2024白银高一下学期5月期中考试数学含解析

这是一份2024白银高一下学期5月期中考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了回答选择题时，本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生分必将自己的姓名、生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时．选出每小题答案后用铅笔把答题卡上：对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时．将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册1-5章（30%），必修第一册第6章、必修第二册1-3章（70%）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数的实部与虚部之和为（ ）
A. B. C. 8D. 6
3. 若向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 图象关于直线对称
C. 在上单调递增D. 的图象关于点对称
6. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，某同学为测量某观光塔的高度OP，在该观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN，在地面上点Q处（O，Q，N三点共线且在同一水平面上）测得建筑物MN的顶部M的仰角为，测得该观光塔的顶部P的仰角为，在建筑物MN的顶部M处测得该观光塔的顶部P的仰角为，则该观光塔的高OP为（ ）
A. 80米B. 米C. 米D. 米
8. 若．则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（ ）

A. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B. 该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
10. 若，，，在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D．若四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A B.
C. D. 为纯虚数
11. 若△ABC内心与外心分别为N，O，且，，，则（ ）
A.
B. 点N到AB的距离为
C. 向量在向量上的投影向量为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若．则______．
13. 已知向量，的夹角为，，，，，则______，_____．
14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
（1）求的解析式与最小正周期；
（2）若，，求，的值．
16. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
（3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
17. 已知函数．
（1）证明：的定义域与值域相同．
（2）若，，，求m的取值范围．
18. 如图，在△ABC中，，，其中，CP的延长线与AB交于点F．已知，，．
（1）若，请用向量，表示向量，并求的值；
（2）若，，证明：．
19. 养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成，，三块区域，图中是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边上（点E与D，C均不重合），F在鱼塘岸边．上（点F与B，C均不重合）．其中△的面积与四边形的面积相等，△为等边三角形．

（1）若测得EC长为80米，求的长．
（2）已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢网所需的花费最少？最少约为多少元？（安装费忽略不计，取）
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注意事项：
1．答题前，考生分必将自己的姓名、生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时．选出每小题答案后用铅笔把答题卡上：对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时．将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册1-5章（30%），必修第一册第6章、必修第二册1-3章（70%）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出集合，由交集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，，所以．
故选：A.
2. 复数的实部与虚部之和为（ ）
A. B. C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】化简复数，由复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，所以的实部与虚部之和为．
故选：B.
3. 若向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为，所以，解得．
故选：A.
4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理以及诱导公式即可求解.
【详解】由及正弦定理，得，因为，
所以．
反之亦成立，所以“”是“”的充要条件．
故选：A.
5. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增D. 的图象关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】由求出的范围，结合余弦函数单调性判断AC；代入验证确定对称性判断BD.
【详解】对于AC，当时，，则函数在上先增后减，A，C错误；
对于B，而，则的图象不关于直线对称，B错误；
对于D，，则的图象关于点对称， D正确．
故选：D
6. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得，，，再由对数函数的性质及对数的运算法则判断.
【详解】因为，，，
又，所以．
故选：C
7. 如图，某同学为测量某观光塔的高度OP，在该观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN，在地面上点Q处（O，Q，N三点共线且在同一水平面上）测得建筑物MN的顶部M的仰角为，测得该观光塔的顶部P的仰角为，在建筑物MN的顶部M处测得该观光塔的顶部P的仰角为，则该观光塔的高OP为（ ）
A. 80米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出，米，在△PMQ中，由正弦定理求解即可.
【详解】由题意可得，米，，
则．
在△PMQ中，由正弦定理可得，即，
解得：米．
故选：A.
8. 若．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由辅助角公式和两角和与差的正弦公式化简已知式可得，则，即可求出答案.
【详解】因为
，
所以，
，即，
所以，可得．
故选：D.
二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知某市2017年到2022年常住人口（单位：万）变化图如图所示，则（ ）

A. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B. 该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万
D. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
【答案】AC
【解析】
【分析】由百分位数，极差和平均数的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，该市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：
698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，则极差为万，故A正确；
对于B，由图可知，B错误；
对于C，，所以第60百分位数为730.50万，故C正确；
对于D，平均数为万，故D错误．
故选：AC.
10. 若，，，在复平面内所对应的点分别为A，B，C，D．若四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A. B.
C. D. 为纯虚数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数的几何意义可得对应的点，即可根据向量相等得，进而可判断A，根据复数模长公式即可求解B，根据共轭即可求解C，根据复数的除法运算即可求解D.
【详解】如图，由题意得，，，
由于,则，，A正确．

