2023-2024学年陕西省西安市蓝田县九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市蓝田县九年级上学期数学月考试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题（共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、，是一元一次方程，不符合题意；
B、，方程中含有两个未知数，不符合题意；
C、，符合一元二次方程的定义，符合题意；
D、，当时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
2. 如图，直线，直线交、、于点、、，直线交、、于点、、，已知，若，则的长是（ ）

A. B. 4C. D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】由直线可得，由，可得，从而得到，由可得，最后由进行计算即可．
【详解】解：直线，直线交、、于点、、，直线交、、于点、、，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，是解题的关键．
3. 在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，再添加，不能判定是菱形；选项A不符合题意；
添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
添加，能判定是菱形；选项C符合题意；
添加，不能判定是菱形；选项B不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式的值就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【详解】解：A、，即，，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、，即，，此方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、，即，，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、，此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
5. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A. 不透明袋中装有大小和质地都相同1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B. 任意写一个整数，它能被2整除
C. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上
D. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
【答案】A
【解析】
【分析】根据频率图象可知某实验的频率约为0.33，依次求出每个事件的概率进行比较即可得到答案．
【详解】解：A、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率≈0.33，符合题意；
B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，出现1点朝上的概率为≈0.17，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率是，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
6. 如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分 ，则的长为（ ）

A. 12B. 5C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明，根据等角对等边，即可求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，则的长即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，求出的长是关键．
7. 如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的宽为4，则小长方形的宽为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵每一个小长方形与原长方形相似，小长方形的宽为x
∴
解得，x=或x=- (舍去)，
故选：A
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
8. 如图，ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）

A. 10﹣B. ﹣3C. 2﹣6D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值．
【详解】解：中，，，，
，
，点、分别是、的中点，
，，
当、、在同一直线上时，取最小值，
的最小值为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确、、在同一直线上时，取最小值是解题的关键．
第二部分 非选择题（共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 为全面落实“双减”工作，某校成立了义务宣讲团，为学生家长做“双减”政策解读，现招募两个宣讲教师，有四个老师A、B、C、D备选，则恰好选中和的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图，利用概率公式即可求解．
【详解】解：画树状图如下：

共有12种情况，恰好选中和的有2种情况，
则恰好选中和的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图求概率，根据题意画出列表法或树状图，利用概率公式计算概率是解题的关键．
10. 疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是________．
【答案】30%
【解析】
【分析】设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，用平均增长率x表示三月份新注册用户，可列出方程，解之即可．
【详解】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，
依题意，得：200（1+x）2＝338，
（1+x）2=1.69，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
故答案为：30%．
【点睛】本题考查是一元二次方程中增长率应用题问题，要分清给的用户是第三个月的，还是三个月的总和，掌握第三个月用增长率如何表示．
11. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的纵坐标为，点F的纵坐标为，点E的坐标为，则点B的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两个三角形的位似比即可求得点B的坐标
【详解】∵与是以原点O为位似中心的位似图形，且点C的纵坐标为，点F的纵坐标为，
∴与的位似比为：，
∵点E的坐标为，
∴点B的坐标为：即
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了求位似图形的对应坐标，熟练掌握两个位似图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
12. 设是方程的两个实数根，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据是方程的两个实数根即可得到，根据一元二次方程根与系数关系得到即可解答．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数关系，掌握一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．
13. 如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为____________．

