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2019-2020学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷 （解析版）
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这是一份2019-2020学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷 （解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3B．x≠﹣3
C．x≠±3D．x为任意实数
4．（3分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．3x＜3yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣6＜y﹣6D．ax+1＞ay+1
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．40°B．70°C．40°或70°D．100°
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2
B．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
C．2n2﹣nm﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．﹣ab2+2ab﹣3b＝﹣b（ab﹣2a﹣3）
7．（3分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16m，则它的邻边为（ ）
A．34mB．18mC．16mD．9m
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．+＝1
C．1+＝D．﹣＝0
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（ ）
A．540°B．720°C．900°D．1260°
10．（3分）菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（ ）
A．10cmB．10cmC．5cmD．5cm
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ ．
12．（4分）房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为 m．
13．（4分）如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，根据图象，若y1＜y2，则x满足的取值范围是 ．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：+＝1．
16．（6分）先化简：（a﹣）÷，再从﹣1＜a≤2中选择一个整数代入求值．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为 ；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
19．（10分）某校组织师生春游，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可以少租一辆，且余30个空位
（1）求该校参加春游的人数；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你你帮助设计本次春游所需车辆的租金．
20．（10分）已知△ABC是等腰三角形．
（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知ab＝7，a+b＝6，则多项式a2b+ab2的值为 ．
22．（4分）如果不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围为 ．
23．（4分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ ．
24．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ．
25．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 ．
二、解答题：（共3个小题，共30分）
26．（8分）将a克糖放人水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（a＜b），再往杯中加人c（c＞0）克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
（1）请用一个不等式表示这个现象： ；
（2）请你用所学的数学知识解释其中的道理．
27．（10分）在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．
（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；
（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．
28．（12分）如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．
2019-2020学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求出不等式解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x﹣1＞0，
解得：x＞1．
表示在数轴上为：
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3B．x≠﹣3
C．x≠±3D．x为任意实数
【分析】根据分式有意义的条件可得x2﹣9≠0，依此即可求解．
【解答】解：由题意得：x2﹣9≠0，
解得：x≠±3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
4．（3分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．3x＜3yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣6＜y﹣6D．ax+1＞ay+1
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3x＞3y，故本选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2x＜﹣2y，故本选项符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时减去6，不等式仍成立，即x﹣6＞y﹣6，故本选项不符合题意．
D、当a＝0时，该不等式不成立，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．40°B．70°C．40°或70°D．100°
【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠A＝40°，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2
