江西省九江市2024年中考数学考前模拟预测试题

这是一份江西省九江市2024年中考数学考前模拟预测试题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）(共6题；共18分)
1．（3分）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（ ）
A．4：9B．16：81C．2：3D．1：3
2．（3分）将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y=2(x-5)2+5B．y=2x2C．y=2(x-1)2+5D．y=2(x-1)2-1
3．（3分）半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（ ）
A．3πB．6πC．9πD．12π
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（ ）
A．522B．352C．453D．523
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y=ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P−2,0，且与y轴正半轴相交，则二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧 AB 上一点（不与A，B重合），则csC的值为（ ）
A．43B．34C．35D．45
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）(共6题；共18分)
7．（3分）方程3x2=4x的根是 ．
8．（3分）在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点P是△ABC内一点，满足∠CBP=∠ACP，则PA的最小值为 .
9．（3分）已知抛物线y=(x−m)2+n与x轴交于(−1，0)，(3，0)两点，则方程(x−1)2+m2=2m(x−1)−n的解为 .
10．（3分）等腰梯形的上底是10cm，下底是16cm，高是4cm，则等腰梯形的周长为 cm．
11．（3分）如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形ABCD是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变AC的长来调节BD的长，已知AB=50cm，BD的初始长为50cm，如果要使BD的长达到60cm，那么AC的长需要缩短 cm．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC，CD上，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，H，且AE=BF．有下列四个结论：①AE垂直平分BH；②若点P是边AB上的一个动点，则PH+PC的最小值为43；③GH2=AG⋅EG；④S△ABH=62．其中正确的有 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）(共5题；共30分)
13．（6分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在DC上，点F在AB的延长线上，DE=BF，连接BD，EF.
（1）（3分）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）（3分）若AD=EC=2DE，求sinF的值．
14．（6分）如图是由小正方体组成的立体图的俯视图，数字表示小正方体的个数，请画出从正面看和从左面看该立体图的图形．
15．（6分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+6=0的两实数根，且x12+x22=5，求m的值是多少？
16．（6分）从甲学校到乙学校有A1、A2、A3三条线路，从乙学校到丙学校有B1、B2二条线路．
（1）利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果；
（2）小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了B1线路的概率是多少？
17．（6分）已知某抛物线的顶点坐标是(3，5)，且经过点A(1，3)．
（1）（3分）求此抛物线的表达式；
（2）（3分）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是点B，且抛物线与y轴的交点是点C，求△ABC的面积．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）(共3题；共24分)
18．（8分）如图，从地面A，B两地测量空中C处一个气球，分别测得仰角为37°，70°． 已知AB两地相距50m，当气球沿着与AB平行的线路飘移5秒后到达点C'，在B处测得气球的仰角为45°． 求：
（1）（4分）气球距离地面的高度．
（2）（4分）气球飘移的速度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
19．（8分）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；1件甲种电子产品比1件乙种电子产品的销售额多300元．
（1）（4分）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？
（2）（4分）若使甲乙两种电子产品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种电子产品多少万件？
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AD和BC分别是⊙O的切线，CO平分∠BCD，且与⊙O交于点E，连接BE．
（1）（4分）求证：CD是⊙O的切线；
（2）（4分）若AD=1，CD=4，求BE的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）(共2题；共18分)
21．（9分） 在学习等腰直角三角形中，发现了很多有趣的问题．
（1）（3分）问题解决：如图①，F为等腰直角三角形BC上一点，AF绕点A逆时针旋转90°得AE，连接EF，求证：∠BAE=∠CAF；
（2）（3分）问题探究：如图②，在(1)的条件下，连接BE，探究BE，BF，BC之间的数量关系；
（3）（3分）拓展延伸：如图③，在四边形ABDC中，∠BAC=∠BDC=90°，AB=AC，连接AD，则BD，DC，AD之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
22．（9分）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．
（1）（3分）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有 ；
②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB=1，则BC= ；
（2）（3分）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP=2，PC=8，求另一条对角线BD的长；
（3）（3分）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A(−2，0)，C(1，0)，B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为63，若二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的图象同时经过这四个顶点，求a的值．
六、解答题（本大题共12分）(共1题；共12分)
23．（12分）综合探究
【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B，C重合），BF⊥AE于点G，交对角线AC于点H，交CD于点F．为了探究HC与BE之间的数量关系，在如图2中，作∠BEM=45°，EM交AB的延长线于点M．
（1）（4分）如图2，①求证：△BHC∽△AEM；②当AB=42，BE=2时，求证：CHBE=425；
（2）（4分）【类比迁移】如图3，在矩形ABCD中，AB=4，BC=42，BE=14BC，BF⊥AE于点G，交AC于点H，交CD于点F．求CHBE的值；
（3）（4分）【拓展应用】如图4，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E是DC的中点，DF⊥AE，交AE于点G，交AC于点F．请直接写出FCDE的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴两个相似三角形的面积之比为492=1681.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】 将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移2个单位得到y=2(x-3+2)2+2， 再向上平移3个单位得到y=2(x-3+2)2+2+3，整理得y=2(x-1)2+5，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数图象的几何变换规律”上加下减，左加右减“求解即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：S= 120π×62360 =12π，
故选：D．
【分析】根据扇形的面积公式S= nπR2360 计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S= nπR2360 是解题的关键．
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】D
【解析】【解答】解：作直径AD，连结BD，如图．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD= 102−62 =8，∴csD= BDAD = 810 = 45 ．∵∠C=∠D，∴csC= 45 ．故答案为：D．
【分析】作直径AD，连结BD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD=90°，在Rt△ABD中根据勾股定理得出BD的长，根据余弦函数的定义得出csD的值，根据同弧所对的圆周角相等及等角的同名三角函数值相等得出结论。
7．【答案】x1=0，x2=43.
