最新版北师大九年级上数学教案

这是一份最新版北师大九年级上数学教案，共118页。教案主要包含了教学目标，教学重点难点，概念，讲课过程，作业等内容，欢迎下载使用。


§1,1 菱形的性质与判定
一、教学目标：．1、菱形的性质定理的运用．2．菱形的判定定理的运用．
二、教学重点难点：掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导，运用综合法解决菱形的相关题型。
三、概念：
菱形性质：
1． 两条对角线互相垂直平分；
2． 四条边都相等；
3． 每条对角线平分一组对角；
4． 菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
菱形的判定定理：
1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（根据对角线）
3、四条边都相等的四边形是菱形．（根据四条边）
4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（对角线和角的关系）
四、讲课过程：
例题、
例1.（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．
（1）连接 AF ；
（2）猜想： AF = AE ；
（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：观察图形应该是连接AF，可通过证△AFB和△ADE全等来实现AF=AE．
解答：解：（1）如图，连接AF；
（2）AF=AE；
（3）证明：四边形ABCD是菱形．
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABF=∠ADE，
在△ABF和△ADE中
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE．
点评：此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明．
例2、（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．
（1）证明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
专题：证明题；动点型。
分析：（1）可先证△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC，再根据AB∥DC即可得到结论．
（2）当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD，证明S△ADP=×AB•DP=S菱形ABCD即可．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）
∵CE=CE
∴△BCE≌△DCE（4分）
∴∠EBC=∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD=∠CDP（5分）
∴∠EBC=∠APD（6分）
（2）解：当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD．（8分）
理由：连接DB
∵∠DAB=60°，AD=AB
∴△ABD等边三角形（9分）
∵P是AB边的中点
∴DP⊥AB（10分）
∴S△ADP=AP•DP，S菱形ABCD=AB•DP（11分）
∵AP=AB
∴S△ADP=×AB•DP=S菱形ABCD
即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的．（12分）
点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定，判断当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=S菱形ABCD是难点．
例3、（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE=BF；
（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE与△CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
∵BE⊥AD、BF⊥CD，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF．
（2）解：如图，
∵对角线AC=8，BD=6，
∴对角线的一半分别为4、3，
∴菱形的边长为=5，
菱形的面积=5BE=×8×6，
解得BE=．
点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法．
例3、（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．
求证：DE=BE．
考点：菱形的性质。
专题：证明题。
分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=BE．
解答：证明：
法一：如右图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，∠DBC=30°，
∵DE∥AC，
∴DE⊥BD，
即∠BDE=90°，
∴DE=BE．
法二：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AD∥BC，AC=AD，
∵AC∥DE，
∴四边形ACED是菱形，
∴DE=CE=AC=AD，
又四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
∴BC=EC=DE，即C为BE中点，
∴DE=BC=BE．
点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
例4.（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
（1）求∠ABD的度数；
（2）求线段BE的长．
考点：菱形的性质。
分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；
（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．
解答：解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°；（4分）
（2）由（1）可知BD=AB=4，
又∵O为BD的中点，
∴OB=2（6分），
又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=1．（8分）
点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握．
巩固练习
1.有一组邻边相等的平行四边形是__________.
2.菱形的两条对角线长分别是8 cm和10 cm,则菱形的面积是__________.
3.菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________.
4.菱形的面积等于（ ）（20分）
A.对角线乘积B.一边的平方 C.对角线乘积的一半 D.边长平方的一半
5.下列条件中，可以判定一个四边形是菱形的是（ ）（20分）
A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直
C.两条对角线相等且垂直D.两条对角线互相垂直平分
6.菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）．（20分）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
A
B
C
D
O
7.如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6cm，则∠ABD=_____，∠DAC的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．（20分）
5、在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F.求证：四边形AECF是菱形（20分）
6、如图，在菱形ABCD中，AB=BD=5，
求：（1）∠BAC的度数；（2）求AC的长。
O
A
B
C
D
7、四边形ABCD是矩形，四边形AECF是菱形，若AB=2cm，BC=4cm，求四边形AECF的面积。
8、在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF，过点C做CG∥EA交FA于H ，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。
3、作业：
一、选择题。
1、已知菱形两个邻角的比是1:5，高是8cm，则菱形的周长是（ ）。
A. 16cm B. 32cm C. 64cm D. 128cm
2、已知菱形的周长为40 cm，两对角线长的比是3:4，则两对角线的长分别是（ ）。
A. 6cm、8cm B. 3cm、4cm C. 12cm、16cm D. 24cm、32cm
3、如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，那么∠EAF等于（ ）。
A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
4、棱形的周长为8.4cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（ ）
A、1.05cm B、0.525cm C、4.2cm D、2.1cm
5、菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )
A．对角相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．四角相等
6、ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定ABCD是菱形的是（ ）。
A. AB=AD B. AC⊥BD C. ∠A=∠D D.CA平分∠BCD
7、下列命题中，真命题是（ ）。
A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形。
B. 有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形。
C. 对角线互相垂直的矩形是菱形。
D. 菱形的对角线相等。
8、菱形是轴对称图形，对称轴有（ ）。
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9、已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_______, 面积为______.
10、将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分的面积的最大值为________________.
11、一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________.
12、如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度数。
13、已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。
14、如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=∠EAD，AE交BD于M，试说明BE=AM。
15、 如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证四边形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？
16、已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形。
17. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，求证：四边形AFCE是菱形。
18、已知：如图，C是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。
19、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分线BD、CE相交于点M，DF∥CE，EG∥BD，DF与EG交于N，求证：四边形MDNE是菱形。
§1,2 矩形的性质与判定
教学目标：
1、能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论．
2 、能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．
教学重难点：矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系．
三、概念：1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是直角。
（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：
矩形的周长= 矩形的面积=长宽=（为矩形的长与宽）
★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
四、讲课过程：
【经典例题:】
例1：已知：O是矩形ABCD对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH为矩形.
分析：利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形可以证明
证明：∵ABCD为矩形
∴AC=BD
∴AC、BD互相平分于O
∴AO=BO=CO=DO
∵AE=BF=CG=DH
∴EO=FO=GO=HO
又HF=EG
∴EFGH为矩形
例2：判断
（1）两条对角线相等四边形是矩形（ ）
（2）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形（ ）
（3）有一个角是直角的四边形是矩形（ ）
（4）在矩形内部没有和四个顶点距离相等的点（ ）
分析及解答：
（1）如图
四边形ABCD中，AC=BD，但ABCD不为矩形，∴×
（2）对角线互相平分的四边形即平行四边形，∴对角线相等的平行四边形为矩形∴√
（3）如图，
四边形ABCD中，∠B=90°，但ABCD不为矩形 ∴×
（4）矩形对角线的交点O到四个顶点距离相等 ∴×，
如图，
【课堂练习题:】
1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等。
2．矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（ ）
A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm
3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分
4在矩形ABCD中, 对角线交于O点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB的面积为 ; 周长为 .
5一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .
6.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .
7.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为 ，短边长为 .
8.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm2.
9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是 .
10．矩形的对角线相交所成的钝角为120°，矩形的短边长为5 cm，则对角线之长为 cm。
11．矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于O点，∠AOB=2∠BOC，若对角线AC的长为18 cm，则AD= cm。
A
B
E
C
D
12、已知：如图所示，矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE=BC，．
求证：AD=2AB．

【课后练习题:】
1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。
A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分
B
C
D
E
A
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AB=5，AC=13，则矩形ABCD的面积__。
题2 题4
3．已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，
则矩形的面积为 cm2。
4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC= 。
A
B
C
D
E
M
F
5．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BM为高，
求证：DE+DF=BM。
6.如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上。设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点。
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长。
7、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形。
8、如图, 在矩形ABCD中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB平分CBH.
9、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD的周长为16，且CE=EF，求AE的长．
10、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。

11、已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．
12、如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，
求证：四边形是矩形．
§1,3 正方形的性质与判定
一、教学目标：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法。
二、教学重难点：探索正方形的性质与判定。掌握正方形的性质和判定的应用方法
三、概念：
正方形的性质：
1、正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
2、正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
正方形的判定:
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形。
两组对边平行的菱形是正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形。
两组对边平行的矩形是正方形
四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。
一组邻边相等，对角线互相垂直的平行四边形是正方形。
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
每个角都是90度的平行四边形是正方形。
一组邻边相等，对角线平分的四边形是正方形。
12、四个均为直角，每条对角线平分一组对角的四边形是正方形
四、讲课过程
1、例题
例1：如图:△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F求证:四边形CFDE是正方形.
分析：要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证明有一组邻边
相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角.

解∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC
∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边的距离相等）
∴ ∠ DEC=∠ECF=∠CFD=90°,
∴四边形 CFDE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
又∵ DE=DF（已证）
∴四边形 CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
例2：已知：如图点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
分析：法一：①先证明四边形A′B′C′D′是 菱形②再证明四边形A′B′C′D′有一个角是直角
法二：①先证明四边形A′B′C′D′是 矩形②再证明四边形A′B′C′D′有一组邻边相等。
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA
又∵A`A=B`B=C`C=D`D
∴D`A=A`B=B`C=C`D
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`
AD`=AB`=BC`=CD`
∴四边形A`B`C`D`是菱形
又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°
∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 °
∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°
∴四边形A`B`C`D`是正方形
例3：如图：EG 、FH过正方形ABCD的对角线的交点O,EG⊥FH,求证四边形EFGH为正方形