B．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
C．2n2﹣nm﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．﹣ab2+2ab﹣3b＝﹣b（ab﹣2a﹣3）
【分析】利用提公因式法求解A、C、D后作出判断，利用十字相乘法或因式分解的定义判断B．
【解答】解：整式x（x﹣y）﹣y（x﹣y）提取公因式（x﹣y），得（x﹣y）2，因式分解正确；
a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2，等号的右边不是整式积的形式，不属于因式分解；
式子2n2﹣nm﹣n提取公因式n后可分解为n（2n﹣m﹣1），故选项C分解不正确；
式子﹣ab2+2ab﹣3b提取公因式﹣b后可分解为﹣b（ab﹣2a+3），故选项D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的提取公因式法、因式分解的定义等知识点．理解因式分解的定义和掌握提公因式法的步骤是解决本题的关键．
7．（3分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16m，则它的邻边为（ ）
A．34mB．18mC．16mD．9m
【分析】根据平行四边形的对边相等，即可得到平行四边形的一组邻边之和等于周长的一半，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵周长为50cm，一边长16m，
∴它的邻边为﹣16＝9（m），
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．+＝1
C．1+＝D．﹣＝0
【分析】应用分式的加减法则对每个选项逐一进行计算．
【解答】解：A，所以A选项错误；
B，所以B选项正确；
C，所以C选项错误；
D，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减法则，熟练应用法则计算是解决本题的关键，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．本题属于基础运算题，比较简单．
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（ ）
A．540°B．720°C．900°D．1260°
【分析】根据三角形的内角和为180°可计算求解．
【解答】解：5×180°＝900°，
答：这个多边形的内角和为900°．
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形及三角形的内角和，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．
10．（3分）菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（ ）
A．10cmB．10cmC．5cmD．5cm
【分析】根据菱形四条边都相等的性质和对角线垂直且平分，计算出每条边的长度，在直角三角形中应用勾股定理计算可得出答案．
【解答】解：菱形ABCD如右图所示，
∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10cm；
∵对角线BD＝10cm，
∴BO＝DO＝5cm；
在Rt△ADO中，
AO＝
＝
＝．
∴AD＝2AO＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查菱形的性质的应用，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；及勾股定理应用是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（4分）房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为 2 m．
【分析】根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．
【解答】解：∵D为AB的中点，AB＝8m，
∴AD＝4m，
∵DE⊥AC于点E，∠A＝30°，
∴DE＝AD＝2m，
故答案是：2．
【点评】本题考查了三角形的中位线的性质，直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
13．（4分）如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，根据图象，若y1＜y2，则x满足的取值范围是 x＞2 ．
【分析】若y1＜y2，则直线直线l1位于直线l2的下方．
【解答】解：如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，点P的横坐标是﹣2，
所以若y1＜y2，则x满足的取值范围是x＞2．
故答案是：x＞2．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为 4.1 ．
【分析】连接EC，利用垂直平分线的性质得到AE＝EC，再在Rt△EBC中，利用勾股定理求边长即可．
【解答】解：如图，连接EC，
∵EF垂直平分AC
∴EC＝AE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝90°；
在Rt△EBC中，EC2＝EB2+BC2
又∵EC＝AE，EB＝AB﹣AE＝5﹣AE，BC＝4
＝（5﹣AE）2+42
解得：AE＝4.1．
故答案为：4.1．
【点评】本题考查了垂直平分线性质和勾股定理得应用，熟悉掌握性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：+＝1．
【分析】（1）先解组中的两个不等式，再确定不等式组的解集；
（2）按解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）
解①，得x＜1，
解②，得x＞0，
∴原不等式组的解集为：0＜x＜1；
（2）原方程可变形为﹣＝1，
去分母，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
整理，得2x＝4
所以x＝2．
经检验，x＝2是原方式方程的解．
所以原方式方程的解为：x＝2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法．掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤，是解决本题的关键．
16．（6分）先化简：（a﹣）÷，再从﹣1＜a≤2中选择一个整数代入求值．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的加减运算法则、分式的混合运算法则计算，再代入计算即可求解．
【解答】解：（a﹣）÷
＝×
＝×
＝a﹣1
∵﹣1＜a≤2，a＝2时，分式有意义，
∴当a＝2时，原式＝2﹣1＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为 （﹣1，5） ；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标即可；
（2）根据旋转的性质即可写出点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标；．
