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湖南省部分学校2024届高三下学期一起考大联考模拟（二）数学试题
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（时量：120分钟 满分：150分），
命题人：湖南题大附中 陈淼君
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设为复数z的共轭复数，若，，则z在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
7. 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A. 如果，，那么.
B. 如果，，那么.
C. 如果，，，那么.
D. 如果内有两条相交直线与平行，那么.
10. 已知，双曲线C：，则（ ）
A. 可能是第一象限角B. 可能是第四象限角
C. 点可能在C上D. 点可能在C上
11. 已知函数是上的奇函数，等差数列的前项的和为，数列的前n项的和为.则下列各项的两个命题中，是的必要条件的是（ ）
A ，B. ，
C ，D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数是___________.
13. 设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为_________.
14. 过椭圆C：（）上的动点P向圆O：引两条切线．设切点分别是A，B，若直线与x轴、y轴分别交于M，N两点，则面积的最小值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角的对边分别是，且．
（1）求；
（2）若的角平分线交于点，且，求的周长．
16. 如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，．
（1）求该圆台体积；
（2）点E在圆上，且，求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知点，，点A满足，点A的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C方程；
（2）若直线与双曲线：交于M，N两点，且（O为坐标原点），求点A到直线l距离的取值范围.
18. 将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，．
（1）求样本（，2…，15）的相关系数；
（2）假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求（）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望的值．
附：相关系数．
19. 超越数得名于欧拉，它存在是法国数学家刘维尔（Jseph Liuville）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：（，，…，，）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率是超越数．回答下列问题：
已知函数（）只有一个正零点．
（1）求数列的通项公式；
（2）（ⅰ）构造整系数方程，证明：若，则为有理数当且仅当．
（ⅱ）数列中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
（时量：120分钟 满分：150分），
命题人：湖南题大附中 陈淼君
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设为复数z的共轭复数，若，，则z在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在上单调递减且其最小正周期为，则函数的一个零点为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
7. 有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（ ）
A. 如果，，那么.
B. 如果，，那么.
C. 如果，，，那么.
D. 如果内有两条相交直线与平行，那么.
10. 已知，双曲线C：，则（ ）
A. 可能是第一象限角B. 可能是第四象限角
C. 点可能在C上D. 点可能在C上
11. 已知函数是上的奇函数，等差数列的前项的和为，数列的前n项的和为.则下列各项的两个命题中，是的必要条件的是（ ）
A ，B. ，
C ，D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的系数是___________.
13. 设函数图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象上一点处的切线，使得，则实数的最小值为_________.
14. 过椭圆C：（）上的动点P向圆O：引两条切线．设切点分别是A，B，若直线与x轴、y轴分别交于M，N两点，则面积的最小值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角的对边分别是，且．
（1）求；
（2）若的角平分线交于点，且，求的周长．
16. 如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，．
（1）求该圆台体积；
（2）点E在圆上，且，求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知点，，点A满足，点A的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C方程；
（2）若直线与双曲线：交于M，N两点，且（O为坐标原点），求点A到直线l距离的取值范围.
18. 将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，．
（1）求样本（，2…，15）的相关系数；
（2）假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求（）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望的值．
附：相关系数．
19. 超越数得名于欧拉，它存在是法国数学家刘维尔（Jseph Liuville）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：（，，…，，）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率是超越数．回答下列问题：
已知函数（）只有一个正零点．
（1）求数列的通项公式；
（2）（ⅰ）构造整系数方程，证明：若，则为有理数当且仅当．
（ⅱ）数列中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
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