解答： ∵ 正方形ABCD EG⊥FH
∴∠OAH＝∠OBE＝45º， DB=AC OA＝OB, ∠AOH＝90º－∠AOE＝∠BOE,
∴⊿AOH≌⊿BOE﹙ASA﹚.∴ OH＝OE.
同理OE＝OF＝OG ＝ OH,
∴四边形EFGH是平行四边形 ∴ FH=EG
∵EG⊥FH ∴四边形EFGH为正方形。
巩固练习
１、如图，分别延长等腰直角△OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD
求证：四边形ABCD是正方形
２、矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN，判断四边形EMFN的形状,并说明原因:
3、判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
对角线相等的菱形是正方形。 （ ）
②、对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ）
③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（ ）
④、四条边都相等的四边形是正方形。（ ）
⑤、四个角都相等的四边形是正方形。（ ）
⑥、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。（ ）
⑦、正方形一定是矩形。（ ）
⑧、正方形一定是菱形。（ ）
⑨、菱形一定是正方形。（ ）
⑩、矩形一定是正方形。（ ）
4、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠MND=_______=_______∠B.
在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）
A.12+12 B.12+6 C.12+ D.24+6
作业
1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求的度数。
变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
2：如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.
3、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.
4、（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
A
B
C
P
D
E
5、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则= 。
6、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为 。
7、.正方形的面积是，则其对角线长是________.
8、E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.
9、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．
10、E是正方形ABCD对角线AC上一点，垂足分别为F、G，求证：BE=FG。
11、已知中，，CD平分,交AB于D，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF为正方形。
第二章 一元二次方程
§2,1认识一元二次方程
一．教学目标：
1、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
2、渗透“夹逼”思想
二．教学重点难点：用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。
三．概念：（一）、一元二次方程定义
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
（二）、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
讲课过程
一、复习：
1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a≠0)
2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x+1=0(2)―x2+1=0(3)x2―x=0(4)― EQ EQ \R(,3) x2=0
二、新授：
1、估算地毯花边的宽。
地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18
也就是：2x2―13x+11=0
你能求出x吗？
（1）x可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0，因为x表示地毯的宽度。
（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？
x不可能大于4，也不可能大于2.5, x>4时，5―2x<0 , x>2.5时， 5―2x<0.
（3）完成下表
从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。
地毯花边1米，另，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3，8―2x=6，x=1
2、例题讲析：
例：梯子底端滑动的距离x（m）满足(x+6)2+72=102
也就是x2+12x―15=0
（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？
（2）x的整数部分是几？十分位是几？
所以1进一步计算
所以1.1因此x 的整数部分是1,十分位是1
注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。
巩固练习：
1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：
（1）2x2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1
（3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x
2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
3、关于x的方程（k-3）x2+2x-1=0，当 k 时，是一元二次方程。
4、试找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：
；
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 、 、
、 ，根据题意可得方程：
5、判断下列方程哪些是一元二次方程
（1）4x2－5x－1=x (2) 9x4－5=0 (3) +x－5=3
(4) ax2+(b－1)x+c=0 (a≠0) (5) 5(x－1)2=5x2 (6)
6、判断关于x 的方程x2－nx(x－n－1)=5x是不是一元二次方程，如果是，指出其二次
项系数，一次项系数及常数项。
7、如果关于x的一元二次方程：x2－2(a+1)x+a2=0有两个整数根，a为整数，且12＜a＜60，求这个方程的两个根。
四、小结：估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。
五、作业：
1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个连续整数吗？
2、一个面积为120平方米的矩形苗圃，它的长比宽多2米，求苗圃的周长？
3、一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系：h=10+2.5t-5t2,那么他最多有多长时间完成规定的动作？
4、已知两个数的和为10，积为9，求这两个数。
5、把方程2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c的值分别是（ ）
A.3、7、1 B.2、-5、-1 C.1、-5、-1 D.3、-7、-1
方程①x2-1=x; ②2x2-y-1=0; ③3x2-+1=0; ④中.其中是一元二次方程的是（ ）
A. ①④ B. ①③④ C.① D. ①②
7、方程x2=x的解是（ ）
A.1 B.1或-1 C.0 D.1或0
8、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图。如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是 （ ）
A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0
9、一元二次方程的一般形式是 ，二次项是 ，一次项系数是 。
方程3(x2-1)=x的二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 。
11、根据题意，列出方程：
（1）有一面积为54平方米的长方形，将它的一边剪短5米，另一边剪短2米，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
13、关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0
当k 时是一元二次方程；当 k 时是一元一次方程。
14、关于x的方程（k-）x2+(m-3)x-1=0，是一元二次方程。则k和m的取值范围分别为什么？
把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项：
（1）9x2－4x=5 (2)(x－7)(4x+3)=(x－1)2
§2、2用配方法求解方程
一．教学目标：
1、会用开平方法解形如(x+m)2=n (n≥0)的方程；
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。
二．教学重难点：理解并掌握配方法，能够灵活运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。如何利用等式的性质进行配方？
三．概念：
1.配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法 2.配方法一般步骤：
方程两边同时除以a,将二次项系数化为1.
将所得方程的常数项移到方程的右边。
所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方
配方，化成
（5） 开方。当时，；当b<0时，方程没有实数根。
四．教学程序：
一、复习：
1、解下列方程：
（1）x2=9（2）(x+2)2=16
2、什么是完全平方式？
利用公式计算：
（1）(x+6)2（2）(x－ EQ \F(1,2) )2
注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。
3、解方程：（梯子滑动问题）
x2+12x－15=0
二、新授：
1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？
2、解方程的基本思路（配方法）
如：x2+12x－15=0转化为
(x+6)2=51
两边开平方，得
x+6=± EQ \R(,51)
∴x1= EQ \R(,51) ―6x2=― EQ \R(,51) ―6(不合实际)
因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。
3、讲解例题：
例1：解方程：x2+8x―9=0
分析：先把它变成(x+m)2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。
解：移项，得：x2+8x=9
配方，得：x2+8x+42=9+42（两边同时加上一次项系数一半的平方）
即：(x+4)2=25
开平方，得：x+4=±5
即：x+4=5，或x+4=―5
所以：x1=1，x2=―9
巩固练习：
1、解下列方程：
（1）（2-x）2=3 （2）（x-）2=64 （3）2（x+1）2=
（4）x2-8x+9=0 （5）x2-x=2
2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+=(x+6)2
（2）x2―12x+=(x― )2
（3）x2+8x+=(x+ )2
3、若x2=4，则x= .若(x+1)2=4，则x= .若x2+2x+1=4，则x= .若x2+2x=3，则x= .
4、填上适当的数，使下列等式成立：
x2+12x+ =(x+6)2;
x2-4x+ =(x- )2;
x2+8x+ =(x+ )2.
5、利用配方法快速解下列两个方程：
x2+2x-35=0 5x2-15x-10=0
6、方程y2-4=2y配方，得（ ）
A.(y+2)2=6 B. (y-1)2=5 C. (y-1)2=3 D. (y+1)2=-3.
四、小结：
（1）什么叫配方法？
（2）配方法的基本思路是什么？
（3）怎样配方？
26m
35m
（第1题）
五、作业：
1、如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分种花草，要使剩余部分面积为850m2，道路的宽应为多少？
2、解下列方程：
(1)x2+12x+25=0 (2)x2+4x=10 (3)x2-6x=11
x2-2x-4=0 （5）x2-4x-12=0 （6）x2-10x+25=7

（7）x2+6x=1 （8）x2-6x-40=0 （9）x2-6x+7=0
（10）x2+4x+3=0
4、当x取何值时，代数式10-6x+x2有最小值，是几？
5、配方法证明y2-12y+42的值恒大于0。
6、（1）x2-4x+ =（x- ）2；（2）x2-x+ =（x- ）2
7、方程x2-12x=9964经配方后得（x- ）2=
8、方程（x+m）2=n的根是
9、当x=-1满足方程x2-2（a+1）2x-9=0 时，a=
10、已知：方程（m+1）x2m+1+（m-3）x-1=0，试问：
（1）m取何值时，方程是关于x 的一元二次方程，求出此时方程的解；
（2）m 取何值时，方程是关于x 的一元一次方程
11、关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2-3a-4=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A、-1 B、4 C、-1或 4 D、1
12、不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A、总不小于2 B 、总不小于7 C、 可为任何实数 D、可能为负数
§2、2用公式法求解一元二次方程
一．教学目标：
1、能够熟练地、灵活的应用配方法解一元二次方程。
2、进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。
3、培养观察能力运用所学旧知识解决新问题。
二．教学重点、难点：能够熟练的应用配方法解一元二次方程和两种方法的选用。用求根公式解简单数字系数的一元二次方程。对求根公式的推导过程的理解
三．概念：
1.公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
2.一元二次方程的求根公式：
四．教学程序：
一、复习：上节课我们学过的解一元二次方程的基本思路是什么？其关键是什么？
二、新授：
1、例题讲析：
例1 利用公式法解方程x2-7x-18=0
分析：此方程中哪些数字相当于ax2+bx+c=0（a≠0）中的a、b、c？试写出解方程的完整过程。

例2 对于问题：k取何值时,kx2+3x+4=0有两个不相等的实数根，下面的解法是否正确？若不正确，请给出正确解法。
解：∵Δ=32-4·k·4=9-16k
令9-16k >0，则k<
即当k<时，方程kx2+3x+4=0有两个不相等的实数根。
用公式法解一元二次方程的步骤：
把方程化为（一般形式 ）
写出一元二次方程的各项（ 系数 ）
计算（ 判别式b^2-4ac ）的值，并判断出与（ 0 ）的大小关系
在一元二次方程有（ b^2-4ac >=0 ）的前提下，用公式（ x=（-b+(-)√△）/2a ）求出x的值
（5）具体写出x1=（ （-b+√△）/2a）x2=（ （-b-√△）/2a ）
3、利用配方法推导一元二次方程的求根公式
若给出一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）你觉得应如何利用配方法求解？
ax2+bx+c=0（a≠0）方程的两边同时除以a可得到： 。
把上式中的常数项移项可得：
如果对上式进行配方，方程两边应加上什么式子，这个式子是怎样得到的？
。
配方后可得： 。
思考：对于上式能不能直接利用直接开平方，为什么？
结论：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当 时，它的根是：
x= 。式子 称为求根公式，用 解一元二次方程的方法称为公式法。
三、作业：
1、用公式法解下列方程：
（1）2x2-4x-1=0; （2）5x+2=3x2; （3）(x-2)(3x-5)=1

x2-2x-4=0 （5）5x2=4-2x （6）(x-2)(3x-5)=1

x2-+8=0 （8）x2+2x-35=0 （9）5x2-15x-10=0

（10)9x2+6x+1=0 (11)16x2+8x=3
2、一个直角三角形三边的长为三个连续的偶数，求这个三角形的三条边长。
3、方程(m+1)x|m|+1+(m-3)x-1=0.
（1）m取何值时，方程是一元一次方程
m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解。
4、x=-2是方程2x2+mx-4=0的一个根，则m的值是 。
5、两个连续奇数的积是483，则这两个奇数分别是 、 。
6、若一个等腰三角形三边长均满足方程x2-6x +8=0，则此三角形的周长为 。
7、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）。
8、填空：
（1）方程x2+2x+1=0的根为x1= ，x2= ，则x1+x2= ;x1•x2= .
（2）方程x2-3x-1=0的根为x1= ，x2= ，则x1+x2= ;x1•x2= .
（3）方程3x2+4x-7=0的根为x1= ，x2= ，则x1+x2= ;x1•x2= .
§2、2用分解因式法求解一元二次方程
一、教学目标：
1、了解分解因式法的概念；
2、会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
3、体验解决问题的方法的多样性，灵活选择方程的解法。
4、在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。
二、教学重点、难点：会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
三、概念：因式分解法：一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。
四、教学程序：
一、复习：
1、有两个数a、b，如果它们之间满足a•b=0，则a，b的值会是怎样的情况？
2、对下列各式分解因式： （1）5x2-4x (2)x-2-x2+2x
二、新授：
1、例题
例1：
如图所示：
（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？
(16-2x) (12-2x)= EQ \F(1,2) ×16×12
（2）一元二次方程的解是什么？
x1=2 x2=12
（3）这两个解都合要求吗？为什么？
x1=2合要求， x2=12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。
例2、设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？
x2π= EQ \F(1,2) ×12×16
（2）一元二次方程的解是什么？
X1= EQ \R(,\F(96,π) )≈5.5
X2≈－5.5
（3）合符条件的解是多少？
X1=5.5
3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。
（1）花园为菱形？ （2）花园为圆形
（3）花园为三角形？ （4）花园为梯形
巩固练习
1、利用分解因式法解方程
（1）5x2=4x (2)x-2=x(x-2)
你能用分解因式法解方程x2-4=0, (x+1)2-25=0吗？与同学交流一下。
四、小结：
1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。
2、设计方案时，关键是列一元二次方程。
3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。
五、作业：
1、用分解因式法解方程

（1）x2-6x=0 （2）3（x-5）2=2（5-x） （3）2（x-3）2=x2-9


（4）4x2-4x+1=0 （5）4（x-2）2=9（x+3）2 （6）4x（2x+1）=3（2x+1）



（7）（2x+3）2=4（2x+3） （8）3x（x-1）=2-2x （9）（x-2）2=（2x+3）2


（10）（x-2）（x-3）=12 （11）x2-5x+8=0 （12）2（x-3）2=x2-9

（13）5（x2-x）=3（x2+x）

解方程2x（x-1）=x-1时，有的同学在方程的两边同时除以（x-1），得2x=1，解方程得x=0.5,这种做法对吗?如
果不对,请你写出正确的答案并与同学交流.
3、方程y2-4=2y配方，得（ ）
A.(y+2)2=6 B. (y-1)2=5 C. (y-1)2=3 D. (y+1)2=-3.
4、已知m2-13m+12=0,则m的取值为（ ）
A.1 B.12 C.-1和-12 D.1和12
5、如果关于x的一元二次方程：x2－2(a+1)x+a2=0有两个整数根，a为整数，且12＜a＜60，求这个方程的两个根。
§2、5一元二次方程根与系数的关系
一、教学目标：提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
二、教学重难点：寻找等量关系，建立方程模型。
三、概念：一元二次方程根与系数的关系:如果方程的两个实数根是，那么，。
教学程序：
1、例题精讲
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得；
∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
例2：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为，
∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
作业
填空题：
1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。
3、已知关于的方程的两根为，且，则 。
4、已知是方程的两个根，那么： ；
； 。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则 ； 。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。
7、已知是的一根，则另一根为 ，的值为 。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。

求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。
6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

能力提升题：
1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？
2、已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。
3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。
4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。
5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。
6、实数、分别满足方程和，求代数式

的值。

答案与提示：

填空题：
1、提示：，，，∴，
∴，解得：
2、提示：，由韦达定理得：，，∴，
解得：，代入检验，有意义，∴。
3、提示：由于韦达定理得：，，∵，
∴，∴，解得：。
4、提示：由韦达定理得：，，；；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则
；②设＜0，＞0，则。
5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。
6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。
7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，
∴，∴
8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，
∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：
求值题：
提示：由韦达定理得：，，∴
2、提示：由韦达定理得：，，∴
3、提示：由韦达定理得：，，
∴
4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。
5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，
∴，∴，化简得：；解得：
，；以下分两种情况：
①当时，，，组成方程组： ；解这个方程组得：；
②当时，，，组成方程组：；
解这个方程组得：
6、提示：设和相同的根为，于是可得方程组：

；①②得：，解这个方程得：；

以下分两种情况：（1）当时，代入①得；（2）当时，代入①得。

所以和相同的根为，的值分别为，。
能力提升题：
1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组：
解这个不等式组得：＞1
2、提示：（1）的判别式△＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：

解这个关于的方程组，可得到：，，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；
3、提示：可利用韦达定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式组：