（3）根据两点之间线段最短，作点C1关于x轴的对称点，连接C′B1与x轴交于一点P，且满足点P到点B1点C1离之和最小，根据勾股定理，即可写出PB1+PC1的最小值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
点B1的坐标为（﹣4，﹣4）；
（2）点C2的坐标为（﹣1，5）；
故答案为：（﹣1，5）；
（3）点P即为所求，
PB1+PC1的最小值为：
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称、最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
【分析】根据SAS可以证明△DMF≌△BNE．从而得到MF＝NE，∠DFM＝∠BEN．根据等角的补角相等，可以证明∠FEN＝∠EFM，则EN∥FM．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
在△BNE和△DMF中，，
∴△BNE≌△DMF（SAS）．
∴MF＝NE，∠DFM＝∠BEN．
∴EN∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
【点评】此题综合运用了平行四边形的性质和判定．能够根据已知条件和平行四边形的性质发现全等三角形．
19．（10分）某校组织师生春游，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可以少租一辆，且余30个空位
（1）求该校参加春游的人数；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你你帮助设计本次春游所需车辆的租金．
【分析】（1）先设租用45座客车x辆，利用人数不变，可列出一元一次方程，求出车的辆数，再乘以45就是人数．
（2）可根据租用两种汽车时，租用45座客车的费用+租用60座客车的费用＜单独租用一种客车的费用，依此可列出不等式组，求出租用车辆的大致范围，然后根据60座客车比45座客车多租1辆，来判断出两种车各有多少辆进而求出租金的费用．
【解答】解：（1）设租用x辆45座的客车，依题意得
45x＝60（x﹣1）﹣30，
解得x＝6．
6×45＝270人．
答：该校参加春游的人数为270人．
（2）设租用y辆45座的客车，依题意得
，
解不等式组得2≤y＜．
所以该校租用2辆45座的客车，3辆60座的客车．
2×250+3×300＝1400元．
答：按这种方案需要租金1400元．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，关键知道60座客车比45座客车多租1辆，租金比单独一种客车要节省，进而找到所求的量的等量关系．
20．（10分）已知△ABC是等腰三角形．
（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
（2）①先求出∠BAD＝150°，进而求出∠D＝15°，再求出∠DAE＝120°，即可得出结论；
②先判断出BE＝CE，再判断出△ACE≌△ADF（SAS），得出DF＝CE，再判断出EF＝AE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，
∴∠D＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，
∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；
②BD＝2CE+AE；
证明：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴BE＝CE，
过点A作AF⊥AE交DE于F，
∴∠EAF＝90°，
由旋转知，∠CAD＝90°，
∴∠CAE＝∠DAF，
由①知，∠AED＝45°，
∴∠AFE＝45°＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∴EF＝AE，
∵AC＝AD，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴DF＝CE，
∴BD＝BE+EF+DF＝CE+AE+CE＝2CE+AE．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，判断出∠AED＝45°是解本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知ab＝7，a+b＝6，则多项式a2b+ab2的值为 42 ．
【分析】本题应先提公因式，把a2b+ab2分解因式，再把条件代入即可求值．
【解答】解：a2b+ab2＝ab•a+ab•b＝ab（a+b）．
把ab＝7，a+b＝6代入上式：原式＝7×6＝42．
故答案为：42．
【点评】此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
22．（4分）如果不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围为 a≤4 ．
【分析】已知不等式组解集为x＞3，再根据不等式组解集的口诀：同大取大，得到a的范围．
【解答】解：由题意x＞3，x≥a，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴a≤4．
故答案是：a≤4．
【点评】主要考查了不等式的解集，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a的范围．
23．（4分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ a+1 ．
【分析】根据题意可得S2＝＝﹣，S3＝＝，S4＝＝a+1，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2020的值．
【解答】解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），
∴S2＝＝﹣，
S3＝＝，
S4＝＝a+1，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴S2020＝a+1．
故答案为：a+1．
【点评】本题考查数字的变化类、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
24．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为 8 ．
【分析】连接AI，BI，根据点I为△ABC角平分线交点，可得IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，再根据∠ACB平移，使其顶点与点I重合，可得DI∥AC，EI∥BC，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长．
【解答】解：如图，连接AI，BI，
∵点I为△ABC角平分线交点，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8．
即图中阴影部分的周长为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的内心、平移的性质，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质，即三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
