北京市门头沟区2023-2024学年高三下学期3月综合练习（一模）数学试卷

这是一份北京市门头沟区2023-2024学年高三下学期3月综合练习（一模）数学试卷，共6页。
考试时间：分钟 满分：分
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合(共10题；共40分)
1. 已知集合 ， 集合 ， 则（ ）
2. 在复平面内，复数满足 ， 则的虚部为（ ）
3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
4. 已知双曲线经过点 ， 离心率为 ， 则的标准方程为（ ）
5. 已知等差数列的前项和为 ， 若 ， ， 则（ ）
6. 设 ， ， 则“”是“”的（ ）
7. 在中， ， ， ， 则的面积为（ ）
8. 在中， ， ， 且 ， 则（ ）
9. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，则当变化时，的最大值与最小值之差为（ ）
10. 如图，正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的个数是（ ）
①三棱锥的体积为定值；
②直线与平面所成的角的大小不变；
③直线与所成的角的大小不变；
④.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(共5题；共25分)
11. 的展开式中常数项为____________________.（用数字作答）
12. 已知抛物线的焦点为 ， 点在上，若 ， 则到直线的距离为____________________.
13. 若函数的最大值为 ， 则____________________，____________________.
14. 已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前项和， ， ， 则____________________；记 ， 若存在使得最大，则的值为____________________.
15. 设 ， 函数 ， 给出下列四个结论：
①当时，的最小值为；
②存在 ， 使得只有一个零点；
③存在 ， 使得有三个不同零点；
④ ， 在上是单调递增函数.
其中所有正确结论的序号是____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(共6题；共85分)
16. 如图，在四棱锥中，平面 ， ， ， ， ， 为棱的中点.
（1） 求证：平面；
（2） 当时，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 设函数 ， 已知 ， ， 在区间上单调，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：为函数的图象的一个对称中心；
条件②：直线为函数的图象的一条对称轴；
条件③：函数的图象可由的图象平移得到.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1） 求的值；
（2） 当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
18. 2024年1月11日，记者从门头沟区两会上获悉，目前国道109新线高速公路（简称新高速）全线35座桥梁主体结构已全部完成，项目整体进度已达到 ， 预计今年上半年开始通车，通车后从西六环到门头沟区清水镇车程将缩短到40分钟. 新高速全线设置主线收费站两处（分别位于安家庄和西台子）和匝道收费站四处（分别位于雁翅、火村、清水和斋堂）. 新高速的建成为市民出行带来了很大便利，为此有关部门特意从门头沟区某居民小区中随机抽取了200位打算利用新高速出行的居民，对其出行的原因和下高速的出口进行了问卷调查（问卷中每位居民只填写一种出行原因和对应的一个下高速的出口），具体情况如下：
（假设该小区所有打算利用新高速出行的居民的出行相对独立，且均选择上表中的一个高速出口下高速）.
（1） 从被调查的居民中随机选1人，求该居民利用新高速出行探亲且在清水出口下高速的概率；
（2） 用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取2人，从出行旅游的人中随机抽取1人，这三人中从斋堂出口下高速的人数记为 ， 求的分布列和数学期望；
（3） 用上表样本的频率估计概率，从该小区所有打算利用新高速出行上班的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速；从该小区所有打算利用新高速出行旅游的人中随机抽取1人，用“”表示此人从斋堂出口下高速，“”表示此人不从斋堂出口下高速，写出方差的大小关系.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的离心率为 ， 椭圆的上顶点为 ， 右顶点为 ， 点为坐标原点，的面积为.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线
交于点 ， 试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明
理由.
20. 已知函数.
（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；
（2） 当时，求的极值；
（3） 当时，判断零点个数，并说明理由.
21. 已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且 ， . 记的前项和分别为 ， 规定.记 ， .
（1） 若 ， ， 写出；
（2） 若 ， 写出所有满足条件的数列 ， 并说明理由；
（3） 若 ， ， ， 且. 证明： ，
使得.
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
项目
斋堂出口
清水出口
安家庄出口
雁翅出口
火村出口
西台子出口
上班
40
8
2
5
3
2
旅游
30
20
10
10
12
8
出行
16
10
10
5
5
4