求得不等式组的解，且兼顾；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝4
4、答案：存在。
提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得： ；于是可得方程组：

解这个方程组得：①当时，；②当时，；
所以的值有两个：；；
5、提示：由韦达定理得：，，则
，即，解得：
6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：
，，

∴，∴，∴，

又∵，变形得：，∴，∴
§2、6应用一元二次方程
教学目标：
1、能分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并能解决现实情景中的实际问题。
2、提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
3、认识方程是刻画现实世界的有效数学模型，增强数学应用意识。
二．教学重点难点：列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程
三．概念：黄金分割中的黄金比是多少？[ 准确数为 EQ \F(\r(,5) ―1,2) ，近似数为0.618 ]
四．教学程序：
一、复习
1、解方程：
（1）x2+2x+1=0(2)x2+x－1=0
2、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？
（方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式）
二、新授
1、黄金比的来历
如图，如果 EQ \F(AC,AB) = EQ \F(CB,AC) ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。
由 EQ \F(AC,AB) = EQ \F(CB,AC) ，得AC2=AB·CB
设AB=1， AC=x ，则CB=1－x
∴x2=1×(1－x) 即：x2+x－1=0
解这个方程，得
x1= EQ \F(―1+\r(,5),2) , x2= EQ \F(―1―\r(,5),2) （不合题意，舍去）
所以：黄金比 EQ \F(AC,AB) = EQ \F(―1+\r(,5),2) ≈0.618
注意：黄金比的准确数为 EQ \F(\r(,5) ―1,2) ，近似数为0.618.
上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。
2、例题讲析：
例1：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向上。一首军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一首补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里（结果精确到0.1海里）
分析：（1）提示：利用相似三角形的性质（2）勾股定理→一元二次方程
解：（1）连接DF，则DF⊥BC，
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里
∴AC= EQ \R(,2) AB=200 EQ \R(,2) 海里，∠C=45°
∴CD= EQ \F(1,2) AC=100 EQ \R(,2) 海里DF=CF， EQ \R(,2) DF=CD
∴DF=CF= EQ \F(\r(,2),2) CD= EQ \F(\r(,2),2) ×100 EQ \R(,2) =100海里
所以，小岛D和小岛F相距100海里。
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里
EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：x2=1002+(300－2x)2
整理得，3x2－1200x+100000=0
解这个方程，得：x1=200－ EQ \F(100\r(,6),3) ≈118.4
x2=200+ EQ \F(100\r(,6),3) (不合题意，舍去)
所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。
例2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明，为销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
分析：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价为x 元，那么每台冰箱的定价就是（2900－x）元，每台冰箱的销售利润为(2900－x－2500)元。这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。
解：设每台冰箱降价x元，根据题意，得：
(2900－x－2500)（8+4× EQ \F(x,50) ）=5000
2900－150=2750 元
所以，每台冰箱应定价为2750元。
关键：找等量关系列方程。
例3、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明这种台灯的售价每上涨一元，某销售量就减少10个，为了实现平均每月20000的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
分析：每个台灯的销售利润×平均每天台灯的销售量=10000元
可设每个台灯涨价x元。
(40+x－30) ×(600－10x)=10000
答案为：x1=10, x2=40
10+40=50, 40+40=80
600－10×10=500 600－10×40=200
巩固练习：
将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长。
2、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8m，宽为5m。如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？
3、在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？
4、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m。
鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200 m2吗？
鸡场的面积能达到250 m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
5、、从一块正方形木块上锯掉2厘米宽的长方形木条，剩余部分的面积是48平方厘米，求这块正方形木板原来的面积。
四、小结：列方程解应用题的三个重要环节：
1、整体地，系统地审清问题；
2、把握问题中的等量关系；
3、正确求解方程并检验解的合理性。
五、作业
1、有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数。
2、某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价384元，如果两次降价的百分数相同，求每次降价百分之几？
3、某商场一月份销售额为70万元，二月份下降10%，后改进管理，月销售额大幅度上升，四月份的销售额达112万元，求三月、四月平均每月增长的百分率
4、某服装店的老板用8000元购进一种夏季衬衫若干件，以每件58元的价格出售，很快售完，又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次多了4元，服装店按每件58元出售，全部售完。问该服装店这笔生意两次共盈利多少元？
5、某服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元。若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
6、（2006年包头市）某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
7、某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
8、 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能销售8台；而销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱定价应为多少元？
9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
10、某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个。如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？
第三章 概率的进一步认识
§ 3.1 用树状图或表格求概率
一、教学目标：1。经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
2．通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计一事件发生的概率。
3．能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率。
二、教学重点：运用树状图和列表法计算事件发生的概率。树状图和列表法的运用方法。
三、概念:
常用的两种列举法:
1.列表法：
当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出可能的结果，这种方法叫列表法.
2.树形图法：
当事件中涉及的有两个以上的因素时，用树形图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫树形图法.
3.决定性现象和随机现象
决定性：在每次实验中一定发生的现象。
随机现象：在每次实验中，有时发生，有时不发生的现象称随机现象。 2. 概率的概念
在随机现象中一个事件发生的可能性大小叫做这个事件的概率。
特别说明
（1）概率是一个不超过1的非负实数。
（2）在随机现象中，做了大量试验后，一个事件发生的频率可以作为这个事件的概率的近似值。
（3）概率是在随机现象中一个事件发生的可能性的大小。
（4）决定性现象一定发生，随机现象不一定发生。
4. 概率的含义
表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率。 说明：概率的含义必须表示在大量的反复试验中。
5.要点诠释：
当事件的发生只经过两个步骤时，一般用列表法就能将所有的可能结果列举出来，当经过多个步骤时，表格就不够清晰，而树形图法的适用面较广，特别是对多个步骤时，层次清楚，一目了然.
四、教学过程：
问题引入：对于前面的摸牌游戏， 在一次试验中，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌的数字为几的可能性大？如果摸得第一张牌的牌面数字为2呢？（由此引入课题，然后要求学生做实验来验证他们的猜想）
做一做：
实验1：对于上面的试验进行30次，分别统计第一张牌的牌面字为1时，第二张牌的牌面数字为1和2的次数。
实验的具体做法：每两个人一个小组，一个负责抽纸张，另一个人负责记录，
如：1 2 2 1---------(上面一行为第一次抽的)
2 1 2 1---------（下面一行为第二次抽的）
议一议：
小明的对自己的试验记录进行了统计，结果如下：
因此小明认为，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌时，摸得牌面数字为2的可能性比较大。你同意小明的看法吗？
让学生去讨论小明的看法是否正确，然后让学生去说说自已的看法。
想一想：
对于前面的游戏，一次试验中会出现哪些可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？
会出现3种可能的结果：
牌面数字和为2，牌面数
字和3，牌面数字和4，每
种结果出现的可能性相同
小颖的看法：
小亮的看法：
实际上，摸第一张牌时，可能出现的的结果是：牌面数字为1或2，而且这两种结果出现的可能性相同；摸第二张牌时，情况也是如此，因此，我们可以用下面的“树状图”或表格来表示所有可能出现的结果：
开始

第一张牌的面的数字： 1 2
第二张牌的牌面数字： 1 2 1 2
可能出现的结果（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）
从上面的树状图或表格可以看出，一次试验可能出现的结果共有4种：（1，1）（1，2）
（2，1）（2，2），而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是1/4。
利用树状图或表格，可以比较方便地求出某些事件发生的概率。
例1：随机掷一枚硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少？
解：随机掷一枚均匀的硬币两次，所有可能出现的结果如下：
正
正
开始 反
正
反