25．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 2.5≤m≤3 ．
【分析】将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x＝﹣2交于C，D两点，则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围．
【解答】解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x＝﹣2交于C，D两点，则点A（﹣2，m）在线段CD上，
又∵点D的纵坐标为2.5，点C的纵坐标为3，
∴m的取值范围是2.5≤m≤3，
故答案为：2.5≤m≤3．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
二、解答题：（共3个小题，共30分）
26．（8分）将a克糖放人水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（a＜b），再往杯中加人c（c＞0）克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
（1）请用一个不等式表示这个现象： ＞（a＜b） ；
（2）请你用所学的数学知识解释其中的道理．
【分析】（1）用一个不等式表示即可求解；
（2）利用作差法即可求解．
【解答】解：（1）请用一个不等式表示这个现象：＞（a＜b）．
故答案为：＞（a＜b）；
（2）∵﹣＝＝＞0，
∴＞，
则现在糖水的含糖量比原来高了．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．（10分）在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．
（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；
（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．
【分析】（1）证明△CFG≌△AEG（AAS），由全等三角形的性质可得出结论FG＝EG；
（2）过点E作EM⊥AB交AC于点M，证明△MEG≌△CFG（AAS），可得出EG＝FG；
（3）连接DE，DF，EH，证明△ADE≌△DCF（SAS），得出DE＝DF，由等腰三角形的性质得出DG⊥EF，则DH是EF的中垂线，可得出EH＝FH，由勾股定理求出EH＝13，设AE＝x，则CF＝x，得出方程2x+7＝13，解得x＝3，求出AB＝15，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠EAG＝∠FCG，
又∵∠FGC＝∠AGE，AE＝CF，
∴△CFG≌△AEG（AAS），
∴FG＝EG；
（2）（1）中结论依然成立．
理由如下：
如图2，过点E作EM⊥AB交AC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠MAE＝∠AME＝45°，
∴AE＝EM，
又∵AE＝FC，
∴EM＝CF，
∵∠AEM＝∠ABC，
∴ME∥CF，
∴∠MEG＝∠GFC，
又∵∠MGE＝∠FGC，
∴△MEG≌△CFG（AAS），
∴EG＝FG；
（3）解：如图3，连接DE，DF，EH，
∵正方形ABCD中，∠DAE＝∠DCB＝90°，DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DCF＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
由（2）知EG＝GF，
∴DG⊥EF，
∴DH是EF的中垂线，
∴EH＝FH，
∵BE＝12，BH＝5，
∴EH＝＝＝13，
∴FH＝13，
设AE＝x，则CF＝x，
∴AB＝CB＝12+x，
∴CH＝7+x，
∴FH＝CF+CH＝x+7+x＝2x+7，
∴2x+7＝13，
解得x＝3，
∴AB＝15，
∴正方形ABCD的面积为225．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质定理，平行线的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键．
28．（12分）如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．
【分析】（1）将点A代入解析式可求b的值，即可求解；
（2）分AC为边和对角线两种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，可求解；
（3）利用角的数量关系可求∠FPA＝45°，由“ASA”可证△NFP≌△OFP，可得NP＝OP，通过证明四边形NPMT是平行四边形，可得NP＝MT，可得PN＝MT＝2MQ＝2QT，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0），
∴0＝﹣4+b，
∴b＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣2x+4；
（2）∵直线y＝﹣2x+4（b为常数）交y轴正半轴于点B，
∴点B（0，4），
∵点C是线段AB中点，
∴点C（1，2），
∵点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，
∴设点P（x，0），点Q（0，y），
当AC为边时，若四边形ACQP是平行四边形时，
∴CQ∥AP，CQ＝AP，
∴y＝2，
∴CQ＝1＝AP，
∴点P（1，0），
若四边形ACPQ是平行四边形时，
∴AP与CQ互相平分，
∴，
∴x＝﹣1，
∴点P（﹣1，0），
当AC为对角线时，若四边形APCQ是平行四边形时，
∴AC与PQ互相平分，
∴，
∴x＝3，
∴点P（3，0）；
综上所述：点P坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（3，0）；
（3））∵△AMP是等腰三角形，MP＝MA，
∴∠MAP＝∠MPA，
设∠MAP＝α，
∵直线l∥MP，
∴∠FAP＝∠MPA＝α，
∴∠FAE＝2α，
∵FE⊥AM，
∴∠FEA＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣2α，
又∵∠NFP+∠PFO+∠AFE＝180°，2∠PFO+∠AFE＝180°，
∴∠NFP＝∠PFO＝（180°﹣∠AFE）＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，
又∵∠NFP＝∠FPA+∠FAP，
∴45°+α＝∠FPA+α，
∴∠FPA＝45°，
过点P作PN⊥x轴于点P，交直线l于点N，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交直线l于点T，如图2所示，
∴∠NPA＝90°，
∴∠FPN＝45°，
在△NFP和△OFP中
，
∴△NFP≌△OFP（ASA）
∴NP＝OP，
∵PN∥MT，MP∥直线l，
∴四边形NPMT是平行四边形，
∴NP＝MT，
又∵∠TAQ＝∠MAQ，AQ＝AQ，∠AQT＝∠AQM，
∴PN＝MT＝2MQ＝2QT，
∵点P的横坐标为t，点P是x轴负半轴上一点，