【解析】【解答】3x2=4x，
3x2-4x=0，
x3x-4=0，
∴x=0或3x-4=0，
解得：x1=0，x2=43，
【分析】根据解一元二次方程的解法，利用因式分解即可解得。
8．【答案】2
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠DCA=90°，
∵∠DBC=∠DCA，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA交⊙O于点D，此时DA最小，
在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=12BC=3，
根据勾股定理得：OA=OC2+AC2=32+42=5，
∴DA=OA-OD=5-3=2．
故答案为：2．
【分析】首先证明∠BDC=90°，点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA与⊙O交于点D，此时DA最小，利用勾股定理求出OA=5，根据DA=OA-OD，即可得到答案．
9．【答案】x1=0，x2=4
【解析】【解答】解：(x−1)2+m2=2m(x−1)−n化简得：(x−m-1)2+n=0，
已知抛物线y=(x−m)2+n与x轴交于(−1，0)，(3，0)两点，
∴y=(x−m-1)2+n与x轴交点为0，0，(4，0)，
∴方程(x−1)2+m2=2m(x−1)−n的解为x1=0，x2=4.
故答案为：x1=0，x2=4
【分析】把方程(x−1)2+m2=2m(x−1)−n化简为(x−m-1)2+n=0，已知抛物线y=(x−m)2+n与x轴交于(−1，0)，(3，0)两点，根据抛物线的平移规律可得y=(x−m-1)2+n与x轴交点为0，0，(4，0)，即可得解.
10．【答案】36．
【解析】【解答】解：过A，D作下底BC的垂线，
则BE=CF= 12 （16-10）=3cm，
在直角△ABE中根据勾股定理得到：
AB=CD= 32+42 =5，
所以等腰梯形的周长=10+16+5×2=36cm．
故答案为：36．
【分析】首先根据题意画出图形，过A，D作下底BC的垂线，从而可求得BE的长，根据勾股定理求得AB的长，这样就可以求得等腰梯形的周长了．
11．【答案】503−80
12．【答案】①②③
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC//AB，即DE//BF．
又∵DE=BF,
∴四边形BFED是平行四边形；
（2）解：∵四边形BFED是平行四边形，
∴BD//FE,∴∠ABD=∠F.
在△ABD中，∵AD=EC=2DE,∴AB=3DE，
∴BD=AD2+AB2=4DE2+9DE2=13DE，
∴sinF=sin∠ABD=ADBD=2DE13DE=21313．
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得出DC∥AB，即DE∥BF，结合DE//BF，即可得出 四边形BFED是平行四边形；
（2）首先得出∠ABD=∠F，然后根据勾股定理求得BD=13DE，AD=2DE，在△ABD中， 根据正弦的定义，即可得出
sinF=21313。
14．【答案】解：如图所示：
【解析】【分析】由俯视图可知：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，3，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，3，2，据此画图即可.