正
总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而至少有一次正面朝上的结果有3种：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率为3/4。
第二种解法：列表法
随堂练习：
从一定高度随机掷一枚硬币，落地后其朝上的一面可能出现正面和反面这样两种等可能的结果。小明正在做掷硬币的试验，他已经掷了3次硬币，不巧的是这3次都是正面朝上。那么你认为小明第4次掷硬币，出现正面的可能性大，还是出现反面的可能性大，是不是一样大？说说你的理由，并与同伴进行交流。
解：第4次掷硬币时，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性一样大。
附加练习：
将一个均匀的硬币上抛两次，结果为两个正面的概率为______________.
课堂小结：
这节课学习了通过列表法或树状图来求得事件的概率。
课后作业：列表格、树状图求概率
一．选择题（共17小题）
1．（2012•玉林）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A.1/2 B.1/3 C.2/3 D.5/6
2．（2012•义乌市）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是（ ）
A.3/5 B.7/10 C.3/10 D.16/25
3．（2012•泰安）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（ ）
A.1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3
4．（2012•山西）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（ ）
A. 1/4 B. 1/3 C.1/2 D.2/3
5．（2012•青岛）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A. 1/4 B. 3/4 C.1/3 D. 1/2
6．（2012•嘉兴）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是（ ）
A.1/4 B. 3/10 C. 1/2 D.3/4
7．（2012•济南）暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/6 D.1/9
8．（2012•海南）要从小强、小红和小华三人中随机选两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是（ ）
A. 2/3 B. 1/3 C. 1/2 D.1/6
9．（2012•桂林）中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽取一项；从50米、50×2米、100 米中随机抽取一项．恰好抽中实心球和50米的概率是（ ）
A. 1/3 B. 1/6 C. 2/3 D.1/9
10．（2012•东营）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x、乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线上的概率为（ ）
A. 1/18 B. 1/12 C. 1/9 D.1/6
11．（2012•毕节地区）小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，你认为三次都是正面朝上的概率是（ ）
A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D.1/8
12．（2012•本溪）有三张正面分别标有数字﹣2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ）
A. 4/9 B. 1/12 C. 1/3 D.1/6
13．（2009•安徽）某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A. 4/5 B. 3/5 C. 2/5 D.1/5
14．（2008•天门）将分别标有数字1，2，3，4的四张卡片洗匀后，背面朝上，放在桌面上，随机抽取一张，1被抽取的概率是（）
A. 1/5 B. 1/4 C. 1/3 D.1/2
15．（2008•来宾）将一枚质量分布均匀的硬币抛掷3次，其中至少连续抛出2次相同一面朝上的概率是（ ）
A. 2/3 B. 1/4 C. 1/2 D.3/4
16．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步，2 个同学在一组的概率是（）
A. 1/4 B. 1/6 C. 1/8 D.5/24
二．填空题（共13小题）
18．（2012•自贡）盒子里有3张分别写有整式x+1，x+2，3的卡片，现从中随机抽取两张，把卡片的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是_____
19．（2012•铁岭）从﹣2、1、这三个数中任取两个不同的数相乘，积是无理数的概率是____
20．（2012•绍兴）箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是 _________ ．
21．（2012•衢州）如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=．
22．（2012•南平）某校举行A、B两项趣味比赛，甲、乙两名学生各自随即选择其中的一项，则他们恰好参加同一项比赛的概率是 _________ ．
23．（2012•聊城）我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项“引体向上”或“推铅球”中选一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是 _________ ．
24．（2012•菏泽）口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色1号、红色2号、黄色1号、黄色2号、黄色3号的5个小球，从中摸出两球，这两球都是红色的概率是 _________ ．
25．（2012•河南）一个不透明的袋子中装有三个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其它完全相同．任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是 _________ ．
26．（2012•广元）已知一次函数y=kx+b，k从1、﹣2中随机取一个值，b从﹣1、2、3中随机取一个值，则该一次函数的图象经过一、二、三象限的概率为 _________ ．
27．（2012•赤峰）投掷一枚质地均匀的骰子两次，两次的点数相同的概率是．
28．（2008•防城港）在任意的三个整数中，有且只有一个偶数的概率是 _________ ．
29．从1到10这十个自然数中，任意取出两个数，它们的积大于10的概率是 _________ ．
§ 3.2：用频率估计概率
一、教学目标：1、经历试验，统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力。
2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计一事件发生的概率。
二、教学重难点： 通过实验估计随机事件发生的概率的方法。领会当实验次数很大时，可以用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率
三、概念:1、不确定现象大量存在于自然界和人类社会中，概率正是研究这种现象、揭示其统计规律并帮助我们形成决策。数学工具. 且随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率在现实生活和科学预测中的作用愈加广泛和重要。
2、频率，是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变. 而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关. 从以上角度上讲，频率与概率是有区别的，但在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：随着样本量的增加，频率将会越来越集中在一个常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率
3、等可能事件概率，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为概率，即概率的古典定义.
4、要点诠释：古典概型的特点：
(1)一次试验中，可能出现的结果有限多个； (2)一次试验中，各种结果发生的可能性相等.
四、教学过程：
问题引入：
1、实验一：准备20张大小相同的卡片，上面分别写好1至20的数字，然后将卡片放在袋子里搅匀，每次从袋中抽出一张卡片，记录结果，然后放回搅匀再抽.
将实验结果填入下表：
根据上表中的数据绘制频率折线图
从实验数据中可以发现什么规律？
频率随着实验次数的增加，稳定于什么值？
从袋中抽出一张卡片是5的倍数的概率是多少？
实验二：准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2.从每组牌中各摸出一张，称为一次实验.
一次实验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？
每人做30次实验，依次记录每次摸得的牌面数字，并根据实验结果填写下面的表格：
根据上表，制作相应的频数分布直方图
你认为哪种情况的频率最大？
两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少？
汇总各个小组的数据，填写下表，并绘制相应的的频率折线统计图
二、议一议
在上面的实验中，你发现了什么？如果继续增加实验次数呢？与其他小组交流所绘制的图表和发现的结论
当实验次数很大的时候，你估计两张牌的牌面数字和等于3的频率大约是多少？你是怎么估计的？
三、做一做
将各组的数据集中起来，求出两张牌的牌面数字和等于3的频率，它与你们的估计相近吗？
结论：我们可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
四、随堂练习:
1、判断正误
（1）天气预报说下星期一降水概率为90%，下星期三降水概率为10%，于是有位同学说：下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨，你认为他说的对吗？
（2）抛掷硬币100次，一定有50次正面向上吗？抛掷2n次一定有n次正面向上吗？
8/10
（3）小明投篮5次，命中4次，他说一次投中的概率为5分之4对吗？
（4）小明的爸爸这几天迷上了体育彩票，该体育彩票每注是一个7位的数码，如能与开奖结果一致，则获特等奖；如果有相连的6位数码正确，则获一等奖；„„；依次类推，小明的爸爸昨天一次买了10注这种彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种彩票好，中奖率高，中一等奖的概率是10%！小明爸爸的说法正确吗？”
2、小丁和小兰分别用掷A、B两枚骰子的方法来确定P(x，y)的位置，她们规定：小丁掷得的点数为x，小兰掷得的点数为y，那么她们各掷一次所确定的点落在已知直线y=2x上的概率为（ ）
A．1/36 B．1/18 C、1/12 D．1/9
3、投针试验
（1）在一个平面上画一组间距为d=4cm的平行线，将一根长度为l=3cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交. 估计针与任一直线相交的概率.
（2）在投针试验中，如果间距d=4cm、针长l=3cm时针与任一直线相交的概率为p，则当d不变l减小时概率p会如何变化？当l不变d减小时概率p会如何变化？（在试验中始终保持l＜d）
五、作业:
1、某校招收实验班的学生，从每5个报名的学生中录取3人，如果有100名报名，则有-----人可能被录取。
2、一箱灯泡有24个，灯泡的合格率是0.98，则小亮从中任意拿出一只灯炮是次品的概率是（ ）
3、某城市有400万人，随机调查了2000人，其中有450人看该城市的“家庭”节目，若在该城市随便问一个人，他看该节目的概率大约是（ ）
4、一个数字转盘，上面从1到15共有15个数字，当某人无数次转动转盘时，中间 的指针指向数字7的概率是（ ）。
5、盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )。
A．90个 B．24个 C．70个 D．32个
6、从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（ ）。 A．1/200 B．1/1000 C． 1/500 D．1/250
251000200
7、下列说法正确的是( )。
A．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大；
B．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行； C．彩票中奖的机会是1％，买100张一定会中奖；
D．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100％，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100％的结论。
8、为了调查今年有多少名学生参加中考，小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭，发现其中有10个家庭有子女参加中考。
（1）本次抽查的200个家庭中，有子女参加中考的家庭的频率是多少？
（2）如果你随机调查一个家庭，估计该家庭有子女参加中考的概率是多少？
（3）已知全市约有1.3×106个家庭，假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生，请你估计今年全市有多少名考生参加中考？
9、有一个矩形，将它四边中点连接起来，会得到一个什么图形（阴影部分）？若将一骰子（看做一个点，不考虑它的面积）投到这个矩形中，那么投到阴影部分的概率是？
10、甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，且a，b分别取数字0，1，2，3，若a，b满足ab≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为?
11、王叔叔承包了鱼塘养鱼，到了收获时期，他想知道池塘里大约有多少条鱼，于是他先捞出1000条鱼，将他们做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间后，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，从中捕捞出150条鱼，发现有标记的鱼有3条，则： 视图
（1）池塘内约有多少条鱼？
（2）如果每条鱼重0.5千克，每千克鱼的利润为1元，那么估计它所获得的利润为多少元？
第四章 图形的相似
§ 4.1 成比例线段
一、教学目标：
认识形状相同的图形；
结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形；
了解线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法；
理解并掌握比例的基本性质，能通过比例形式变形解决一些实际问题。
教学难点、重点：掌握成比例线段的概念。
概念：
1、相似的图形
一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是相似图形。
成比例线段
对于四条线段a,b,c,d，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
3、比例的基本性质：如果，那么ad=bc；
如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么
教学过程
【学习引入】
观察图片，体会相似图形
1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念，什么是相似图形?
3 、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?
归纳总结：
知识点1、 相似的图形
一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是相似图形。
注意：形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因此可以看做的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。
知识点2、两条线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们的长度之比，即AB:CD=m:n,或写成，其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把表示成比值k，那么，或者AB=k·CD。
注意：1、求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一，当长度单位不统一时，要先化成同一单位长度；
2、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同的长度单位即可。
★知识点3、成比例线段
对于四条线段a,b,c,d，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
注意：1、如果，那么b叫做a和c的比例中项；
2、在比例式a:b=c:d中，d叫做a，b，c的第四比例项；
3、成比例线段是有顺序的，即a,b,c,d是成比例线段，则是a:b=c:d
知识点4、比例的性质
1、比例的基本性质：如果，那么ad=bc；
如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么
2、等比性质：如果，那么
3、合比性质：如果，那么
【例题解析】
例1、观察下列图形，指出 是相似图形.
例2、线段AB被点M分成,则 ,
例3、如果
例4、如图所示，,且AB=10cm，AD=2cm，BC=7.2cm，E是BC的中点，求EF,BF的长。
【综合练习】
1、（1）；（2）；（3）；（4）.
在上述各种符号中，形状相同的符号有几组？ （ ）
一组 B．二组 C．三组 D．四组
2、两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm，25cm，它们的周长差为63cm，则这两个三角形的周长分别是________．
3、ΔABC与△DEF中∠A=65°∠B=42°∠D=65°∠F=73°,AB=3,AC=5,BC=6,DE=6,DF=10,EF=12,则△DEF 与△ABC_____
4、下列所给的条件中，能确定相似的有（ ）
（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5、把mn=pq（mn≠0）写成比例式，写错的是（ ）
A． B． C． D．
6．在一张比例尺为1：15000的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为5cm，那么这块地区实际上和这一边相对应的长度应为（ ）
A．750cm B．75000cm C．3000cm D．300cm
7、下列说法中，正确的是（ ）
A．正方形与矩形的形状一定相同 B．两个直角三角形的形状一定相同
C．形状相同的两个图形的面积一定相等 D．两个等腰直角三角形的形状一定相同
8．经历平移、旋转、轴对称变化前后的两个图形 （ ）
A．形状大小都一样 B．形状一样，大小不一样
C．形状不一样，大小一样 D．形状大小都不一样
9．在平面坐标系中，一个图形各点的横坐标、纵坐标都加上或减去同一个非零数，得到一组新的对应用点，则连接所得到点的图形与原图形形状（ ）
A．不能够互相重合 B．形状相同，大小也一定相同
C．形状不一样 D．形状相同，大小不一定相同
10、如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的长度x。
【家庭作业】
1、下面各组中的两个图形， 是形状相同的图形， 是形状不同的图形.
2、 矩形ABCD中AB=CD=8,AD=BC=6,矩形EFGH中，EF=GH=3,EH=FG=4,这两个矩形_____
3、△ABC的三条边之比为2：5：6，与其相似的另一个△A′B′C′最大边长为18cm，则另两边长的和为_______．
4..已知线段2,8,3，x是成比例线段，则x=_______
5.已知（a-b）:(a+b)=3:19,则a:b=______
6．若∶3 =∶4 =∶5 , 且, 则；
7．已知∶∶= 3∶4∶5 , 且, 那么；
8．若, 则；
9．已知∶4 =∶5 = z∶6 , 则 ①∶∶z = , ② ∶；
10．若, 则；
11、若 ，则3x﹣2y=（ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
12、已知
求的值； （2）若a-2c+3e=5,求b-2d+3f的值。
13、已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
14．如图，在平面直角坐标系中，点Ａ(０,６),点Ｂ(８,０),动点Ｐ从点Ａ开始在线段ＡＯ上以每秒１个点位的速度向点Ｏ移动，同时点Ｑ从点Ｂ开始在线段ＢＡ上以每秒２个单位的速度向点Ａ移动，设点Ｐ,Ｑ移动时间为ｔ秒。（１）当ｔ为何值时，△ＡＰＱ与△ＡＯＢ相似？（２）当ｔ为何值时，△ＡＰＱ的面积为４．８个平方单位？
§ 4.2 平行线分线段成比例
一、教学目标：
探索理解平行线分线段成比例定理及其推论；会熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论计算线段的长度。
二、教学难点、重点：运用平行线分线段成比例定理及其推论计算线段的长度。
三、概念：
1、平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例。
2、平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
四、讲课过程：
【相关知识链接】
成比例线段：
若3x=5y，则x：y = ；若x：y =7:2，则x：（x+y）=
【学习引入】
一、如图,任意画两条直线l1 , l2,再画三条与l1 , l2 相交的平行线l3 , l4, l5.分别量度l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?
二、问题，AB︰AC=DE︰（ ），BC︰AC=（ ）︰DF
三、归纳总结：
知识点1、平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例。
知识点2、平行线分线段成比例定理的推论：
平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
【例题解析】
例1、如图所示，直线l1∥l2∥l3，AB=3，DE=2，EF=4，求BC的长。
例2、如图所示，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3:4，AE=6，则AC等于
例3、如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：
【经典练习】
1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ）
A、7B、7.5C、8D、8.5
2、如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A、 QUOTE B、 QUOTE C、 QUOTE D、 QUOTE
3、如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则CE的值为（ ）
A、9B、6C、3D、4
如图所示，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求线段BF的长。
5、如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（ ）
A、2：1B、1：C、3：2D、2：3
6、如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A、 QUOTE B、 QUOTE C、 QUOTE D、 QUOTE
7、如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（ ）
A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3 C、BC•DE=8D、BC•DE=6
8、如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则 QUOTE 的值是
9、如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC= _________ ．
10、如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
11、如图，梯形ABCD中，∥， QUOTE ，则 QUOTE = ．
如图所示：设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且 QUOTE =m， QUOTE =n，则= _________ ．
【家庭作业】
1、一个矩形剪去一个以宽为长的正方形后，所剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是_______
2、将一个矩形纸片ABCD沿AD与BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为__________
3、若＝＝＝－m2，则m＝______．
4、如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
求证：MN+PQ=2PN．
5、已知：平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；
6、△ABC的三边长分别是、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的第三边长为（ ）
A、 B、 C、2 D、
7、甲、乙两地相距3.5km，画在地图上的距离为7cm，则这张地图的比例尺为（ ）
A、2：1 B、1：50000 C、1：2 D、50000：1
8、下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a=，b=3，c=2，d= B.a=4，b=6，c=5，d=10
C.a=2，b=，c=2，d= D.a=2，b=3，c=4，d=1
9、.已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，错误的是( )
A.a∶d=c∶bB.a∶b=c∶d
C.d∶a=b∶cD.a∶c=d∶b
10、.若ac=bd，则下列各式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
11、正方形的对角线与边长的比为
12、若，则=
13、已知线段AB，延长AB到C，使BC=3AB，则BC/AC=
.若2x－5y=0，则y∶x=________，=________.
若，且AB=12，AC=3，AD=5，则AE=________.
§ 4.3 相似多边形
一、教学目标：
1、了解相似多边形和相似比的概念；
能根据条件判断出两个多边形是否为相似；
二、教学难点、重点：掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行简单的计算
三、概念：
1、各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
2、相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例；
3、相似多边形的判定:边数相等；对应角相等；对应边成比例。
四、讲课过程：
【相关知识链接】
相似图形： 相同，但是 不一定 的图形。
多边形：由若干条 的线段 组成的封闭平面图形。
【学习引入】
一、在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且． 我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC ∽ △A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′,
且．
二、问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
三、归纳总结：
知识点1、各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形，
相似多边形对应边的比叫做相似比。
知识点2、相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例；
相似多边形的判定:边数相等；对应角相等；对应边成比例。
判断两个多边形相似，这三个条件缺一不可。
【例题解析】
例1、下列判断中正确的是（ ）
两个矩形一定相似 B、两个平行四边形一定相似
C、两个正方形一定相似 D、两个菱形一定相似
例2、如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．