∴QM＝﹣t，OP＝﹣t，
∴△PMO的面积＝×（﹣t）×（﹣t）＝t2．
【点评】本题考查了一次函数综合题目，主要考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
1．（3分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3B．x≠﹣3
C．x≠±3D．x为任意实数
4．（3分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．3x＜3yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣6＜y﹣6D．ax+1＞ay+1
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．40°B．70°C．40°或70°D．100°
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2
B．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
C．2n2﹣nm﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．﹣ab2+2ab﹣3b＝﹣b（ab﹣2a﹣3）
7．（3分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16m，则它的邻边为（ ）
A．34mB．18mC．16mD．9m
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．+＝1
C．1+＝D．﹣＝0
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（ ）
A．540°B．720°C．900°D．1260°
10．（3分）菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（ ）
A．10cmB．10cmC．5cmD．5cm
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ ．
12．（4分）房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为 m．
13．（4分）如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，根据图象，若y1＜y2，则x满足的取值范围是 ．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：+＝1．
16．（6分）先化简：（a﹣）÷，再从﹣1＜a≤2中选择一个整数代入求值．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为 ；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
19．（10分）某校组织师生春游，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可以少租一辆，且余30个空位
（1）求该校参加春游的人数；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你你帮助设计本次春游所需车辆的租金．
20．（10分）已知△ABC是等腰三角形．
（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知ab＝7，a+b＝6，则多项式a2b+ab2的值为 ．
22．（4分）如果不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围为 ．
23．（4分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ ．
24．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ．
25．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 ．
二、解答题：（共3个小题，共30分）
26．（8分）将a克糖放人水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（a＜b），再往杯中加人c（c＞0）克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
（1）请用一个不等式表示这个现象： ；
（2）请你用所学的数学知识解释其中的道理．
27．（10分）在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．
（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；
（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．
28．（12分）如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．
2019-2020学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求出不等式解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x﹣1＞0，
解得：x＞1．
表示在数轴上为：
故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3B．x≠﹣3
C．x≠±3D．x为任意实数
【分析】根据分式有意义的条件可得x2﹣9≠0，依此即可求解．
【解答】解：由题意得：x2﹣9≠0，
解得：x≠±3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
4．（3分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．3x＜3yB．﹣2x＜﹣2yC．x﹣6＜y﹣6D．ax+1＞ay+1
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3x＞3y，故本选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2x＜﹣2y，故本选项符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时减去6，不等式仍成立，即x﹣6＞y﹣6，故本选项不符合题意．
D、当a＝0时，该不等式不成立，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．40°B．70°C．40°或70°D．100°
【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠A＝40°，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2
B．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
C．2n2﹣nm﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．﹣ab2+2ab﹣3b＝﹣b（ab﹣2a﹣3）