15．【答案】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+（m+1）x+m+6=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣（m+1），x1x2=m+6，
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=5，
∴（m+1）2﹣2（m+6）=5，
解得：m1=4，m2=﹣4，
又∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0有两个实数根，
∴△=（m+1）2﹣4（m+6）≥0，
∴当m=4时，
△=25﹣40=﹣15＜0，舍去；
故符合条件的m的值为m=﹣4
【解析】【分析】首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x12+x22转换为（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果．
16．【答案】解：（1）利用列表或树状图的方法表示从甲校到丙校的线路所有可能出现的结果如下：
（2）∴小张从甲学校到丙学校共有6条不同的线路，其中经过B1线路有3条，∴P（小张恰好经过了B1线路）=36=12．
【解析】【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，注意要不重不漏；
（2）依据表格或树状图即可求得小张从甲学校到丙学校共有6条不同的线路，其中经过B1线路有3条，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．
17．【答案】（1）解：设此抛物线的表达式为y＝a(x－3)2＋5，
将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得 a=−12
∴此抛物线的表达式为 y=−12(x−3)2+5 .
（2）解：∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴B(5，3)．
令x＝0， y=−12(x−3)2+5 ，则 C(0，12) .
∴△ABC的面积 =12×(5−2)×(3−12)=5 .
【解析】【分析】（1）已知抛物线顶点（h，k）求二次函数表达式，可设成顶点式y=a（x-h）2+k，再代入抛物线上已知点即可求出a，继而可写出二次函数的表达式；
（2）根据抛物线的对称性可确定点B，与y轴交点横坐标为0，可求出点C坐标。再通过三角形的面积公式即可求出 △ABC的面积 。
18．【答案】（1）82516m
（2）10516（米/秒）
19．【答案】（1）设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的销售单价是y元
根据题意得：2x=3yx−y=300，
解得：x=900y=600．
答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的销售单价是600元；
（2）设销售甲种电子产品m万件，则销售乙种电子产品(8−m)万件， 6分
根据题意得：900m+600(8−m)≥5400，
解得：m≥2，
∴m的最小值为2．
答：至少销售甲种电子产品2万件．
20．【答案】（1）证明：过点O作OF⊥CD于F
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC于B，
又∵CO平分∠BCD，
∴OF=OB
OB是⊙O的半径
∴OF也是⊙O的半径
∴CD是⊙O的切线．
（2）方法一：
由（1）得CD是⊙O的切线，切点为F，
∵AD和BC分别是⊙O的切线，
∴CD=AD+BC
BC=4−1=3
∵AD和BC分别是⊙O的切线，
∴∠BAD=∠ABC=90°
过点D作DH⊥BC于H，即∠BHD=90°
∴四边形ABHD是矩形，
BH=AD=1，CH=3−1=2
在Rt△CHD中，∠CHD=90°
DH=42−22=23，
AB=DH=23，OB=3．
cs∠DCH=24=12，
∴∠DCH=60°．
∴∠BCO=30°
∴∠BOE=90°−30°=60°，
又OB=OE
∴△OBE是等边三角形，
∴BE=OB=3．
方法二：
由（1）得CD是⊙O的切线，切点为F，
AD和BC分别是⊙O的切线，
∴CD=AD+BC
BC=4−1=3．
∵AD和BC分别是⊙O的切线，
∴∠BAD=∠ABC=90°
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴AD//BC
∴∠ADC+∠BCD=180°．
连接OD
∵CD是⊙O的切线，切点为F，
AD和BC分别是⊙O的切线，
∴∠ADO=∠ODC，∠BCO=∠OCD
∴∠ODC+∠OCD=90°
∴∠COD=90°．
OD2+OC2=CD2=42
设⊙O的半径为r
OD2=12+r2，OC2=r2+32
∴12+r2+r2+32=42
解得r=3．
在Rt△OBC中，∠OBC=90°
OC=32+32=23
∵OE=r=3
∴CE=23−3=3=OE
∴点E是OC中点，
∴BE=12OC=3
21．【答案】（1）证明： ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB=AC ， ∠BAC=90° ，
由旋转可知： △AEF 是等腰直角三角形，
∴AE=AF ， ∠EAF=90° ，
∴∠BAE=90°-∠BAF=∠CAF ，
∴∠BAE=∠CAF ；
（2）解：BE+BF=BC，理由如下：
由(1)∠BAE=∠CAF，AB=AC，AE=AF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴BE=CF，
∵BC=BF+CF=BF+BE，
∴BE+BF=BC；
（3）解：结论：2DA=DB+DC，理由如下：