例3、某机械厂承接了一批焊制矩形钢板的任务，已知这种矩形钢板在图纸上（比例尺1:400）的长和宽分别为3cm和2cm，该厂所用原料是边长为4m的正方形钢板，那么焊制一块这样的矩形钢板要用几块边长为4m的正方形钢板才行？
例4、如图所示，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长和宽之比为（ ）
A、2:1 B、4:1
C、 D、1:2
【经典练习】
下列各组图形中，肯定相似的是（ ）
两个腰长不相等的等腰三角形
两个半径不相等的圆
两个面积不相等的平行四边形
两个面积不相等的菱形
2、两个相似多边形边长的比为：3，它们的周长差为4cm,则较大多边形的周长是 （ ）
A . 8cm B. 12cm C. 20cm D. 24cm
3、已知平行四边形与平行四边形相似,对应边,若平行四边形的面积为18，则平行四边形的面积为 （ ）
A. B. C . D.
4、如图，正五边形与正五边形是相似形，若,则下列结论正确的是 （ ）
F
GB
H
M
N
D
A
B
C
E
B. C. D.
A
B
C
D
E
F
5、如图，在梯形,∥∥,将梯形分成两个相似梯形和梯形,若求的值。
6、一个五边形的各边长为另一个与它形似的五边形的最长边的长为12，则最短边的长为 （ ）
A. 4 B.5 C.6 D.8
7、在梯形ABCD中，AD平行于BC，AC、BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9
则S△DOC：S△BOC=______
8、在比例尺为的地图上，A,B两城的距离为7.2，则A,B两城的实际距离是
km
9、四边形ABCD∽四边形， 与是对应对角线，若则= , =
10、在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4，EF∥AD，若□ABCD∽□ EFDA,求AE的长。
【家庭作业】
1、下列图形中相似的多边形是（ ）
A、所有的矩形 B、所有的菱形
C、所有的等腰梯形 D、所有的正方形
2、下列图形中相似的多边形是（ ）
A、所有的矩形 B、所有的菱形
C、所有的等腰梯形 D、所有的正方形
3、如图所示，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=
4、.△ABC∽△A′B′C′，相似比是2∶3，那么△A′B′C′与△ABC面积的比是 ( )
A.4∶9B.9∶4
C.2∶3D.3∶2
5、将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的 ( )
A.9倍B.3倍
C.81倍D.18倍
6、在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，且AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )
A. =
B. =
C. =
D. =
7、如图1，ABCD中，AE∶ED=1∶2，S△AEF=6 cm2，则S△CBF等于( )
图1
A.12 cm2B.24 cm2
C.54 cm2D.15 cm2
8、下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
9、.△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶4，△ABC的周长是27 cm，则△A′B′C′的周长为________.
10、两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为________.
11、.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm和8 cm，它们的周长之和为35 cm，则较小的三角形的周长为________
12..在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形BCFE，那么AD∶AB=________，相似比是________，面积比是________.
13、.已知，如图2，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.
14.在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点A、B之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和A、B两地之间的实际距离.
15.如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，若S△DCE∶S△DCB=1∶3，
求S△DCE∶S△ABD.
图3
16.已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长.
§ 4.4 探索三角形相似的条件
一、教学目标：
1、理解相似三角形的定义；
熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定方法判断两个三角形是否相似；
二、教学难点、重点：能运用三角形相似的判定方法进行有关的计算和证明；
概念：
1、、相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定方法1：两角分别相等的两个三角形相似。
相似三角形的判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
相似三角形的判定方法3：三边成比例的两个三角形相似。
相似三角形的性质：
(1）对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：△ABC∽，它们的相似比为k，则；如果写成∽△ABC，它们的相似比为,则,因此
（3）传递性：若△ABC∽，∽，则△ABC∽。
四、讲课过程：
【相关知识链接】
全等三角形的判定条件： 、 、 、 、 。
相似多边形：各角 、各边 的两个多边形叫做相似多边形。
线段的比：如果选用 量的两条线段AB,CD的长度分别的m,n，那么就说两条线段AB:CD=m:n
【学习过程】
一、讨论：什么是相似三角形？
知识点1、相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
如图所示：△ABC与相似，记做△ABC∽，其中,k为相似比。
注意：（1）对应性：两个三角形相似时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：△ABC∽，它们的相似比为k，则；如果写成∽△ABC，它们的相似比为,则,因此
（3）传递性：若△ABC∽，∽，则△ABC∽。
二、探索：如何判断两个三角形相似？
★知识点2、相似三角形的判定方法1：两角分别相等的两个三角形相似。
即：已知△ABC和，若∠A=∠A’，∠B=∠B’，则△ABC∽。
注意：（1）在两个三角形中，只需找到有两组角分别相等，就可以判定两个三角形相似；
（2）这种方法说明我们不用边就可以判定两个三角形相似。
★★相似三角形常见构图方式：
（1）平行线型：若DE∥BC，
则
相交线型：若∠AED=∠B，则
（3）“子母”型：若∠ACD=∠B，则
知识点3、相似三角形的判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
即：已知△ABC和，若,∠A=∠A’，则△ABC∽。
注意：通过此法判定三角形相似类似于判定三角形全等中的“SAS”。
知识点4、相似三角形的判定方法3：三边成比例的两个三角形相似。
即：已知△ABC和，若，则△ABC∽。
知识点5、黄金分割：
如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若,那么就称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
记忆口诀：大：全=小：大
注意：（1）由黄金分割的意义可知：;
（2）黄金比
（3）线段AB有两个黄金分割点，其中一个点D靠近A点，有；另一点靠近点B，有,并且AD=BC,AC=BD.
【例题解析】
例1、依据下列条件判断三角形是否相似，若相似请给出证明，若不相似请说明理由：
△ABC和中，∠A’=40°，AB=8，AC=15，∠A=40°，A’B’=16，A’C’=30，则△ABC和是否相似？
△ABC和中，∠B=50°，AB=4，AC=3.2，∠B’=50°，A’B’=2，A’C’=1.6，则△ABC和是否相似？
如图所示，已知AC和BD相交于点E，CE·AE=BE·DE,则△ABE与△DCE是否相似？
如图所示，D是△ABC的边BC上的一点，AB=2，BD=1，DC=3，△ABD与△CBA是否相似？
例2、已知在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP=3PC，Q是CD的中点，
求证：△ADQ∽△QCP
例3、已知DE∥BC，DF∥AC，AD=4，BD=8，DE=5，求线段BF的长。
【经典练习】
1．如图1，（1）若=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．
（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．
（3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．
2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．

(1) (2) (3)
3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=∠BAO，则点C的坐标为________，AC=_______．
4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．
5．下列各组图形一定相似的是（ ）．
A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（ ）．
A．45° B．60° C．75° D．90°

(4) (5) (6)
7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．
8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．
10．如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）和点D，使△AOB与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E．
（1）求证：△CDE∽△FAE．（2）当E是AD的中点且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF．
12．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
13．在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求的值．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是（ ）．
A．△DBE B．△ADE C．△ABD D．△BDC
15、如第14题图，已知等腰三角形ABC中，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC，则 的值为（ ）．
A． B．
16．如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形并证明．
家庭作业
1.已知线段AB=24cm,点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC=_________
2.点C,D是AB的两个黄金分割点，若CD=5，则AB=______
3、若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2，则AC=（ ）
A、 B、 C、 D、或
4．在 ABC中，D为 AB 的中点，AB = 4 ，AC = 7 ，若 AC 上有一点E，且 ΔADE 与原三角形相似，则 AE = ；
5.△ABC和△DEF相似，∠A=60°，∠B=40°，∠D=80°，那么∠E的度数为______
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．
7.如图，在△ABC与△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=5cm,AB=4cm.如果图中的两个直角三角形能够相似，则AD=________
（第6题） （第7题） （第8题）
8.如图，在△ABC的边AB,AC,BC上分别取点E,D,F使四边形BEDF是一个菱形，若AB=15，BC=12，那么菱形的边长是________
9.已知两个相似三角形的相似比是3:4，其中一个三角形的最短边长是4cm,那么另一个三角形的最短边长为________
10.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC
边上的点，若，，，则GF的长为 ．
10题
A
D
C
B
F
G
E
10题
A
D
C
B
F
G
E
（12题） （11题） （12题）
11.如图，AB∥CD,AD与BC交于点P,AB=4，CD=7，AD=10，则AP=_____
12如图4，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=
13．如图，△ＡＢＣ是边长为３的正三角形，点Ｐ是ＢＣ上一点，点Ｑ是ＡＣ上一点，,ＣＱ=１，则ＢＰ=_________
14.已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )
A.AM∶BM=AB∶AM B.AM=AB
C.BM=AB D.AM≈0.618AB
15、电视节目主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处较恰当。若他向B点再走 m，也处在比较得体的位置。（结果精确到0.1m，≈2.24）
16、若点C是线段AB的黄金分割点且AC>BC，则=_______．
17、如图5，△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC=
18、如图6，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上一点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯长为 m

如图5 如图6 如图8
19、两个等腰三角形的顶角相等，其中一个三角形的两边分别是3、6，另一个三角形的一边为12，则这个三角形的另两边长为
20、如图8，已知D、E两点分别在△ABC的两边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，则= ，=
21、把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则这个矩形的长边与短边之比为
§ 4.5 相似三角形判定定理的证明
一、教学目标：
二、教学难点、重点：
三、概念：
四、讲课过程：
例1、△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E。
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6，AD=2CD,求BE的长。
例2、已知在△ABC中，点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且AD：DB=3:5，那么CF：CB等于 。
例3、△ABC为等边三角形，D,E分别是AC,BC上的点（不与顶点重合），∠BDE=60°.(1)求证：△DEC∽△BDA；
(2)若等边三角形的边长为4，并设DC=x，BE=y，试求y与x之间的函数关系式。
例4、在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，那么经过几秒△PQC与△ABC相似？
§ 4.6 利用相似三角形测高
一、教学目标：掌握几种测量旗杆高度的方法与原理，解决一些相关的生活实际问题。
二、教学难点、重点：通过设计测量旗杆高度的方案，学会将实物图形抽象成几何图形的方法，体会将实际问题转化成数学模型的转化思想。
三、概念：
四、讲课过程：
【相关知识链接】
相似三角形的定义：三角 相等，三边 的两个三角形叫做相似三角形。
三角形相似的判定： 。
。
。
【学习引入】
一、探索：
问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？
问题2：世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
二、学生讨论
三、总结归纳：
知识点1、利用阳光下的影子测量旗杆的高度：
让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。
原理：∵太阳是平行光线
∴AB∥CD，∠B=∠DCE
∵∠ACB=∠DEC=90°
∴△ACB∽△DEC
∴
结论：同一时刻，
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．
分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．
解：
知识点2、利用标杆测量旗杆的高度
工具：皮尺、标杆
步骤：（1）测量出标杆CD的长度，测出观测者眼部以下高度EF；
（2）让标杆竖直立于地面，调整观测者EF的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、观测者的眼睛三者在同一条直线上，测出观测者距标杆底端的距离FD和距旗杆底部的距离FB；
（3）根据,求得AH的长，再加上EF的长即为旗杆AB的高度。
依据：如图，过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G
∵CD∥AB ∴∠ECG=∠EAH
∵∠CEG=∠AEH ∴△ECG∽△EAH
∴
∵EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF,
且FD，FB,CD,EF可测
∴可求AH的长度
∴AB=AH+HB=AH+EF
知识点2、利用镜子的反射杆测量旗杆的高度
工具：皮尺、镜子
步骤：（1）在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记；
（2）测出观测者眼睛到地面的距离；
（3）观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上标记O到人脚底D的距离OD及镜子上的标记O到旗杆底部的距离OB；
（4）把测得的数据代入,即可求得旗杆的高度AB。
依据：在△COD与△AOB中
∵∠COD=∠AOB，∠CDO=∠ABO=90°
∴△COD∽△AOB ∴
∵CD,OD,OB皆可测得 ∴ AB可求。
【例题解析】
A
B
例1、如图所示，从点A（0,2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4,3），则这束光从点A到点B所经过路径的长为 。
例2、王华在晚上由路灯A下的B处走到C处，测得影子CD的长为1m，继续往前走3m到达E处时，测得影子EF的长为2m，已知王华的身高是1.5m，那么路灯A的高度AB等于 。
【经典练习】
1、在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是( )
A.成反比例 B.成正比例 C.相等 D.不成比例
2、如图,DE⊥EB,AB⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12 m,EC=15 m,BC=30 m,则AB=____m.
3、如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是 S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是
(A) S1 > S2 (B) S1 = S2
(C) S1某一时刻,测得旗杆的影长为8 m,李明测得小芳的影长为1 m,已知小芳的身高为1.5 m,则旗杆的高度是_______________m.
5、如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．

第2题 第3题 第5题
6、如图所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10 cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压( )
A.100 cm B.60 cm C.50 cm D.10 cm
7、如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离_______.
8、如图,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.
9、如图,射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A,准星尖B和瞄准点C在一条直线上,这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5 cm,如果射击距离AC=100 m,当准星尖在缺口内偏差BB′为1 mm时,弹着偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)

10、如图,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm,求梯子的长.