【分析】利用提公因式法求解A、C、D后作出判断，利用十字相乘法或因式分解的定义判断B．
【解答】解：整式x（x﹣y）﹣y（x﹣y）提取公因式（x﹣y），得（x﹣y）2，因式分解正确；
a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2，等号的右边不是整式积的形式，不属于因式分解；
式子2n2﹣nm﹣n提取公因式n后可分解为n（2n﹣m﹣1），故选项C分解不正确；
式子﹣ab2+2ab﹣3b提取公因式﹣b后可分解为﹣b（ab﹣2a+3），故选项D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的提取公因式法、因式分解的定义等知识点．理解因式分解的定义和掌握提公因式法的步骤是解决本题的关键．
7．（3分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16m，则它的邻边为（ ）
A．34mB．18mC．16mD．9m
【分析】根据平行四边形的对边相等，即可得到平行四边形的一组邻边之和等于周长的一半，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵周长为50cm，一边长16m，
∴它的邻边为﹣16＝9（m），
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．+＝B．+＝1
C．1+＝D．﹣＝0
【分析】应用分式的加减法则对每个选项逐一进行计算．
【解答】解：A，所以A选项错误；
B，所以B选项正确；
C，所以C选项错误；
D，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减法则，熟练应用法则计算是解决本题的关键，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．本题属于基础运算题，比较简单．
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（ ）
A．540°B．720°C．900°D．1260°
【分析】根据三角形的内角和为180°可计算求解．
【解答】解：5×180°＝900°，
答：这个多边形的内角和为900°．
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形及三角形的内角和，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．
10．（3分）菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（ ）
A．10cmB．10cmC．5cmD．5cm
【分析】根据菱形四条边都相等的性质和对角线垂直且平分，计算出每条边的长度，在直角三角形中应用勾股定理计算可得出答案．
【解答】解：菱形ABCD如右图所示，
∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10cm；
∵对角线BD＝10cm，
∴BO＝DO＝5cm；
在Rt△ADO中，
AO＝
＝
＝．
∴AD＝2AO＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查菱形的性质的应用，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；及勾股定理应用是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（4分）房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为 2 m．
【分析】根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．
【解答】解：∵D为AB的中点，AB＝8m，
∴AD＝4m，
∵DE⊥AC于点E，∠A＝30°，
∴DE＝AD＝2m，
故答案是：2．
【点评】本题考查了三角形的中位线的性质，直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
13．（4分）如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，根据图象，若y1＜y2，则x满足的取值范围是 x＞2 ．
【分析】若y1＜y2，则直线直线l1位于直线l2的下方．
【解答】解：如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，点P的横坐标是﹣2，
所以若y1＜y2，则x满足的取值范围是x＞2．
故答案是：x＞2．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为 4.1 ．
【分析】连接EC，利用垂直平分线的性质得到AE＝EC，再在Rt△EBC中，利用勾股定理求边长即可．
【解答】解：如图，连接EC，
∵EF垂直平分AC
∴EC＝AE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝90°；
在Rt△EBC中，EC2＝EB2+BC2
又∵EC＝AE，EB＝AB﹣AE＝5﹣AE，BC＝4
＝（5﹣AE）2+42
解得：AE＝4.1．
故答案为：4.1．
【点评】本题考查了垂直平分线性质和勾股定理得应用，熟悉掌握性质是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：+＝1．
【分析】（1）先解组中的两个不等式，再确定不等式组的解集；
（2）按解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）
解①，得x＜1，
解②，得x＞0，
∴原不等式组的解集为：0＜x＜1；
（2）原方程可变形为﹣＝1，
去分母，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
整理，得2x＝4
所以x＝2．
经检验，x＝2是原方式方程的解．
所以原方式方程的解为：x＝2．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法．掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤，是解决本题的关键．
16．（6分）先化简：（a﹣）÷，再从﹣1＜a≤2中选择一个整数代入求值．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的加减运算法则、分式的混合运算法则计算，再代入计算即可求解．
【解答】解：（a﹣）÷
＝×
＝×
＝a﹣1
∵﹣1＜a≤2，a＝2时，分式有意义，
∴当a＝2时，原式＝2﹣1＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为 （﹣1，5） ；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标即可；
（2）根据旋转的性质即可写出点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标；．
（3）根据两点之间线段最短，作点C1关于x轴的对称点，连接C′B1与x轴交于一点P，且满足点P到点B1点C1离之和最小，根据勾股定理，即可写出PB1+PC1的最小值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