【答案】##
【解析】
【分析】设交于E，连接，证明得到，，解得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：设交于E，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先移项，再直接开平方法解一元二次方程，解方程即可求解；
（2）因式分解法解一元二次方程即可求解．
【小问1详解】
解：
∴
即，
解得：，；
【小问2详解】
解：
∴
即
∴或，
解得：，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握是解一元二次方程的方法解题的关键．
15. 如图，在中，，请利用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据，可以得到，要使得，只要，即，因此只需要作的垂直平分线与的交点即可得到答案．
【详解】如图，作的垂直平分线交于点P，所以点P即为所求．
分别以A、C为圆心，以大于长的一半为半径画弧，连接两弧的交点交于P，连接即为所求．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段的垂直平分线，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的作图方法．
16. 关于x的一元二次方程．
（1）若是该方程的一个根，求该方程的另一个根；
（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）0 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）把代入原方程可得，求解m，再解方程即可得到另外一个根；
（2）先计算根的判别式，再配方判断根的判别式的值，从而可得答案．
【小问1详解】
解：由题意，，
解得，
∴方程为，
解得，，
∴方程的另一个根为0．
【小问2详解】
∵，
∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．
17. 如图，在平行四边形中，，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）通过条件可证得，，得出四边形是平行四边形，通过邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）先利用勾股定理求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可得解．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
点F是的中点，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
是菱形．
【小问2详解】
解：四边形是平行四边形，
是菱形，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查勾股定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18. 学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根C．趣挖番薯、D．开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．
（1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是__________；
（2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【小问1详解】
解：共有4个小组，甲选择“趣挖番薯”小组的概率是；
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图如图，

共有16种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一个小组，有4种，
∴甲、乙两人选择同一个小组的概率．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，在正方形中，，在边上取中点E，连接，过点E做与交于点G，与的延长线交于点F．

（1）求证：；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】（1）正方形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证；
（2），得到，求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再利用面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：∵在正方形中，，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
则的面积为．
【点睛】本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似．
20. 某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米；已知，，，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计）
【答案】凌霄塔的高度为42米，见解析
【解析】
【分析】先证明，求出的长，再证明即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴解得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴凌霄塔的高度为42米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．
21. 代数推理：
阅读材料：利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：；
（2）将多项式变形为形式，并求出的最小值；
（3）若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，试比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）36，6
（2），最小值为
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可；
（3）根据的值判断即可．
【小问1详解】
由完全平方公式可得，
故答案为：；．
【小问2详解】
，
无论取何值，总是非负数，
即，
∴，
∴的最小值为．
【小问3详解】
由题意得：，
，
∴，
，
，
，
无论取何值，总是非负数，即，
∴，
∴的最小值为11，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的非负性，解题的关键是配方求最小值：把式子化为的形式，当时取得最小值为．
22. 某校数学兴趣小组活动：用一张矩形纸片剪出一张菱形纸片，要求菱形的各个顶点均落在矩形的边或顶点上，例如：过矩形两对角线的交点，作两条互相垂直的直线与矩形四边相交，依次连结四个交点，沿连线可剪出菱形．

（1）请画2种符合要求的示意图；
（2）若，，求出你所作的其中一个菱形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）如图1，；如图2，
【解析】
【分析】（1）如图1所示，作，过点作于点，则四边形是菱形；如图2所示，分别取矩形的各边的中点，顺次连接则四边形是菱形，
（2）根据作图，以及勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1所示，作，过点作于点，则四边形是菱形，
根据作图可知四边形是矩形，又，则四边形是正方形，则四边形是菱形，
如图2所示，分别取矩形的各边的中点，顺次连接则四边形是菱形，
根据作图勾股定理，可得，则四边形是菱形；
【小问2详解】
①如图1，∵，
∴菱形边长；
②如图2，∵分别为矩形的各边的中点，
∴，
在中，，
∴菱形边长；
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23. 阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图表．请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）表中的 ， ，并将频数分布直方图补全；
（2）估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生大约有多少名？
（3）E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）12，；见解析
（2）每周课余阅读时间不足小时的学生大约有300人；
（3）
【解析】
【分析】（1）先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率；
（2）根据每周课余阅读时间不足小时的学生的频率，估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生数即可；
（3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
【小问1详解】
解：∵抽取的学生数为人，
∴人，
，
频数分布直方图如下：
故答案为：12，；
【小问2详解】
解：该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生大约有：人；
答：每周课余阅读时间不足小时的学生大约有300人；
【小问3详解】
解：树状图如图所示：
总共有12种等可能的结果，其中刚好是1名男生和1名女生的结果有6种，
∴抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
24. 如图，在中，对角线和相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F，，求的长度．