11、一位同学想利用树影测量树高AB,他在某一时刻测得小树高为1米,树影长0.9米,但当他马上测量树影时,因树靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在墙上,如图,他先测得地面部分的影子长2.7米,又测得墙上的影高CD为1.2米,试问树有多高?

12、如图，零件的外径为16cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量，若测得OA:OD=OB:OC=3:1，CD＝5cm，你能求零件的壁厚x吗？
【家庭作业】
1.某中学修整校园，要修建一个矩形草坪，长20m,宽10m,沿草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你认为建筑工人能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，试说明理由。
2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，且EF∥BC，EF分别交BD、AC于M、N。（1）求证：ME=NF；（2）当EF向上平移至②③④各个位置时，其他条件不变，（1）的结论是否还成立？请分别证明你的判断。
M
M
N
E
M
B
C
F
D
A
N
E
B
C
F
D
A
N
E
B
C
F
D
A
（N）
M
E
B
C
F
D
A
3.甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高
为 米．
4、.在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m，同时高为1.5 m的测杆的影长为2.5 m，那么古塔的高是多少?
已知，求.
6、学校的围墙外的服装厂有一旗杆AB，甲在操场上直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶部B重合，量的CE=3m，乙的眼睛到地面距离为1.5m，丙在C1处直立3m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量的C1E1=4m，求旗杆AB的高度。
7、如图,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度.
§ 4.7 相似三角形的性质
一、教学目标：类比相似三角形的周长比与面积比，猜想相似多边形的周长比与面积比，体验类比思想。
二、教学难点、重点：理解并熟练应用相似三角形的性质；
三、概念：
四、讲课过程：
【相关知识链接】
相似三角形的定义：三角 相等，三边 的两个三角形叫做相似三角形。
全等三角形的性质：全等三角形的对应角 、对应边 、对应角的平分线 、对应边上的中线 、对应边上的高 。
【学习过程】
★知识点1、相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形的对应高之比、对应角平分线之比、对应中线之比都等于相似比；
相似三角形的周长比等于相似比；
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
注意：1、相似三角形的面积比等于相似比的平方，在计算时平方切记不可忘；
2、性质中的高、中线、角平分线必须是对应边上的，要一一对应；
3、面积比是相似比的平方切记不可与等底或等高的两个三角形面积比等于高或底之比想混淆。
知识点2、相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例；
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；
相似多边形对应对角线的比等于相似比；
相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
【例题解析】
例1、在△ABC中，已知DE∥BC，AE=3EC，S△ABC=48，求△ADE及四边形BCED的面积。
例2、已知甲、乙两个多边形相似，其相似比为2:5；若多边形甲的周长为24，则多边形乙的周长为 ；若两个多边形的面积之和为174，则多边形甲的面积为 。
例3、路边有两根电线杆相距4m，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高度。
【经典练习】
1、如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．
3、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．
4、两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．
5、如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．
在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠B的平分线交 AC于D， △BCD∽△____，且BC=_____。 7、△ABC∽△A1B1C1，，AB=4，A1B1=12，则它们对应边上的高的比是 ，若BC边上的中线为1.5，则B1C1上的中线A1D1=_______ 。
如果两个相似三角形的周长为6cm和15cm，那么两个相似三角形的相似比为_______
在△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，若另一个与它相似的三角形的最短边长为15cm，则其周长为_____
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若BD=9，DC=12，则AD=_____，BC=_____
△ABC∽△A1B1C1，且△ABC的周长与△A1B1C1的周长之比为11：13，又A1B1－AB=1cm，则AB=_____cm，A1B1=_______cm。
在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD分成的两部分面积的比是1：2， EF是中位线，则被EF分成的两部分面积的比S四边形AEFD：S四边形BCEF=_______ 。
13、如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M,此时有AM/AD=HG/BC
(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=X,确定y与X的函数关系式
(2)当X为何值时,矩形EFGH的面积S最大?
A
G
H
C
B
D
E
M
F
【家庭作业】
1.在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15 cm，AC=10 cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD－DC=2 cm，求BC.
2、正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，，CF=FD，连接AE、EF、AF，你能找出图中所有的相似三角形吗？试说明理由。（10分）

3、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由。（10分）

4、如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比不为1），且点D、E、F都在单位正方形的顶点上。（10分）

5、如图，平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，连接AE并延长交BC的延长线于F，在这个图形中，有哪几对相似三角形？你是怎么判断的？若，AD的长为6，求BF的长及的值。（10分）

6．如图,BD,CE是△ABC的高,则图中有和△ABD相似的三角形吗?分别是什么?你能说明
吗?
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的一点，AE的延长线交BC于F，求证：
8. 在△OAB中，O为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B的坐标分别为(8，6)，(16，0)，点P沿OA边从点O开始向终点A运动，速度每秒1个单位，点Q沿BO边从B点开始向终点O运动，速度每秒2个单位，如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
求(1)几秒时PQ∥AB
(2)设△OPQ的面积为y，求y与t的函数关系式
(3)△OPQ与△OAB能否相似，若能，求出点P的坐标，
若不能，试说明理由
9、如图, △ABC中,AB=6,BC=4,AC=3,点P在BC上运动,过P点作∠DPB=∠A,PD交AB于D,设PB=x,AD=y. (1)求y关于x的函数关系式和x的取值范围.
(2)当x取何值时,y最小,最小值是多少?
P
A
B
C
D
10.已知：如图，△ABC中，DE∥BC，
（1）若，① 求的值； ② 求的值；
③ 若，求△ADE的面积；
（2）若，，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积；
（3）若， ，过点E作EF∥AB交BC于F，求□BFED的面积．
11、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下两底分虽为10m，20m的梯形空地上种植花木，如图所示，AD∥BC，AC与BD相交于M．
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）在（1）的条件下，若其余地带有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择种，单价分别为12元/m2和10元/m2，问应选择种哪种花可以刚好用完所筹集的资金？
12、如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其中两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，在△BHE、△GFC上都种花，在矩形EFGH上兴建喷泉．当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
§ 4.8 图形的位似
一、教学目标：熟记位似图形的概念及性质；知道利用位似的性质可以将一个图形放大或缩小；
二、教学难点、重点：会画一个简单图形的位似图形，掌握位似图形坐标的变化规律。
三、概念：
四、讲课过程：
【相关知识链接】
相似多边形： 、 的两个多边形叫做相似多边形；
相似多边形的性质： 。
【学习过程】
一、观察下列几幅图片：

二、问题：上图几幅图形有什么特征？
学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.) 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
三、归纳总结：
知识点1、位似多边形的概念：
如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P’所在的直线都经过同一点O，且有OP’=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是相似比。例如下图：
★知识点2、位似多边形的性质：
位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上；
位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上；
位似多边形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。
注意：对某一图形进行放大（或缩小），使得放大（或缩小）前后的两个图形是位似图形。
知识点3、位似多边形的画法：
步骤：（1）确定位似中心；
（2）确定原图形的关键点。通常是多边形的顶点；
（3）确定相似比；
（4）找出新图形的对应关键点；
（5）顺次连接各点，得到放大或缩小的图形。
★知识点4、平面直角坐标系中的位似变换：
1、位似多边形对应点的坐标变化规律
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘以同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是。
注意：（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形的变化规律；
（2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为-k；
（3）当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1时，图形缩小为原来的k。
2、位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系与区别
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换，而位似变换是相似（扩大、缩小或不变）变换。
3、平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律
（1）平移变换：对应点的横、纵坐标加上或减去平移的单位长度；
（2）轴对称变换：以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
（3）旋转变换：一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横、纵坐标都互为相反数；
（4）位似变换：当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横、纵坐标之比的绝对值等于相似比。
【例题解析】
例1、△ABC与关于点O位似，BO=3，
若AC=5，求的长；
若△ABC的面积为7，求面积。
例2、把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．

分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；
（3）分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的
四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
例3、画图，将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形．
（1）沿y轴正向平移2个单位；
（2）关于y轴对称；
（3）以B点为位似中心，放大到2倍．
【经典练习】
1．用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ）
A．只能选在原图形的外部； B．只能选在原图形的内部；
C．只能选在原图形的边上； D．可以选择任意位置。
2．已知：E（－4，2），F（－1，－1），以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EOF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．（2，－1）或（－2，1） B．（8，－4）或（－8，4）
C．（2，－1） D．（8，－4）
3．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A．1︰2 B．1︰4 C．1︰5 D．1︰6
4．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD＝OD′，则A′B′:AB为（ ）
A
B
C
E
D
O
B/
A/
C/
D/
E/
A.2:3 B.3:2 C.1:2 D.2:1
（第3题图） （第4题图）
5．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．P B．O C．M D．N
6. 如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE 对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A. ，2 B. ， C. ，2 D. ，3
7. 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)。以点C为位似中心，在x轴的下方作
△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C。设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
O
P
M
N
8．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 。（只填序号）
= 1 \* GB3 ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
= 2 \* GB3 ②位似图形一定有位似中心；
= 3 \* GB3 ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
= 4 \* GB3 ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比。
9．已知△ABC与△DEF是以原点为位似中心的位似图形，位似比为，则A（－1，1）的对应点D的坐标为 。
10．△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变
换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为： 。
11．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x，y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则P′的坐标是 。
12．如图，△AOB以O位似中心，扩大到△COD，各点坐标分别为：A（1，2）、B（3，0）、D（4，0）则点C坐标为 。
13． 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。若与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 。
14．已知五边形ABCDE和点O，请你以O为位似中心画五边形ABCDE的位的图形A′B′C′D′E′，使得相似比＝，即
y
B
C
A
O
x
15．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A (2，7)，B (6，8)，C (8，2)，请你分别完成下面的作图并标出所有顶
点的坐标。(不要求写出作法)
（1）以O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为1∶2；
（2）以O为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2。
家庭作业
1.如图（1）火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm,OB=15 cm，则火焰的长度为________.

