的轨迹方程为____________________.
16. 正方形的边长为1，、分别为边、上的点（不包括端点），且、分别为、的角平分线.则
（1） 的周长为____________________；
（2） 面积的取值范围为____________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(共6题；共70分)
17. 已知正项数列的前项和为. ， .
（1） 求证：数列为常数列；
（2） 求数列的通项公式，并证明.
18. 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且.
（1） 求；
（2） 若的面积为 ， 的平分线交于点且 ， 求的值.
19. 如图，三棱柱中，侧棱平面 ， . ， 分别是 ， 的中点，且.
（1） 证明：；
（2） 若二面角的正切值为 ， 求直线与平面所成角的余弦值.
20. 为了进一步深入开展“书香校园”活动，让读书成为每位师生的习惯，让阅读成为学校、家庭、社会的一种良好风气，某校规定每位师生需在学校图书馆借阅一本文学类或理工类书籍.现对该校60名师生的借阅情况进行调查，其中教师与学生的人数之比为 ， 教师中借阅文学类书籍的占 ， 学生中借阅文学类书籍的占 ， 得到如下列联表：
（1） 请将列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，判断老师与学生的借阅情况是否存在差异；
（2） 若从学校随机抽取人，用样本的频率估计总体的概率，若抽取的人中有5人借阅理工类书籍的概率最大，求所有可能的取值.
附： ，
其中.参考数据：
21. 已知抛物线的准线与轴相交于点 ， 过点作抛物线的两条切线，切点分别为、 ， 其中点在第一象限.
（1） 求直线的方程；
（2） 过点作直线交抛物线于、两点，交直线于点 ， 过点作的平行直线分别交线段、于点、.证明：存在实数 ， 使得.
22. 已知函数.
（1） 求函数的单调区间；
（2） 设 ， ， 判断的零点个数，并说明理由.
A .
B .
C .
D .
A . 1
B . 2
C .
D .
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 0.05094
B . 0.05001
C . 0.001
D . 0.05084
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B . 的图象关于点对称
C . 在区间上有2个极值点
D . 在区间上单调递增
A . 异面直线与所成角为
B . 若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的体积为
C . 与平面所成角的正弦值为
D . 若点为正方体对角线上的动点，则的最大值为
A . 双曲线方程为
B . 点到两条渐近线的距离之和的最小值为
C .
D . 若 ， 则的面积为
A . 若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则
B . 若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列
C . 若最初有个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得个桃子
D . 若最初有个桃子，则被7除的余数为1
教师
学生
合计
文学类
理工类
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828