数学：甘肃省陇南市三县联考2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：甘肃省陇南市三县联考2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一，解答题二等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得：，
解得：，
故选：D．
2. 在中，，，的对边分别为，,,若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在中，，，的对边分别为，，，若，
则为直角三角形，，
，
，
故选：B．
3. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. ，故A选项错误，不符合题意；
B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. ，故C选项错误，不符合题意；
D. ，故D选项错误，符合题意．
故选D．
4. 如图，在中，为边延长线上一点，连接，．若的面积为6，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】设与之间的距离为，
，
，
，
故选：C．
5. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
AB=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AC=，
∴AD=，
∴点D表示数为：-1，
故选B.
6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. 12D. 18
【答案】B
【解析】由题意得：，解得，
，，
，故选B．
8. 如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
故选：D．
9. 如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ）．
A. 18B. 20C. 22D. 24
【答案】B
【解析】如图，设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，，
根据轴对称可知，，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小，
即为蜘蛛所走最短路径，
由题意得：，，，
∴，
∴．
故选：B．
10. 如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，值最小，
此时，，
∴，
∴的最小值为．
故选：A．
二、填空题
11. 已知最简二次根式与能合并，则__________．
【答案】
【解析】最简二次根式与能合并，
，
．
故答案是．
12. 已知P是直角坐标系内一点，若点P的坐标为 ，则它到原点的距离是_______．
【答案】
【解析】∵点P的坐标为 ，
∴它到原点的距离是．
故答案为：．
13. 若，且，则的值是_________．
【答案】1或5
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
当时，；
当时，，
∴的值是1或5，
故答案为：1或5．
14. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______．
【答案】45°
【解析】连接AC，
根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．
∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
15. 已知，，三地的位置及两两之间的距离如图所示．若地位于，两地的中点处，则，两地之间的距离是______．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴
∴
∵地位于，两地的中点处
∴．
故答案为：．
16. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接．若，，则的度数为________．
【答案】35
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是是中位线，
∴，
∴．
故答案为：35．
17. 如图，直线经过正方形的顶点，分别过该正方形的顶点、作于，于．若，，则的长为________．
【答案】9
【解析】∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：9．
18. 如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 _____．
【答案】或
【解析】如图所示，连接，
∵矩形中，，，分别是的中点，
∴，
∵是上动点，速度均为，运动时间为秒，
∴，
当为顶点的四边形为矩形时，则，
∴①，解得，；
②，解得，；
综上所述，当为或时，为顶点的四边形为矩形，
故答案为：或．
三、解答题一
19. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式．
20. 如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形．

证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
21. 如图，在中，顶点A，B，C均在格点上，为格点三角形，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度．
（1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为．此时，点C的坐标为______；
（2）判断的形状，并说明理由．
解：（1）如图，建立坐标系如下：
∴；
（2）由勾股定理得，，
∴
∴是直角三角形，且．
22. 已知，，分别求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴
．
23. 如图，在中，的平分线交边于点，是边上的一点，且，连接．判断四边形的形状，并证明你的结论．

解：四边形是菱形．证明如下：
平分，
．
四边形是平行四边形，
．
，
．
．
又，
．
在四边形中，，，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．
四、解答题二
24. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
（1）解：在中，由勾股定理得，，
∴米或米 （负值舍去），
∴（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
25. 如图，在矩形中，点为边上一点，，交于点，若，矩形的周长为16，且，求矩形的面积．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∵矩形的周长为16，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26. 【观察思考】观察下列各式：
；
；
．
…
请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：
（1）______________；
（2）根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：_______________；
（3）用上述规律计算：．
解：（1）由所给算式可得，
故答案为：；
（2）由所给算式可得，
故答案为：；
（3）．
27. 综合与实践：
【问题背景】：
（1）三角形中位线定理：如图①，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系；
【知识应用】
（2）如图②，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，， ，，求的度数；
【解决问题】
（3）如图③，在四边形中，点M，N分别为边，的中点，对角线与相交于点E，连接，分别交，于点F，G，．求证：．
（1）解：，；
（2）解：连接，如图所示，
∵点E，F分别是边，的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）证明：取的中点H，连接，．
∵M，H分别是，的中点，
∴是中位线，
∴且，
同理可得且．
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
28. 综合与探究：
【问题情境】：
如图①，在正方形中，点E为其内部一点，为直角三角形，且，连接，将绕点B按顺时针方向旋转，得到，点E的对应点为点，点A的对应点为点C，延长交于点F．
【提出问题】：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展探究】：
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
解：（1）四边形是正方形．
理由如下：
∵是由绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由旋转可知：，
∴四边形正方形；
（2）．
证明：如图②，过点D作于点H，
则，，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
由旋转可知：，
由（1）可知：四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．