，B正确．
，C错误．
，D正确．
故选：ABD
11. 若△ABC的内心与外心分别为N，O，且，，，则（ ）
A.
B. 点N到AB的距离为
C. 向量在向量上的投影向量为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由余弦定理求出，同角三角函数的平方关系求出，再由正弦定理即可判断A；由等面积法可判断B；由投影向量的定义可判断C；由余弦定理求出，再由二倍角公式求出，结合的范围可判断D.
【详解】对于A，设△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R，r．因为，
且，所以，
则，所以，A错误；
对于B，因为△ABC的面积，
而，
所以，所以点N到AB的距离为，B正确．
对于C，向量在向量上的投影向量为，C正确．
对于D，因为，所以，
又，所以，则，因为，
且在上单调递减，所以，即，D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若．则______．
【答案】
【解析】
【分析】由二倍角的正切公式求解即可.
【详解】．
故答案为：.
13. 已知向量，的夹角为，，，，，则______，_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题中数据代入向量夹角公式运算求解即可得向量夹角；由可得，结合数量积的运算律分析求解.
【详解】因为，且，所以；
又因为，则，解得．
故答案为：；.
14. 若函数有2个零点，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，去绝对值作出的大致图象，将零点个数转化为图象交点个数可得答案.
【详解】由，得．
设函数，作出的大致图象，如图所示．

函数有2个零点，即函数与函数的图象有两个交点，
由图可知，m的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
（1）求的解析式与最小正周期；
（2）若，，求，的值．
【答案】（1），
（2），．
【解析】
【分析】（1）由三角函数的平移变化可求出，再由正弦函数的最小正周期即可得出答案；
（2）由同角三角函数的平方关系、二倍角的正弦公式和两角差的余弦公式求解即可得出答案.
【小问1详解】
函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
可得，最小正周期．
【小问2详解】
因，，所以，
所以
．
16. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
（3）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．
【答案】（1）
（2）79.3 （3）7次
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解.
（2）先确认频率分布直方图中频率为0.5的位置，再结合中位数定义求解即可.
（3）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.
【小问1详解】
因为各组频率之和为1，组距为10，
所以，
解得.
小问2详解】
因为，
所以中位数位于第三组中，
设中位数为x，则，
解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为79.3.
小问3详解】
由题红灯等待时间低于85秒的频率为，
故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次.
17. 已知函数．
（1）证明：的定义域与值域相同．
（2）若，，，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由具体函数的定义域可得，解不等式即可求出的定义域，再结合对数函数的单调性即可求出的值域.
（2）设，则，分别求出，即可得出答案.
【小问1详解】
证明：由，得，
所以的定义域为．
，
因为在上单调递增．
所以，所以的值域为，
所以的定义域与值域相同．
【小问2详解】
解：由（1）知在上单调递增，
所以当时，．
设，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
因，，，
所以，即m的取值范围为．
18. 如图，在△ABC中，，，其中，CP的延长线与AB交于点F．已知，，．
（1）若，请用向量，表示向量，并求的值；
（2）若，，证明：．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算可得，然后两边同时平方求模；
（2）由三点共线，可设，，然后用表示，然后结合，利用平面向量基本定理列方程求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为，，，
所以，
所以；
【小问2详解】
（方法一）由三点共线，可设，．
因为，，
所以．
由（1）得，所以，
所以，以；
（方法二）因为，，所以，
所以
，
因为C，P，F三点共线，所以，
即．
19. 养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成，，三块区域，图中是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边上（点E与D，C均不重合），F在鱼塘岸边．上（点F与B，C均不重合）．其中△的面积与四边形的面积相等，△为等边三角形．

（1）若测得EC的长为80米，求的长．
（2）已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢网所需的花费最少？最少约为多少元？（安装费忽略不计，取）
【答案】（1）62.5米
（2）E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米，6828元．
【解析】
【分析】（1）由，结合三角形的面积公式求解即可.
（2）设米，米，，．由余弦定理和三角形的面积公式可求出，再由基本不等式求解即可.
【小问1详解】
依题意得平方米，
由米，得平方米，
解得米，即CF的长为62.5米，
【小问2详解】
设米，米，，．
在△ECF中，由余弦定理可得，
因为平方米，所以米，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故当E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米时，EF最短，此时购买的不锈钢网面积最小，花费最小．
当时，不锈钢网的面积为平方米，
所需的花费最少为元．