点B1的坐标为（﹣4，﹣4）；
（2）点C2的坐标为（﹣1，5）；
故答案为：（﹣1，5）；
（3）点P即为所求，
PB1+PC1的最小值为：
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称、最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
【分析】根据SAS可以证明△DMF≌△BNE．从而得到MF＝NE，∠DFM＝∠BEN．根据等角的补角相等，可以证明∠FEN＝∠EFM，则EN∥FM．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
在△BNE和△DMF中，，
∴△BNE≌△DMF（SAS）．
∴MF＝NE，∠DFM＝∠BEN．
∴EN∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
【点评】此题综合运用了平行四边形的性质和判定．能够根据已知条件和平行四边形的性质发现全等三角形．
19．（10分）某校组织师生春游，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可以少租一辆，且余30个空位
（1）求该校参加春游的人数；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你你帮助设计本次春游所需车辆的租金．
【分析】（1）先设租用45座客车x辆，利用人数不变，可列出一元一次方程，求出车的辆数，再乘以45就是人数．
（2）可根据租用两种汽车时，租用45座客车的费用+租用60座客车的费用＜单独租用一种客车的费用，依此可列出不等式组，求出租用车辆的大致范围，然后根据60座客车比45座客车多租1辆，来判断出两种车各有多少辆进而求出租金的费用．
【解答】解：（1）设租用x辆45座的客车，依题意得
45x＝60（x﹣1）﹣30，
解得x＝6．
6×45＝270人．
答：该校参加春游的人数为270人．
（2）设租用y辆45座的客车，依题意得
，
解不等式组得2≤y＜．
所以该校租用2辆45座的客车，3辆60座的客车．
2×250+3×300＝1400元．
答：按这种方案需要租金1400元．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，关键知道60座客车比45座客车多租1辆，租金比单独一种客车要节省，进而找到所求的量的等量关系．
20．（10分）已知△ABC是等腰三角形．
（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
（2）①先求出∠BAD＝150°，进而求出∠D＝15°，再求出∠DAE＝120°，即可得出结论；
②先判断出BE＝CE，再判断出△ACE≌△ADF（SAS），得出DF＝CE，再判断出EF＝AE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，
∴∠D＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，
∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；
②BD＝2CE+AE；
证明：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴BE＝CE，
过点A作AF⊥AE交DE于F，
∴∠EAF＝90°，
由旋转知，∠CAD＝90°，
∴∠CAE＝∠DAF，
由①知，∠AED＝45°，
∴∠AFE＝45°＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∴EF＝AE，
∵AC＝AD，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴DF＝CE，
∴BD＝BE+EF+DF＝CE+AE+CE＝2CE+AE．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，判断出∠AED＝45°是解本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知ab＝7，a+b＝6，则多项式a2b+ab2的值为 42 ．
【分析】本题应先提公因式，把a2b+ab2分解因式，再把条件代入即可求值．
【解答】解：a2b+ab2＝ab•a+ab•b＝ab（a+b）．
把ab＝7，a+b＝6代入上式：原式＝7×6＝42．
故答案为：42．
【点评】此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
22．（4分）如果不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围为 a≤4 ．
【分析】已知不等式组解集为x＞3，再根据不等式组解集的口诀：同大取大，得到a的范围．
【解答】解：由题意x＞3，x≥a，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴a≤4．
故答案是：a≤4．
【点评】主要考查了不等式的解集，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a的范围．
23．（4分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ a+1 ．
【分析】根据题意可得S2＝＝﹣，S3＝＝，S4＝＝a+1，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2020的值．
【解答】解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），
∴S2＝＝﹣，
S3＝＝，
S4＝＝a+1，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴S2020＝a+1．
故答案为：a+1．
【点评】本题考查数字的变化类、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
24．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为 8 ．
【分析】连接AI，BI，根据点I为△ABC角平分线交点，可得IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，再根据∠ACB平移，使其顶点与点I重合，可得DI∥AC，EI∥BC，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长．
【解答】解：如图，连接AI，BI，
∵点I为△ABC角平分线交点，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8．
即图中阴影部分的周长为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的内心、平移的性质，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质，即三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
25．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 2.5≤m≤3 ．
