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精品解析：辽宁省鞍山市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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本试卷满分为100分 考试时间90分钟
考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．）
1. 能与合并的二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据可以合并的二次根式是同类二次根式依次分析各选项即可作出判断．
【详解】解：∵
A、∵，∴与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、∵，∴与是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意；
C、∵，∴与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
D、∵，∴与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类二次根式，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
2. 在正比例函数图象上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别将横坐标代入，求出对应的纵坐标，然后进行判断即可．
【详解】解：A.把代入得，则不在函数图象上，不符合题意；
B.把代入得，则不在函数图象上，不符合题意；
C.把代入得，则不在函数图象上，不符合题意；
D.把代入得，则在函数图象上，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特征，掌握“点在函数图象上，则点的坐标满足解析式”是解本题的关键．
3. 为了解甲，乙两种甜玉米产量的情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到的各试验田每公顷的产量绘制统计图如下，下列判断正确的是（ ）
A. 甲种甜玉米平均产量大B. 乙种甜玉米平均产量大
C. 甲种甜玉米产量波动大D. 乙种甜玉米产量波动大
【答案】D
【解析】
【分析】根据图中数据即可得出的波动情况．
【详解】解：从图中看到，乙的波动比甲的波动大，
故选：D．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4. 用一根长度为的小木棍组成直角三角形，另外两根小木棍的长可以是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可
【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B、，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C、，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D、，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选：D．
【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足：时，则是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
5. 某函数图象如图所示，那么函数的变化规律是（ ）
A. 随增大而增大B. 随增大而减小
C. 随有时增大有时减少D. 增大时保持不变
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象从左至右，图象不断下降，可得其增减性，从而可得答案．
【详解】解：由函数图象可得：随增大而减小；
故选B
【点睛】本题考查的是函数的图象与性质，熟练的根据函数的图象总结其增减性是解本题的关键．
6. 如图，是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象，则下列正确的是（ ）
A. k＞0，b＞0B. k＜0，b＜0C. k＞0，b＜0D. k＜0，b＞0
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k，b的取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数图象经过二、四象限，
∴k＜0，
∵一次函数的图象与y轴交于正半轴，
∴b＞0，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要一次函数图象与系数的关系，解题关键在于根据函数图象，判断出函数经过的象限．
7. 如图，在中，点，分别在边，上，且，连接与交于点，则下列结论：①；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，得出，，，从而得出，即可判断①和②，不能判断出③正确
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中
∴
∴，，
∴①和②正确；
∵与不一定能相等，③不一定正确；
故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识得出是解题的关键．
8. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9. 如图，中，点，分别是边，上的点，且，将沿翻折，使点的对称点落在边上，若，，，则的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据折叠的性质和平行线的性质证明，，易得是的中位线，根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：如图，由翻折的性质可得：，
∵
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴是的中位线，，
∵，，
∴，，
∴的周长是，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，中位线的判定，折叠的性质，平行线的性质等，证明出是的中位线是解题的关键．
10. 游泳池设有浅水区及深水区两个不同区域，其横截面如图所示，游泳馆每次向空池注水的速度相同，注水时水的深度随时间的变化而变化，用函数图象刻画这种变化正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于浅水区底面积小，深水区底面积大，所以浅水区水的深度增加的快，深水区水的深度增加的慢，据此求解．