（1） （2）
2. 如图（2），五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为. 若五边形ABCDE的面积为17 cm2， 周长为20 cm，那么
五边形A′B′C′D′E′的面积为________，周长为________.
3.已知，如图2，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.
图2
4.下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
小明在一块玻璃上画上了一幅画，然后用手电筒照着这块玻璃，将画映到雪白的墙上，这时我们认为玻璃上的画和墙上的画是位似图形.请你再举出一些生活中的位似图形来？并说明一对对应线段的位置关系.
6.将有一个锐角为30°的直角三角形放大，使放大后的三角形的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.
7.一三角形三顶点的坐标分别是A（0，0），B（2，2），C（3，1），试将△ABC放大，使放大后的△DEF与△ABC对应边的比为2∶1.并求出放大后的三角形各顶点坐标.
8、经过不同位似中心将同一图形进行放大和缩小，试问放大后的图形和缩小后的图形能否也是位似图形？谈谈你的看法.
9．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，
图中的△ABC就是格点三角形.在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为。
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；
(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为2：1，画出△AB3C3 。
10、如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、。
（1）若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；
（2）画出绕原点旋转后得到的；
（3）与是位似图形，请写出位似中心的坐标： ；
（4）顺次连结、、、，所得到的图形是轴对称图形吗？
第五章 投影与视图
§ 5.1 投影
一、教学目标:通过实例了解中心投影与平行投影的含义及其简单的应用。通过实例了解视点、盲区的含义及其在生活中的应用。
二、教学重难点:理解中心投影，平行投影和正投影的概念，并对中心投影，平行投影与正投影进行准确区分。
三、概念:
1.投影：从初中数学的角度来说，一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
2.平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影。
3.中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影。
4.正投影：投影线垂直于投影面产生的投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。
5.斜投影：投影线不平行于投影面产生的投影。
6.投影规则：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等
7.视点：眼睛的位置称为视点。
8.视线：由视点出发的线称为视线。
9.盲区：视线看不到的地方称为盲区。
四、教学过程
一.例题:
例1. 某校墙边有甲、乙两根木杆。
（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图（1）所示，你能画出此时乙木杆的影子吗？
（2）当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
（3）在你所画的图形中有相似的三角形吗？为什么？
解答：（1）如图（2），作直线，过E作的平行线，交所在直线于，则就是乙木杆的影子；
（2）平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形（即△BE），直到其影子的顶端抵达墙角为止；
（3）△与△相似。
例2. （山西省中考题）如图，小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_____________米（结果保留两位有效数字，）。
解答：延长BC、AD，二线交于点E，过点D作DF⊥BE于点F，则BE为旗杆AB的影子。
∵∠DCF=30°，CD=4m
∴DF=，∴
∵∠ABC=∠DFE=90°，∠E=∠E，
∴△ABE∽△DFE，∴
∵在同一时刻两物体的物高与影长成比例，∴
设AB=x米，则BE=2x米
∴
∴（米）
答：电线杆的高度约为8.7米。
例3. 如图所示，路灯下某公路护栏AB的影子为，某果树CD的影子为，请画出电线杆EF的影子。
解答：如图所示，作直线，交于点O，连结OF并延长交AE于，即为EF的影子。
例4. 同一时刻，一棵树和一竿旗的影子如图所示，这是白天还是夜晚，请画出小明此刻的影子。
解：是夜晚，分别过小树及其影子顶端，旗杆及其影子顶端作直线交点为O，过O点及小明头部顶点作直线，此直线与地面交于点B，设小明立足点为A，则AB是小明的影子。
例5. 与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树。晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光形成的，如下图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗？
解：过盆花及其影子顶端作直线，作反射面法线，作∠2=∠1，得光线l1，过树及其影子顶端作直线l2，两线交点O，则O处为灯光位置。
例6. 小明、小刚在同一座楼的四层、六层。他们楼前有一商店，他们的同学小江在下面喊，小明说，小江在哪儿呢？小刚说我看到小江啦！请问此时小江在什么位置？
解：将六楼处设为点A，四楼处设为点，商店顶部一点设为点B，过A、B，、B分别作直线交地面于C、D两点，如图所示。小江在CD区域内。
巩固练习:
1．平行投影中的光线是( )
A．平行的B．聚成一点的C．不平行的D．向四面八方发散
2．正方形在太阳光下的投影不可能是( )
A．正方形B．一条线段C．矩形D．三角形
3．如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是( )
第4题图
楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯炮的位置，再作出小树在路灯下的影子．(不写作法，保留作图痕迹)
5. 小明拿了一张正方形卡片，使卡片面与墙面平行，这时发现墙面上形成了卡片的影子，则下列关于其影子的叙述正确的是（ ）
A. 墙上形成的影子的形状和大小一定与卡片相同
B. 墙上形成的影子有可能比卡片小
C. 墙上形成的影子比卡片大或小都有可能
D. 墙上形成的影子有可能比卡片大
A
B
C
D
6.（2011山东烟台）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（ ）
作业:

一、选择题
1. 物体在太阳光的照射下，不同的时刻会发生的现象是（ ）
A. 影子的大小不变，方向在变
B. 影子的大小在变，方向不变
C. 影子的大小、方向都在变
D. 影子的大小、方向都不变
2. 强强和亮亮在路灯下走，本来很高的强强的影长却比矮的亮亮的影子短，因为（ ）
A. 强强离路灯近B. 亮亮离路灯近
C. 强强和亮亮分别在路灯的两旁D. 路灯比强强高
3. 货车司机的驾驶室一般都设计得较高，而且尽量靠前，这是为了（ ）
A. 接触到更好的阳光B. 看得更远
C. 减小因车头挡住视线产生的盲区D. 空气更新鲜
4. 下列投影中，不属于中心投影的是（ ）
A. 晚上路灯下小孩的影子
B. 汽车灯光照射下行人的影子
C. 阳光下沙滩上人的影子
D. 舞台上一束灯光下演员的影子

二、填空题
1. 明明和亮亮为了踢好足球，练习追逐跑，于是他们两人决定玩踩影子的游戏，即踩到对方影子为获胜，你认为在阳光下练习还是在路灯下练习更有意义？_____________。
2. 现有甲、乙两个长方体盒子，甲的规格为：15cm×40cm×60cm，乙的规格为：20cm×30cm×30cm。
（1）乙盒子____________（填“能”或“不能”）放在甲盒子中；
（2）在阳光下乙盒子的影子____________（填“能”或“不能”）藏在甲盒子的影子中。
3. 明明和爸爸玩将手影投在墙上的游戏，爸爸的手大，手影做出了一只大狗，明明的手小，但手影却做出了一只更大的狗，明明的手比爸爸手_____________（填“靠近”或“远离”）墙。
4. 阳光下，在同一时刻，物体越高，它的影子越_____________。在灯光下，物体的影长不仅与物体的_____________有关，还与物体到光源的_____________有关。
三、解答题
1. 如图，某汽车司机在平坦的公路上行驶，前面出现两个建筑物，在A处司机能看到甲建筑物的一部分（把汽车看成一个点），这时视线与公路夹角α=30°，乙建筑物的高度为15米，若汽车刚好看不到甲建筑物时，司机的视线与公路的夹角为45°，请问他行驶了多少千米？
2. 如图所示，分别是两根木杆及其影子的情形。
（1）哪个图形反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
（2）请你画出图中表示小树影长的线段。
3. 某个有阳光的上午，战士们队列整齐地在操场上做操，战士甲和战士乙在同一列，战士甲恰好能踩到战士乙的影子，但战士甲的影子却不能被他后面的战士踩到，你知道战士甲和战士乙谁高吗？为什么？
4. 如图，某小区宿舍楼甲楼坐落在正南正北方向，楼高16m，现在要在甲楼后面盖一座乙楼，冬天太阳最低时的正午时刻，若两楼相距20m，则甲楼的影子将落在乙楼上6m，若使甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光，那么两楼的距离应是多少米？
§ 5.2 视图
一、教学目标:
1.会从投影的角度理解视图的概念
2.会画简单几何体的三视图
3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系
4.明确正投影与三视图的关系
5.经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图
二、教学重难点:
从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图，能够做出简单立体图形的三视图的画法。对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图，三视图中三个位置关系的理解。
三、概念:
1、视图：将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。
2、一个物体有六个视图：
从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状。
从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状。
从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状。
还有其它三个视图不是很常用。
3.三视图：三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。
4.三视图的规则:主视图和俯视图的长要相等，主视图和左视图的高要相等，左视图和俯视图的宽要相等。
四、教学过程:
一.例题:
例1. 如图，画出正三棱柱在这两种位置时的视图。
解：图中正三棱柱在位置（一）时的三视图如下图所示。
图中正三棱柱在位置（二）时的三视图如下图所示：
例2. 如图所示，画出下列物体的三视图。
答：两个物体的三视图如图（a）（b）
例3. 图1是底面为等腰直角三角形的三棱柱俯视图，画出它们主视图和左视图。
解：如图2。
二.巩固练习:
1.填空题
（1）俯视图为圆的几何体是_______，______。
（2）画视图时，看得见的轮廓线通常画成_______， 看不见的部分通常画成_______。
（3）举两个左视图是三角形的物体例子：________，_______。
（4）如图所示是一个立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称_______。
（5）请将六棱柱的三视图名称填在相应的横线上，左视图___，主视图___，俯视图___。
（6）一张桌子摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如下图所示，则这张桌子上共有________个碟子。
（7） 三种视图都相同的几何体有_____________。
（8）根据下列物体的三视图，如图，可知几何体是_____________。

第2题图
2．由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是( ) A．8B．7 C．6 D．5
3．如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是( )
A．a＞cB．b＞c C．4a2＋b2＝c D．a2＋b2＝c2

第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积超过7，则正方体的个数至少是( )
A．2B．3 C．4 D．5
5．如果某物体的三视图如图所示，那么该物体的形状是______．
6．一空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是______cm2．
7. 如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8. 一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最
少有 个.
主视图 左视图
A6个 B5个 C3个 D4个

A
B
D
C
9. 在下列几何体中,主视图、左视图与俯视图都是相同的圆,该几何体是（ ）

10. 下面四个几何体中，俯视图为四边形的是
A B C D
11. 如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是 （ ）


作业:
选择题
1. 如图（1）所示，所对应的物体还是图（2）所示中的（ ）
图（1）
图（2）
2. 如图（3）所示的空心几何体的俯视图是图（4）中的（ ）
图（3）
图（4）

3一个圆柱的俯视图是______，左视图是______．
4．如图，水平放置的长方体的底面是边长为2和4的矩形，它的左视图的面积为6，则长方体的体积等于______．
第4题图
主视图
左视图
俯视图
5. （2011湖北襄阳）有一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方块有
A.3块B.4块C.6块D.9块
6.如图，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图， 则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
7.如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（ ）

8. （2011山东泰安）下列几何体：
三棱柱 圆锥 圆柱 长方体
其中，左视图是平等四边形的有（ ）
A.4个 B.3个 C. 2个 D.1个`
9．如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视图和左视图， 则组成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ）
A．3个 B．4个 C． 5个 D．6个
10．画出图中的九块小立方块搭成几何体的主视图、左视图和俯视图．