将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=90°，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∵∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴点D、C、E在同一条直线上，
∵∠DAE=90°，DA=EA，
∴△DAE是等腰直角三角形，
∴DA2+AE2=DE2，
∴2DA2=(DB+DC)2，
∴2DA=DB+DC．
【解析】【分析】（1）由旋转可知： △AEF 是等腰直角三角形，进而可得结论；
（2）结合（1）证明△ABE≌△ACF（SAS），得BE=CF，即可得结论；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，可证点D、C、E在同一条直线上，再证明△DAE是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可得出结论．
22．【答案】（1）菱形、正方形；3或33
（2）解：过O点作OH⊥BD，连接OD，
∴∠OHP=∠OHD=90°，BH=DH=12BD，
∵AP=2，PC=8，
∴⊙O直径AC=AP+PC=10，
∴OA=OC=OD=5，
∴OP=OA−AP=5−2=3，
∵四边形ABCD是“美丽四边形”，
∴∠OPH=60°，
在Rt△OPH中，sin∠OPH=OHOP=32，
∴OH=32OP=332，
在Rt△ODH中，DH=OD2−OH2=732，
∴BD=2DH=73；
（3）解：过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∴∠BMO=∠DNO=90°，
∵四边形ABCD是“美丽四边形”，
∴∠BOM=∠DON=60°，
∴tan∠DON=DNON=3，
即yDxD=3，
∴直线BD解析式为y=3x，
∵二次函数的图象过点A(−2，0)、C(1，0)，
即与x轴交点为A、C，
∴用交点式设二次函数解析式为y=a(x+2)(x−1)，
∵y=a(x+2)(x−1)y=3x整理得：ax2+(a−3)x−2a=0，
∴xB+xD=−a−3a，xB⋅xD=−2，
∴(xB−xD)2=(xB+xD)2−4xB⋅xD=(−a−3a)2+8，
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AC⋅BM+12AC⋅DN=12AC(BM+DN)=12AC(yD−yB)=12AC(3xD−3xB)=332(xD−xB)，
∴332(xD−xB)=63，
∴xD−xB=4，
∴(−a−3a)2+8=16，
解得：a1=−3+267，a2=−3−267，
∴a的值为：−3+267
【解析】【解答】解：（1）①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，
∴菱形、正方形不是“美丽四边形”，
故答案为：菱形、正方形；
②设矩形ABCD对角线相交于点O，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∠ABC = 90°，
∴AO=BO=CO=DO，
∵矩形ABCD是“美丽四边“，
∴AC、BD所夹锐角为60°，
i)如图1，若AB=1为较短的边，则∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB = 60°，
∴在Rt△ABC中，
tan∠OAB=BCAB=3，
∴BC=3AB=3；
ii)如图2，若AB=1为较长的边，则∠BOC = 60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB = 60°，
∴在Rt△ABC中，
tan∠OCB=ABBC=3，
∴BC=AB3=33；
故答案为：3或33；
【分析】（1）①由菱形、正方形的对角线互相垂直即可判断；
②矩形ABCD对角线相等且互相平分，再加上对角线所夹锐角为60°，即出现等边三角形，所以得到矩形相邻两边的比等于tan 60° ，由于A B边不确定是较长还是较短的边，故需要分类讨论计算；
（2）过O点作OH⊥BD，连接OD，由∠DPC= 60°可求得OH，在Rt△ODH中，勾股定理可求DH，再由垂径定理可得BD = 2DH；
（3）由BD与x轴成60°角可知直线BD解析为y=3x，由二次函数图象与x轴交点为A、C可设解析式为y= a(x+3)(x-2)，把两解析式联立方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，解即为点B、D横坐标，再用韦达定理得到xB+xD和xB·xD进而得到用a表示的（xB-xD）2，又由四边形面积可求得xB-xD=6，即得到关于a的方程并解方程求得a.
23．【答案】（1）解：①证明：在正方形ABCD中，
∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，∠BCH=45°，
又∵∠BEM=45°，∴∠BCH=∠M=45°．
∵BF⊥AE，∴∠BAG+∠ABG=90°．
∵∠HBC+∠ABG=90°，∴∠HBC=∠BAG=∠BAM，
∴△BHC∽△AEM．
②证明：在Rt△BEM中，∠MBE=90°，∠BEM=45°，
∴∠M=45°，∴BM=BE=2，∴EM=2，
∴AM=AB+BM=52．
∵△BHC∽△AEM，∴CHEM=BCAM，
即CH2=4252，∴CH=85，
∴CHBE=852=425．
（2）解：由题意可得BE=14BC=14×43=3．
在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC=443=33，
∴∠ACB=30°．
如答25－1图，作∠BEN=60°，EN交AB的延长线于点N，则∠N=30°=∠ACB，
答25－1图
∴BN=3BE=3，
∴AN=AB+BN=7．
同（1）①可证△BCH∽△ANE，∴CHNE=BCAN=437，
∵NE=2BE，∴CH2BE=437，∴CHBE=837．
（3）解：FCDE=47
A1
A2
A3
B1
（A1、B1）
（A2、B1）
（A3、B1）
B2
（A1、B2）
（A2、B2）
（A3、B2）