【详解】解：由图可知，浅水区水的深度增加的快，深水区水的深度增加的慢，
符合题意的函数图象是C选项．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是分析得出浅水区水的深度增加的快，深水区水的深度增加的慢．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：二次根式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数非负是解题的关键．
12. 矩形的边长分别为2和，两条对角线相交所形成的夹角中，锐角的度数是______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】利用勾股定理求出，证明是等边三角形，然后可得答案．
【详解】解：如图，在矩形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即两条对角线相交所形成的夹角中，锐角的度数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求出是解题的关键．
13. 某销售公司招聘一名项目经理，甲，乙，丙三人最后考核成绩如下：
公司决定笔试成绕，面试成绩与计算机操作成绩分别按3:5:2计算平均成绩，那么应聘者______会被录取．
【答案】丙
【解析】
【分析】利用加权平均数公式分别求出甲乙丙三人的平均成绩，即可判断
【详解】解：甲的加权平均分是：（分）
乙的加权平均分是：（分）
丙的加权平均分是：（分）
∴丙将被录用；
故答案：丙．
【点睛】本题考查了加权平均数的概念及求法，属于基础题，牢记加权平均数的计算公式是解题的关键．
14. 如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形即可．
【详解】解：根据题意，得，，，
∴，
∴是直角三角形，；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
15. 如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米．
【答案】18
【解析】
【分析】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，则且，于是为平行四边形，故；根据“两点之间线段最短”，最短，即最短，也就是最短，据此求解即可．
【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C，
则且，于是为平行四边形，
故，
当时，最小，也就是最短，
∵（米），（米），（米）
∴在中，（米），
∴的最小值为：（米）
故答案为：18 ．
【点睛】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
三、计算题（本大题共3小题，其中第16，17题每题6分，第18题8分，共20分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先用平方差公式及完全平方公式展开，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式相关的运算法则是解题的关键．其中用到了平方差公式和完全平方公式．平方差公式为：；完全平方公式为：，，利用这两个乘法公式展开是易错点．
17. 已知，求的近似值．（结果保留小数点后两位）
【答案】
【解析】
【分析】原式各项化为最简二次根式，合并后取近似值即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点坐标是，点在轴正半轴上，且，直线交直线于点．求：
（1）的面积；
（2）点的坐标．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，根据坐标得出和的长度，即可求解；
（2）求得点D的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立直线和直线，即可求解．
【小问1详解】
解：直线与轴，轴分别交于，两点，
令解得，令可得，
∴，，
∴
∵点的坐标是，
∴，
的面积为：；
小问2详解】
∵，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
可得，解得，
∴，
∵直线交直线于点，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴交点问题，两直线的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式以及联立方程组求交点坐标是解题的关键．
四、作图题（本大题共2小题，其中第19题7分，第20题8分，共15分）
19. 已知，为矩形的对角线，完成如下操作，并解决问题：
（1）作的垂直平分线；（不写画法，保留作图痕迹）
（2）在直线上确定两点，，使四边形为正方形，简要阐述作法，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析
（2）作法见解析，理由见解析
【解析】
【分析】（1）分别以B、D为圆心，比的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
（2）设直线与的交点为O，以O为圆心，的长度为半径画弧，交直线于两点M、N，连接，，，，根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形即可证明．
【小问1详解】
解：直线如图所示
【小问2详解】
解：正方形如图所示，
设直线与的交点为O，以O为圆心，的长度为半径画弧，交直线于两点M、N，连接，，，，
∵且，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查尺规作图——作垂直平分线，正方形的判定，掌握基本作图以及正方形的判定定理是解题的关键．
20. 完成下列表格，在坐标系中画出函数（）的图象．
根据图象回答问题：观察直线（）的图象，当取何值时？
【答案】
【解析】
【分析】把x的值代入解析式中分别求出y的值，再描点连线画出图象，找到直线（）在（）图象上边对应的x的取值范围
详解】解：当时，
当时，
当时，
当时，
观察图象可知：当时
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数图象性质，熟练掌握描点作图和一次函数及反比例函数图象性质是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
21. 每年6月5日为世界环境日，某中学为增强学生的环保意识，开展了关于保护环境的知识竞赛，经过班级推荐，共有50名学生参赛，其成绩统计如下：
其中分的成绩如下：
81 81 82 82 83 84 84 84 85 85 86 87 87 88 88 90
请回答：
（1）直接写出此次竞赛成绩的中位数；
（2）根据表格估计此次竞赛成绩的平均数；