【答案】
【解析】
【分析】如图，过作，交于，则，，由平行四边形的性质可得，解得，，则，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作，交于，

∴，
∴，
∵，
∴，解得，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25. 阅读材料：
材料1：若关于一元二次方程的两个根为，则，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
则
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ；
（2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，求的值；
（3）思维拓展：已知实数满足，，且，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据材料1中，一元二次方程根与系数关系即可得到，，然后代入求解即可得到答案；
（2）根据材料1及材料2，由一元二次方程根与系数关系，得到，，将化为，将，代入求值即可得到答案；
（3）根据题意，确定与看作是方程的两个实数根，由一元二次方程根与系数关系，得到，，再由变形得到，将，代入求值即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程的两个根为，，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵一元二次方程的两根分别为，
∴，．
∴；
【小问3详解】
解：∵实数满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，灵活运用所学知识是解答本题的关键．
26. 综合与实践．
问题情境：
综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．
实践操作：
如图1，将等腰Rt△AEF绕正方形ABCD的顶点A逆时针方向旋转，其中∠AEF＝90，EA＝EF，连接CF，点H为CF的中点，连接HD，HE，DE，得到△DHE．
应用探究：
（1）勤奋组：
如图2，当点E恰好落在正方形ABCD的对角线AC上时，判断△DHE的形状，并说明理由；
（2）善思组：
如图3，当点E恰好落在正方形ABCD的边AB上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
深入探究：
（3）创新小组：
发现若连接BE，在旋转Rt△AEF的过程中，为定值，请你直接写出其值 ．
【答案】（1）勤奋组：△DHE是等腰直角三角形，见解析；（2）善思组：成立，见解析；（3）创新小组：
【解析】
【分析】（1）结论：△DHE是等腰直角三角形．利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可．
（2）即可成立，连接BH，过点H作HG⊥AB于G．想办法证明DH＝BH，BH＝EH，∠DHE＝90°，可得结论．
（3）利用相似三角形的判定和性质解决问题即可．
【详解】解：（1）结论：△DHE是等腰直角三角形．
理由：如图2中，
∵四边形ABCD正方形，
∴∠CDF＝90°，∠DCA＝45°，
∵点H是CF中点，
∴DH＝DH＝HF＝CF，
∵∠CEF＝90°，CH＝HF，
∴EH＝CH＝HF＝CF，
∴DH＝HE，
∵DH＝CH＝HE，
∴∠HCD＝∠HDC，∠HCE＝∠HEC，
∵∠DHF＝∠HDC+∠HCD，∠FHE＝∠HCE+∠HEC，
∴∠DHE＝2∠DCH+2∠HCE＝2∠DCA＝90°，
∴△DHE是等腰直角三角形．
（2）如图3中，结论成立．
理由：连接BH，过点H作HG⊥AB于G．
∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°
∴A，F，A共线，
∵CB＝CD，∠BCH＝∠DCH＝45°，CH＝CH，
∴△BCH≌△DCH（SAS），
∴DH＝BH，∠CDH＝∠CBH，
∵∠FEA＝∠HGA＝∠CBA＝90°，
∴EF∥GH∥BC，
∴，
∵CH＝HF，
∴GB＝GE，
∵HG⊥BE，
∴HB＝HE，
∴∠HBE＝∠HEB，HE＝HD，
∵∠CDA＝∠CBA＝90°，∠CDH＝∠ABH，
∴∠ADH＝∠ABH＝∠HEB，
∵∠HEB+∠AEH＝180°，
∴∠ADH+∠AEH＝180°，
∴∠DHE+∠DAE＝180°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴△DHE是等腰直角三角形．
（3）如图1中，连接AC，BE．
∵∠CAB＝∠EAF＝45°，
∴∠CAF＝∠BAE，
∵，
∴△BAE∽△CAF，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．例题：求的最小值
解：
无论取何值，总是非负数，
即所以
所以：当时，有最小值，最小值为5
组别
时间/小时）
频数（人数）
频率
A
6
B
a
C
10
D
8
b
E
4
合计
1