数学：江苏省南通市海安市西片联盟2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：江苏省南通市海安市西片联盟2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A.，与2不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：B．
2. 在下列图象中，是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据函数定义：对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，
所以：A，B，C的图象都不能表示是的函数，D的图象能表示是的函数，
故选：D．
3. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A. 0.3，0.4，0.5B. 9，40，41
C. 2，3，4D. 1，，
【答案】B
【解析】A．、、，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；
B．、、，是正整数，且满足，是勾股数，选项正确；
C．2、3、4，是正整数，但，所以不是勾股数，选项正确；
D．、、，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；
故选：B．
4. 已知是整数，正整数n的最小值为（ ）
A. 12B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】∵，
∴当时，是整数，
∴正整数n的最小值为3，
故选： ．
5. 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线互相平分且垂直
C. 对角线互相平分且相等D. 对角线互相垂直且相等
【答案】C
【解析】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C.对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形；
D.对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形；
故选：C．
6. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
故选：B．
7. 若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，则四边形一定是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形B. 对角线相等的四边形
C. 对角线互相平分的四边形D. 对角线互相垂直且平分的四边形
【答案】A
【解析】如图：分别为的中点，四边形为矩形，
则：，
∵四边形为矩形，∴，
∴，
∴四边形一定是对角线互相垂直的四边形；故选A．
8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（ ）

A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
∴，
故选：D．
9. 如图1，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（ ）
A. 25B. 20C. 12D.
【答案】C
【解析】如图，连接AC交BD于O，
由图②可知，BC=CD=5，BD=18-10=8，
∴BO=BD=×8=4，
在Rt△BOC中，CO==3，
AC=2CO=6，
所以，菱形的面积=AC•BD=×6×8=24，
当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为a，
所以，a=×24=12．
故选：C．
10. 已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】过点的直线不经过第四象限，
，，，
，
，解得：，
，
，
，
即S的取值范围为：，
故选B．
二、填空题
11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
【答案】x≤1
【解析】∵二次根式有意义，被开方数为非负数，
∴1 -x≥0，解得x≤1.故答案为x≤1.
12. 一条直线y＝kx＋b与直线y＝－2x＋3平行，且经过点P(2，4)，则该直线的表达式是______．
【答案】
【解析】因为一条直线y＝kx＋b与直线y＝－2x＋3平行，则有k=-2，把点P(2，4)代入解析式得：，解得b=8，故解析式为；
故答案为．
13. 若的周长为6，则以三边的中点为顶点的三角形的周长等于______．
【答案】3
【解析】如图所示，点D、E、F分别是的中点，

∴，
∵的周长为6，∴的周长为：，
故答案为：3．
14. 如图，在中，平分交于点E，若，则的周长是______．
【答案】32
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵平分，
∴，
，
∴，
∴平行四边形的周长为．故答案为：32．
15. 如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为，利用勾股定理求出旗杆的高度约为__________ ．