（3）根据数据，请写出两条可以获得的信息．
【答案】（1）82分 （2）分
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由从小到大排列的50个数据得到排在第25个，26个数据是82，82，可得中位数；
（2）根据加权平均数的公式进行计算即可；
（3）从极差与80分以上的人数占比出发得出两条信息即可．
【小问1详解】
解：∵分的成绩如下：
81 81 82 82 83 84 84 84 85 85 86 87 87 88 88 90
∴排在第25个，26个数据是82，82，
∴中位数为：（分）
【小问2详解】
平均数为：（分）；
【小问3详解】
信息1：50个同学竞赛成绩的极差较大，从而班级之间对环保知识掌握程度的差异较大；
信息2：80分以上的占比为，从而说明整个学生群体对环保知识的掌握程度还需要加强．
【点睛】本题考查的是从频数分布表中获取信息，求解数据的中位数，平均数，利用合适的统计量进行分析，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
22. 高速公路上，两地相距760千米，一辆货车从地开往地，同时一辆客车从地开往地，已知货车的行驶速度为每小时90千米，客车的行驶速度为每小时100千米，设货车与地的距离为（单位：千米），客车与地的距离为（单位：千米）；
（1）分别写出，与出发时间的函数关系式；
（2）若距离地400千米处有一服务区，两车均需要在此处加油和休息，请判断两车是否会同时进入服务区，并说明理由．
【答案】（1），
（2）两车会同时进入服务区，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据：货车与距离小时行驶的路程，客车与距离小时行驶的路程，即可求解；
（2）当时，分别求出时间，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得
，
．
【小问2详解】
解：两车会同时进入服务区，理由如下：
当时，
解得：，
解得：，
，
两车会同时进入服务区．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，列出函数关系式，理解自变量和因变量的实际意义是解题的关键．
23. 如图，在中，，，，点是边中点，连接，过点作，过点作；
（1）判断四边形的形状，并证明结论；
（2）点是线段上的动点，点是线段上的动点，且，连接交于点，若四边形是平行四边形时，求的值，并计算此时的长度．
【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，可得平行四边形是菱形；
（2）证明是等边三角形，根据四边形是平行四边形可得是等边三角形，求出，可得，，然后再根据求此时的长度即可．
【小问1详解】
四边形是菱形；
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
若四边形是平行四边形，
则，即，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用相关判定定理和性质定理进行推理论证是解题的关键．应试者
笔试成绩
面试成绻
计算机操作
甲
88
90
90
乙
92
85
90
丙
90
94
88
…
1
2
4
…
…
3
…
成绩（单位：分）
人数（单位：人）
2
8
12
16
12
本试卷满分为100分 考试时间90分钟
考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．）
1. 能与合并的二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据可以合并的二次根式是同类二次根式依次分析各选项即可作出判断．
【详解】解：∵
A、∵，∴与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、∵，∴与是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意；
C、∵，∴与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
D、∵，∴与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类二次根式，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
2. 在正比例函数图象上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别将横坐标代入，求出对应的纵坐标，然后进行判断即可．
【详解】解：A.把代入得，则不在函数图象上，不符合题意；
B.把代入得，则不在函数图象上，不符合题意；
C.把代入得，则不在函数图象上，不符合题意；
D.把代入得，则在函数图象上，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特征，掌握“点在函数图象上，则点的坐标满足解析式”是解本题的关键．
3. 为了解甲，乙两种甜玉米产量的情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到的各试验田每公顷的产量绘制统计图如下，下列判断正确的是（ ）
A. 甲种甜玉米平均产量大B. 乙种甜玉米平均产量大
C. 甲种甜玉米产量波动大D. 乙种甜玉米产量波动大
【答案】D
【解析】
【分析】根据图中数据即可得出的波动情况．
【详解】解：从图中看到，乙的波动比甲的波动大，
故选：D．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4. 用一根长度为的小木棍组成直角三角形，另外两根小木棍的长可以是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可
【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B、，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C、，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D、，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选：D．
【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知的三边满足：时，则是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
5. 某函数图象如图所示，那么函数的变化规律是（ ）
A. 随增大而增大B. 随增大而减小
C. 随有时增大有时减少D. 增大时保持不变
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象从左至右，图象不断下降，可得其增减性，从而可得答案．