【分析】将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x＝﹣2交于C，D两点，则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围．
【解答】解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x＝﹣2交于C，D两点，则点A（﹣2，m）在线段CD上，
又∵点D的纵坐标为2.5，点C的纵坐标为3，
∴m的取值范围是2.5≤m≤3，
故答案为：2.5≤m≤3．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
二、解答题：（共3个小题，共30分）
26．（8分）将a克糖放人水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（a＜b），再往杯中加人c（c＞0）克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
（1）请用一个不等式表示这个现象： ＞（a＜b） ；
（2）请你用所学的数学知识解释其中的道理．
【分析】（1）用一个不等式表示即可求解；
（2）利用作差法即可求解．
【解答】解：（1）请用一个不等式表示这个现象：＞（a＜b）．
故答案为：＞（a＜b）；
（2）∵﹣＝＝＞0，
∴＞，
则现在糖水的含糖量比原来高了．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．（10分）在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．
（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；
（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．
【分析】（1）证明△CFG≌△AEG（AAS），由全等三角形的性质可得出结论FG＝EG；
（2）过点E作EM⊥AB交AC于点M，证明△MEG≌△CFG（AAS），可得出EG＝FG；
（3）连接DE，DF，EH，证明△ADE≌△DCF（SAS），得出DE＝DF，由等腰三角形的性质得出DG⊥EF，则DH是EF的中垂线，可得出EH＝FH，由勾股定理求出EH＝13，设AE＝x，则CF＝x，得出方程2x+7＝13，解得x＝3，求出AB＝15，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠EAG＝∠FCG，
又∵∠FGC＝∠AGE，AE＝CF，
∴△CFG≌△AEG（AAS），
∴FG＝EG；
（2）（1）中结论依然成立．
理由如下：
如图2，过点E作EM⊥AB交AC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠MAE＝∠AME＝45°，
∴AE＝EM，
又∵AE＝FC，
∴EM＝CF，
∵∠AEM＝∠ABC，
∴ME∥CF，
∴∠MEG＝∠GFC，
又∵∠MGE＝∠FGC，
∴△MEG≌△CFG（AAS），
∴EG＝FG；
（3）解：如图3，连接DE，DF，EH，
∵正方形ABCD中，∠DAE＝∠DCB＝90°，DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DCF＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
由（2）知EG＝GF，
∴DG⊥EF，
∴DH是EF的中垂线，
∴EH＝FH，
∵BE＝12，BH＝5，
∴EH＝＝＝13，
∴FH＝13，
设AE＝x，则CF＝x，
∴AB＝CB＝12+x，
∴CH＝7+x，
∴FH＝CF+CH＝x+7+x＝2x+7，
∴2x+7＝13，
解得x＝3，
∴AB＝15，
∴正方形ABCD的面积为225．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质定理，平行线的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键．
28．（12分）如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．
【分析】（1）将点A代入解析式可求b的值，即可求解；
（2）分AC为边和对角线两种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，可求解；
（3）利用角的数量关系可求∠FPA＝45°，由“ASA”可证△NFP≌△OFP，可得NP＝OP，通过证明四边形NPMT是平行四边形，可得NP＝MT，可得PN＝MT＝2MQ＝2QT，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0），
∴0＝﹣4+b，
∴b＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣2x+4；
（2）∵直线y＝﹣2x+4（b为常数）交y轴正半轴于点B，
∴点B（0，4），
∵点C是线段AB中点，
∴点C（1，2），
∵点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，
∴设点P（x，0），点Q（0，y），
当AC为边时，若四边形ACQP是平行四边形时，
∴CQ∥AP，CQ＝AP，
∴y＝2，
∴CQ＝1＝AP，
∴点P（1，0），
若四边形ACPQ是平行四边形时，
∴AP与CQ互相平分，
∴，
∴x＝﹣1，
∴点P（﹣1，0），
当AC为对角线时，若四边形APCQ是平行四边形时，
∴AC与PQ互相平分，
∴，
∴x＝3，
∴点P（3，0）；
综上所述：点P坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（3，0）；
（3））∵△AMP是等腰三角形，MP＝MA，
∴∠MAP＝∠MPA，
设∠MAP＝α，
∵直线l∥MP，
∴∠FAP＝∠MPA＝α，
∴∠FAE＝2α，
∵FE⊥AM，
∴∠FEA＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣2α，
又∵∠NFP+∠PFO+∠AFE＝180°，2∠PFO+∠AFE＝180°，
∴∠NFP＝∠PFO＝（180°﹣∠AFE）＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，
又∵∠NFP＝∠FPA+∠FAP，
∴45°+α＝∠FPA+α，
∴∠FPA＝45°，
过点P作PN⊥x轴于点P，交直线l于点N，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交直线l于点T，如图2所示，
∴∠NPA＝90°，
∴∠FPN＝45°，
在△NFP和△OFP中
，
∴△NFP≌△OFP（ASA）
∴NP＝OP，
∵PN∥MT，MP∥直线l，
∴四边形NPMT是平行四边形，
∴NP＝MT，
又∵∠TAQ＝∠MAQ，AQ＝AQ，∠AQT＝∠AQM，
∴PN＝MT＝2MQ＝2QT，
∵点P的横坐标为t，点P是x轴负半轴上一点，
∴QM＝﹣t，OP＝﹣t，
∴△PMO的面积＝×（﹣t）×（﹣t）＝t2．
【点评】本题考查了一次函数综合题目，主要考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
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