【答案】旗杆的高度为12米
【解析】设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米，

在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，
解得，x=12．
答：旗杆的高度为12米．
16. 如图，矩形中，，，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，则的长为______．
【答案】3
【解析】∵四边形为矩形，
∴，
由翻折的性质可知．
设，则．
在中，由勾股定理可得，
∴，在中，，
∴，解得，
∴．故答案为：3．
17. 在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为．若正比例函数的图象与线段有公共点，则m的取值范围是______．
【答案】或
【解析】当过点时，则：，∴；
当过点时，则：，
∵正比例函数的图象与线段有公共点，
∴或；故答案为：或．
18. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为______．
【答案】
【解析】过点E作EF∥MN，过点M作MF∥EN交EF于点F，连接AF，如图：
则四边形MNEF为平行四边形，
∴MN=EF，MF=NE，MN∥EF，
∴AM+NE=AM+ MFAF，
∴当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长，
过点M作MG⊥AB于点G，MN与AE相交于点O，如图：
∵四边形ABCD是正方形，MN⊥AE，
∴∠AON=∠B=90°，AB=BC=MG，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴Rt△ABE≌Rt△MGN，
∴AE=MN，
∵MN=EF，MN∥EF，
∴AE=MN=EF，AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵AB=3BE=6，
∴BE=2，
由勾股定理得AE=，
∴AF=，
即AM+NE的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
19. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）．
．
20. 为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
（1）四边形的面积；
（2）点D到的距离．
解：（1）连结，
在中，∵，，
∴
在中，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴
答：四边形的面积为．
（2）过点D作于点E
∵
∴；
答：点D到的距离为．
21. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为，点A的坐标为．点是第二象限内的直线上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式；
（3）当的面积是时，求此时P点的坐标．
解：（1）将代入，得，
解得，；
（2）由（1）得：直线的解析式为，
∵，∴，
∵，∴，
∴；
（3）当时，则，
解得，，
∴，
∴P点的坐标为．
22. 如图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
解：（1）四边形是菱形，
理由：，平分，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）平分，，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
的长为．
23. 已知与x成正比例，当时，．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）请在图中画出该函数的图象；
（3）已知，P为（2）中图象上的动点，Q是y轴上的动点，连接，则的最小值小为______．
（1）解：设，把时、代入得：，解得．
，即．
（2）解：把代入得：，
把代入得：，解得，
函数图象过点，函数图象，如图所示：

（3）解：如图：作点A关于原点的对称点，作于点，交轴于点，此时取得最小值，最小值为，
如图：连接，
∵点，，，，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：4．
24. 为增强学生体质，让学生享受阳光体育大课间活动，某学校准备采购甲、乙两种跳绳供学生使用．经询价，现有一家商场对甲种跳绳的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种跳绳按25元/根的价格出售，设该学校购买甲种跳绳x根，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该学校计划一次性购买甲，乙两种跳绳共100根，且甲种跳绳不少于40根，但又不超过60根，如何分配甲，乙两种跳绳的购买量，才能使该校付款总金额w最少？
解：（1）当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）．
将坐标代入，
得，
解得，
；
当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）．
将坐标和代入，
得，
解得，
．
综上，y与x之间的函数关系式为．
（2）设购买甲种跳绳m根，则购买乙种跳绳根，
根据题意，得．
当时，，
，
随m的减小而减小，
，
当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）；
当时，，
，
随m的增大而减小，
，
当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）．
，
购买甲种跳绳40根、乙种跳绳60根才能使该校付款总金额w最少．
25. 四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．
（1）如图，当点在线段上时，
①求证：矩形是正方形；
②若，，求正方形的边长．
（2）当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数．
（1）①证明：如图，作于，于，得矩形，
，
点是正方形对角线上点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
②解：正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
，
，
连接，
，
．
正方形的边长为；
（2）解：分情况讨论：
当，
，
，
，
，
；
当时，如图所示：
，，
，，
，
综上，或．
26. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B，
（1）直接写出______，______；
（2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点E的坐标为______；
（3）如图3，将直线绕点A顺时针旋转45°得到，求的函数表达式；
【拓展应用】如图4，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线AB上，且点C坐标为，点E坐标为，连接CE，点P为直线AB上一点，满足，请直接写出点P的坐标：______．
【迁移应用】解：对于，
令，则；令，则；
∴，，
（1）∵，，
∴，；
故答案：，；
（2）过点C作轴交于点F，
∵，
∴由K型全等模型可得，
∴，，则，
∴点E的坐标为；
故答案为：；
（3）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，
∵，
∴，由K型全等模型可得，
∵与x轴的交点，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴；
【拓展应用】解：点的坐标：或，
①如图，当点P在射线上时，过点C作交直线于点F，
∵，
∴，
过C作x轴垂线l，分别过F，E作，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
即F点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
②当点P在射线上时，过点C作交直线于点H，过点H作轴交于K，过点H作轴，过点C作交于G，
∵，
∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，∴，
设直线的解析式为，，
∴，∴，联立方程组，解得，
∴，
综合上所述，点P坐标为或．
故答案：或．