【详解】解：由函数图象可得：随增大而减小；
故选B
【点睛】本题考查的是函数的图象与性质，熟练的根据函数的图象总结其增减性是解本题的关键．
6. 如图，是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象，则下列正确的是（ ）
A. k＞0，b＞0B. k＜0，b＜0C. k＞0，b＜0D. k＜0，b＞0
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k，b的取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数图象经过二、四象限，
∴k＜0，
∵一次函数的图象与y轴交于正半轴，
∴b＞0，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要一次函数图象与系数的关系，解题关键在于根据函数图象，判断出函数经过的象限．
7. 如图，在中，点，分别在边，上，且，连接与交于点，则下列结论：①；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，得出，，，从而得出，即可判断①和②，不能判断出③正确
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中
∴
∴，，
∴①和②正确；
∵与不一定能相等，③不一定正确；
故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识得出是解题的关键．
8. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．
【详解】解：连接AC
在中，，，，，
在中，，，
∴
∴是直角三角形，且．
∴
∴这块菜地的面积是
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9. 如图，中，点，分别是边，上的点，且，将沿翻折，使点的对称点落在边上，若，，，则的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据折叠的性质和平行线的性质证明，，易得是的中位线，根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：如图，由翻折的性质可得：，
∵
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴是的中位线，，
∵，，
∴，，
∴的周长是，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，中位线的判定，折叠的性质，平行线的性质等，证明出是的中位线是解题的关键．
10. 游泳池设有浅水区及深水区两个不同区域，其横截面如图所示，游泳馆每次向空池注水的速度相同，注水时水的深度随时间的变化而变化，用函数图象刻画这种变化正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于浅水区底面积小，深水区底面积大，所以浅水区水的深度增加的快，深水区水的深度增加的慢，据此求解．
【详解】解：由图可知，浅水区水的深度增加的快，深水区水的深度增加的慢，
符合题意的函数图象是C选项．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是分析得出浅水区水的深度增加的快，深水区水的深度增加的慢．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：二次根式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数非负是解题的关键．
12. 矩形的边长分别为2和，两条对角线相交所形成的夹角中，锐角的度数是______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】利用勾股定理求出，证明是等边三角形，然后可得答案．
【详解】解：如图，在矩形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即两条对角线相交所形成的夹角中，锐角的度数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求出是解题的关键．
13. 某销售公司招聘一名项目经理，甲，乙，丙三人最后考核成绩如下：
公司决定笔试成绕，面试成绩与计算机操作成绩分别按3:5:2计算平均成绩，那么应聘者______会被录取．
【答案】丙
【解析】
【分析】利用加权平均数公式分别求出甲乙丙三人的平均成绩，即可判断
【详解】解：甲的加权平均分是：（分）
乙的加权平均分是：（分）
丙的加权平均分是：（分）
∴丙将被录用；
故答案：丙．
【点睛】本题考查了加权平均数的概念及求法，属于基础题，牢记加权平均数的计算公式是解题的关键．
14. 如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形即可．
【详解】解：根据题意，得，，，
∴，
∴是直角三角形，；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
15. 如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是______米．
【答案】18
【解析】
【分析】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，则且，于是为平行四边形，故；根据“两点之间线段最短”，最短，即最短，也就是最短，据此求解即可．
【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸， 过点A作交的延长线于点C，
则且，于是为平行四边形，
故，
当时，最小，也就是最短，
∵（米），（米），（米）
∴在中，（米），
∴的最小值为：（米）
故答案为：18 ．
【点睛】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
三、计算题（本大题共3小题，其中第16，17题每题6分，第18题8分，共20分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先用平方差公式及完全平方公式展开，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式相关的运算法则是解题的关键．其中用到了平方差公式和完全平方公式．平方差公式为：；完全平方公式为：，，利用这两个乘法公式展开是易错点．
17. 已知，求的近似值．（结果保留小数点后两位）
【答案】
【解析】
【分析】原式各项化为最简二次根式，合并后取近似值即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，点坐标是，点在轴正半轴上，且，直线交直线于点．求：