11．如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图．
12．如图是一个几何体的主视图和俯视图，求该几何体的体积(取3.14)．
第六章：反比例函数
§6.1 反比例函数
一、教学目标：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
二、教学重难点:反比例函数的概念，学生理解时有一定的难度。
三、概念:
反比例函数:一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成ky＝ (k为常数，k≠0) x的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是因变量，y是x的函数，k－是比例系数. （有的书上写成y＝kx1的形式.）
反比例函数的自变量x的取值范围是所有非零实数（不等于0的一切实数），但在实际问题中，还要根据具体情况来进一步确定该反比例函数的自变量的取值范围。
四、教学程序：
一、导入：
1、从现实情况和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加强对函数概念的理解，导入反比例函数。
2、U=IR，当U=220V时，
（1）你能用含R的代数式表示I吗？
（2）利用写出的关系式完成下表：
当R越来越大时，I怎样变化？
当R越来越小呢？
（3）变量I是R的函数吗？为什么？
答：① I = EQ \F(U,R)
② 当R越来越大时，I越来越小，当R越来越小时，I越来越大。
③变量I是R的函数。当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数。
二、新授：
1、反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x, y之间的关系可以表示成 y= EQ \F(k,x) (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的自变量x 不能为零。
2、做一做
一个矩形的面积为20cm2，相邻两条边长分别为xcm和ycm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？
解：y= EQ \F(20,x) ，是反比例函数。
三、课堂练习：
1、判断下列说法是否正确(对”√”,错”×”)
(1)一矩形的面积为20cm2,相邻的两条边长分别为x(cm)和y(cm)，变量y是变量x的反比例函数.
(2)圆的面积公式sr2中，s与r成正比例.
(3)矩形的长为a，宽为b，周长为C，当C为常量时，a是b的反比例函数.
(4)一个正四棱柱的底面正方形的边长为x，高为y，当其体积V为常量时，y是x的反比例函数.
(5)当被除数（不为零）一定时，商和除数成反比例.
(6)计划修建铁路1200km,则铺轨天数y(d)是每日铺轨量x(km/d)的反比例函数.
2.说一说你的做法
(1)已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式.
(2)已知变量y-1与x成反比例，且当x=2时 y=9,写出y与x之间的函数解析式.
3.写出变量的反比例函数关系式
（1）当路程 s 一定时，时间 t 与速度 v 的函数关系。
（2）当矩形面积 S一定时，长 a 与宽 b 的函数关系。
（3）当三角形面积 S 一定时，三角形的底边 y 与高 x的函数关系。
（4）当电压U不变时，通过的电流I与线路中的电阻R的函数关系。
4.如果x、y之间的关系是，那么y是x的 （ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数D．二次函数
5.有m台完全相同的机器一起工作，需m小时完成一项工作，当由x台机器（x为不大于m的正整数）完成同一项工作时，所需的时间y与机器台数x的函数关系式是____.
6．已知y与x成反比例，且当x时，y=5，则y与x的函数关系式为__________.
7．某食堂现有煤炭500吨，这些煤炭能烧的天数y与平均每天烧煤的吨数x之间的函数
关系式是 .
8、如果函数是反比例函数，那么____________.
9、已知与成反比例，且当时，，则与的函数关系是_________，
当时，_____________。
10、从A市向B市打长途电话，按时收费，3分钟收费2.4元，每加1分钟加收1元，按时间（时）分时电话费（元）与之间的函数关系式为_________________.
四、作业：
1.已知y与z成正比例,z与x成反比例,当x=-4时,z=3,y=-4.求:
(1)Y关于x的函数解析式;
(2)当z=-1时,x,y的值.
已知yy1y2，y1与x成正例，y2与x成反比例，并且x2与x3时，y的 值都等于10，求y与x之间的函数关系。
3.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时，p=1．98kg／m3
（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。
4. 求题中所需求的反比例函数式
（1）y是关于x的反比例函数，当x=-3时，y=0.6；求函数解析式和自变量x的取值范围。
（2）如果一个反比例函数的图象经过点（-2，5），（-5，n）求这个函数的解析式和n的值。
（3）y与x+1成反比例，当x＝2时，y＝－1，求函数解析式和自变量x的取值范围。
（4）已知y与x-2成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x＝1.5时y的值．
苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数关系式为？
6.若函数y(3m)x8m是反比例函数，则m的取值是3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为？
7．已知y与x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y与x之间的函数关系式是____， 当x＝－3时，y＝___
8.已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝9，求当x＝－1时，y的值？
9.两位同学在描述同一反比例函数的图象时，甲同学说：这个反比例函数图象上任意一
点到两坐标轴的距离的积都是3；乙同学说：这个反比例函数的图象与直线y=x有两
个交点，你认为这两位同学所描述的反比例函数的解析式是 .
10、某报报道了“养老保险执行标准”的消息，云龙中学数学课外活动小组根据消息中提供的数据给制出某市区企业职工养老保险个人月缴费（元）随个人月工资（元）变化的图象，请就图象回答下列问题：
⑴张总工程师五月份工资为3000元，这个月他个人应缴养老保险费______元。
⑵小王五月份工资为500元，这个月他应缴养老保险费________元。
⑶李师傅五月份个人缴养老保险费50元，则他五月份的工资为________元。
11、弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量有下面的关系。
那么弹簧总长与所挂物体质量之间的函数关系为_____________.
§ 6.2反比例函数的图象与性质
一、教学目标：使学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。培养提高学生的计算能力和作图能力。使学生理解反比例函数y=(k≠0)的增减性质。培养、提高学生的空间想象能力。
二教学重点、难点：作反比例函数的图象。理解反比例函数的性质。反比例函数的对称性质。
三、概念：
反比例函数y= EQ \F(k,x) 的图象是由两支曲线组成的，当k>0时，两支曲线分别位于一、三象限内，当k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
2、反比例函数图象的性质：
反比例函数y= 的图象，当k>0时，在第一象限内，y的值随x 的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y的值随x 的增大而增大。
3、反比例函数的图象是一个以原点为中心的中心对称图形；反比例函数是一个以y=±x 为对称轴的轴对称图形。
四、教学程序：
一、复习：
1、函数有哪几种表示方法？
答：图象法、解析法、列表法
2、一次函数y=kx+b有什么性质？
答：一次函数y=kx+1的图象是一条直线。
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
二、新授：
1、作反比例函数y= EQ \F(4,x) 的图象：
列表：
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。
连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y= EQ \F(4,x) 的图象。
2、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点。
3、作反比例函数y= EQ \F(－4,x) 的图象。
4、观察函数y= EQ \F(4,x) 和y= EQ \F(－4,x) 的图象，它们有什么相同点和不同点？
图象分别都是由两支曲线组成的，它们都不与坐标轴相交，两个函数图象都是轴对称图形，它们各自都有两条对称轴。
5、观察反比例函数y=，y=，y=的图象，回答下列问题？
（1）函数图象分别位于哪几个象限内；
（2）在每一个象限内，随着x 值的增大，y的值怎样变化的？能说明这是为什么吗？
（3）反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？
答：（1）第一、三象限
（2）y的值随着x 值的增大而减小；
（3）不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，因为不论x取何实数值，y的值永不为0（因k≠0）所以图象与x 轴不可能有交点。
6、考察当k=―2，―4，―6时，反比例函数y=的图象，回答（1）中的三个问题。
7、在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的面积为S2,S1与S2有什么关系？为什么？
S1=S2= | K |
8、将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合吗？
随堂练习：
1.反比例函数的图象在第一象限与第 象限.
2.若是反比例函数，则m、n的取值是 .
3．反比例函数y＝－eq \f(4,x)的图象在 （ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
4．已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝－（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）

5．已知反比例函数y＝的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在 （ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
1.6
60
O
V (m3)
P (kPa)
(1.6，60)
第6题
6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （ kPa ） 是气体体积V （ m3 ） 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球发将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 （ ）
A．不小于m3 B．小于m3 C．不小于m3 D．小于m3
7．（8分）如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求△AOC的面积.
作业：
1．如果点P为反比例函数的图象上一点，PQ⊥x轴，垂足为Q，那么△POQ的面
积为 （ ）
A．2 B． 4 C．6 D． 8
2．已知：反比例函数的图象上两点A（x1，y1），B（x2， y2）当x1＜0＜x2时，
y1＜y2，则的取值范围 （ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞
3．在的三个顶点A（2，－3）、B（－4，－5）、C（－3，2）中，可能在反比例
函数的图象上的点是 ．
4．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，则n的取值范围是_______；
如果图象在每个象限内，y随x的增大而减小，则n的取值范围是 .
O
A1
A2
P2
P1
y
x
第5题
5．如图，△P1OA1、△P2A1 A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数的图象上，斜边OA1、A1 A2都在x轴上，则点A2的坐标是 .
6．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在
的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．
7．（4分）反比例函数的图象经过点A（2 ，3）.
（1）求这个函数的解析式；
（2）请判断点B（1 ，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由.
8．（4分）已知三角形的一边为x，这条边上的高为y，三角形的面积为3，写出y与x的函数表达式，并画出函数的图象.
9．（4分）如图，一次函数y=kx＋b的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
B（1，n）
A（－2，1）
第21题图
y
x
10．（6分）双曲线在第一象限的一支上有一点C（1，5），过点C的直线y=kx＋b（k>0）与x轴交于点A（a，0）.
（1）求点A的横坐标a与k之间的函数关系式；
O
A
D
C（1，5）
x
y
第23题图
（2）当该直线与双曲线在第一象限内的另一交点D的横坐标是9时，求△COA的面积.
11．（6分）已知反比例函数和一次函数的图象都经过点，
（1）求点P的坐标和这个一次函数的解析式；
（2）若点M（，）和点N （，）都在这个一次函数的图象上．试通过计算或利用一次函数的性质，说明大于
§ 6.3 反比例函数的应用
教学目标：使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。
教学重点：反比例函数的应用
教学程序：
一、新授：
1、实例1：（1）用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗？为什么？
答：P= EQ \F(600,s) (s>0)，P是S的反比例函数。
（2）、当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？
答：P=3000Pa
（3）、如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多少？
答：至少0.lm2。
（4）、在直角坐标系中，作出相应的函数图象。
（5）、请利用图象（2）和（3）作出直观解释，并与同伴进行交流。
二、做一做
1、（1）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图5-8所示。
（2）蓄电池的电压是多少？你以写出这一函数的表达式吗？
电压U=36V ， I= EQ \F(60,k)
2、完成下表，并回答问题，如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
3、如图5-9，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y= EQ \F(60,k) 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（ EQ \R(,3) ，2 EQ \R(,3) ）
（1）分别写出这两个函数的表达式；
（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流；
二、随堂练习：
1、若和是反比例函数图象上的两点，则一次函数 的图象经过_____________象限。
2、函数的图象在第_____象限，在每个象限内，图象从左向右_________.
3、如图所示，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象（分别为正比例函数和一次函数）。两地间的距离是80千米，请根据图象回答或解决下面的问题。
⑴谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙较早，早多长时间？
⑵两人在途中的速度分别是多少？
⑶请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）
⑷指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）在这段时间内，请你分别按下列条件列出关于的方程或不等式（不要化简求解）：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面。
4、通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成，以前本市通过“城市热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元/3分钟，上网费为7.2元/小时，后根据信息产业部调整“因特网”资费要求，自1993年1月3日起，本市上“因特网”的费用调整为电话费0.22元/3分钟，上网费用每月不超过60小时，按4元/小时计算；超过小时部分，按8元/小时计算。
⑴根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用（元）表示为上网（时）的函数。
⑵资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的上网费用支出，“因特网”资费调整后，晓刚想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？
⑶以资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况。
5、某足协举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方法如下表：
当比赛进行到第12轮结束时，A队共积分19分
⑴通过比赛，判断A队胜、平、负各几场；
⑵当每赛一场各队员均得出场费500元，设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和（元），试求的最大值。
三、作业：
1、设每名工人一天能做某种型号的工艺品x 个。若某工艺厂每天要生产这种工艺品60个，则需工人y名。
（1） 求y关于x的函数解析式。
（2）若一名工人每天能做的工艺品个数最少6个，最多8个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人？
2、设面积为20cm2的平行四边形的一边长为a（cm），这条边上的高为h（cm），
⑴求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；
⑵ h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数
⑶求当边长a=25cm时，这条边上的高。
设电水壶所在电路上的电压保持不变，选用电热丝的电阻为R（Ω），电水壶的功率为P（W）。
(1) 已知选用电热丝的电阻为50 Ω，通过电流为968w，求P关于R的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。
(2)如果接上新电热丝的电阻大于50 Ω，那么与原来的相比，电水壶的功率将发生什么变化？
4．（6分）某蓄水池的排水管每时排水8 m3，6h可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每时排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q之间的函数关系式．
（4）如果准备在5小时之内将满水池排空，那么每时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排完？
5．（6分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知800度近视眼镜镜片的焦距为0.125米，
（1）求y与x 的函数关系；
（2）若张华同学近视眼镜镜片的焦距为0.25米，你知道他的眼睛近视多少度吗？
6．（6分）对于取消市场上使用的杆秤的呼声越来越高，原因在于一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小称砣，使砣较轻，从而欺骗顾客.
（1）如图，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个用的是较轻的秤砣？
（2）在称同一物体时，所称得的物体质量y（千克）与所用秤砣质量x（千克）之间满足
关系.
（3）当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？
图1
图2
7．（6分）联想电脑公司新春期间搞活动，规定每台电脑0.7万元，交首付后剩余的钱数y 与时间t的关系如图所示：
（1）根据图象写出y与t的函数关系式.
（2）求出首付的钱数.
15
10
100
600
900
5
t(月)
y(元)
O
（10，600）
（3）如果要求每月支付的钱数不少于400元，那么还至少几个才能将所有的钱全部还清？
8、杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：①每份买进0.2元，每份卖出0.3元；②一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出120份，其余10天每天只能卖出80份；③一个月内，每天从报社买进的报纸必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份0.1元退回给报社。
⑴填表：
⑵设每天从报社买进该种晚报份时，月利润为元，试求出与的函数关系式并求月利润的最大值。
9、某市20位下岗职工在近郊承包了50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟草或小麦，种这几种农作物每亩地所需取工数和产值预测如下表：
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最高。
11、某学生急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶，应付给个体车主的月费用是元，应付给出租车公司的车费用是元，元分别与之间的函数关系图象（两条射线）如图所示，观察图象，回答下列问题：
⑴每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？
⑵每月行驶的路程为多少时，租两家车的费用相同？
⑶如果这个单位估计每月行驶的路程为，那么这个单位租哪家的车合算？
12、某药品研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化如图所示。分别求出和时，与的函数解析式。
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2―13x+11
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x―15
-15
-8.75
-2
5.25
13
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x―15
-0.59
0.84
2.29
3.76
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
4-7x2=0
每天的销售量（台）
每台的利润（元）
总利润（元）
降价前
8
400
3200
降价后
8+4× EQ \F(x,50)
400－x
(8+ EQ \F(4x,50) )×(400－x)
第二张牌面的数字
第一
张牌面的数字
1
2
1
（1，1）
（1，2）
2
（2，1）
（2，2）
第二个硬币的面
第一
个硬币的面
正
反
正
（正，正）
（正，反）
反
（反，正）
（反，反）
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
出现5的倍数的频数
出现5的倍数的频率
牌面数字和
2
3
4
频数
频率
实验次数
60
90
120
150
180
两张牌的牌面数字和等于3的频数
两张牌的牌面数字和等于3的频率
R（Ω）
20
40
60
80
100
I（A）
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
X
－8
－4
－3
－2
－1
－ EQ \F(1,2)
－ EQ \F(1,2)
1
2
4
8
y= EQ \F(4,x)
R（Ω）
3
4
5
6
7
8
9
10
I（A）
胜一场
平一场
负一场
积分
3
1
0
奖金（元/人）
1500
700
0
一个月内每天买进该种晚报的份数
100
150
当月利润（单位：元）
作物品种
每亩地所需取工数
每亩地预计产值
蔬菜
1100元
烟叶
750元
小麦
600元