（1）的面积；
（2）点的坐标．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，根据坐标得出和的长度，即可求解；
（2）求得点D的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立直线和直线，即可求解．
【小问1详解】
解：直线与轴，轴分别交于，两点，
令解得，令可得，
∴，，
∴
∵点的坐标是，
∴，
的面积为：；
小问2详解】
∵，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
可得，解得，
∴，
∵直线交直线于点，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴交点问题，两直线的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式以及联立方程组求交点坐标是解题的关键．
四、作图题（本大题共2小题，其中第19题7分，第20题8分，共15分）
19. 已知，为矩形的对角线，完成如下操作，并解决问题：
（1）作的垂直平分线；（不写画法，保留作图痕迹）
（2）在直线上确定两点，，使四边形为正方形，简要阐述作法，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析
（2）作法见解析，理由见解析
【解析】
【分析】（1）分别以B、D为圆心，比的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
（2）设直线与的交点为O，以O为圆心，的长度为半径画弧，交直线于两点M、N，连接，，，，根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形即可证明．
【小问1详解】
解：直线如图所示
【小问2详解】
解：正方形如图所示，
设直线与的交点为O，以O为圆心，的长度为半径画弧，交直线于两点M、N，连接，，，，
∵且，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查尺规作图——作垂直平分线，正方形的判定，掌握基本作图以及正方形的判定定理是解题的关键．
20. 完成下列表格，在坐标系中画出函数（）的图象．
根据图象回答问题：观察直线（）的图象，当取何值时？
【答案】
【解析】
【分析】把x的值代入解析式中分别求出y的值，再描点连线画出图象，找到直线（）在（）图象上边对应的x的取值范围
详解】解：当时，
当时，
当时，
当时，
观察图象可知：当时
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数图象性质，熟练掌握描点作图和一次函数及反比例函数图象性质是解题的关键．
五、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
21. 每年6月5日为世界环境日，某中学为增强学生的环保意识，开展了关于保护环境的知识竞赛，经过班级推荐，共有50名学生参赛，其成绩统计如下：
其中分的成绩如下：
81 81 82 82 83 84 84 84 85 85 86 87 87 88 88 90
请回答：
（1）直接写出此次竞赛成绩的中位数；
（2）根据表格估计此次竞赛成绩的平均数；
（3）根据数据，请写出两条可以获得的信息．
【答案】（1）82分 （2）分
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由从小到大排列的50个数据得到排在第25个，26个数据是82，82，可得中位数；
（2）根据加权平均数的公式进行计算即可；
（3）从极差与80分以上的人数占比出发得出两条信息即可．
【小问1详解】
解：∵分的成绩如下：
81 81 82 82 83 84 84 84 85 85 86 87 87 88 88 90
∴排在第25个，26个数据是82，82，
∴中位数为：（分）
【小问2详解】
平均数为：（分）；
【小问3详解】
信息1：50个同学竞赛成绩的极差较大，从而班级之间对环保知识掌握程度的差异较大；
信息2：80分以上的占比为，从而说明整个学生群体对环保知识的掌握程度还需要加强．
【点睛】本题考查的是从频数分布表中获取信息，求解数据的中位数，平均数，利用合适的统计量进行分析，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
22. 高速公路上，两地相距760千米，一辆货车从地开往地，同时一辆客车从地开往地，已知货车的行驶速度为每小时90千米，客车的行驶速度为每小时100千米，设货车与地的距离为（单位：千米），客车与地的距离为（单位：千米）；
（1）分别写出，与出发时间的函数关系式；
（2）若距离地400千米处有一服务区，两车均需要在此处加油和休息，请判断两车是否会同时进入服务区，并说明理由．
【答案】（1），
（2）两车会同时进入服务区，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据：货车与距离小时行驶的路程，客车与距离小时行驶的路程，即可求解；
（2）当时，分别求出时间，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得
，
．
【小问2详解】
解：两车会同时进入服务区，理由如下：
当时，
解得：，
解得：，
，
两车会同时进入服务区．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，列出函数关系式，理解自变量和因变量的实际意义是解题的关键．
23. 如图，在中，，，，点是边中点，连接，过点作，过点作；
（1）判断四边形的形状，并证明结论；
（2）点是线段上的动点，点是线段上的动点，且，连接交于点，若四边形是平行四边形时，求的值，并计算此时的长度．
【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）由已知条件可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，可得平行四边形是菱形；
（2）证明是等边三角形，根据四边形是平行四边形可得是等边三角形，求出，可得，，然后再根据求此时的长度即可．
【小问1详解】
四边形是菱形；
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
若四边形是平行四边形，
则，即，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用相关判定定理和性质定理进行推理论证是解题的关键．应试者
笔试成绩
面试成绻
计算机操作
甲
88
90
90
乙
92
85
90
丙
90
94
88
…
1
2
4
…
…
3
…
成绩（单位：分）
人数（单位：人）
2
8
12
16
12
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