北京市房山区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份北京市房山区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则sinα＝（ ）
A．B．﹣C．﹣2D．﹣
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝60°，则c等于（ ）
A．B．7C．D．19
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．两个平面相交，可以只有一个公共点
C．三角形是平面图形
D．四边形是平面图形
4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B，B1C所成角的大小为（ ）
​
A．90°B．60°C．45°D．30°
5．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，O1，O分别为上、下底面中心，E1，E分别为B1C1，BC的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．O1OCC1是直角梯形B．E1ECC1是直角梯形
C．直线AD与直线B1B异面D．直线O1O与直线B1B异面
6．已知平面直角坐标系中的3点A（2，2），B（6，0），C（0，0），则△ABC中最大角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
7．在三棱锥V﹣ABC中，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1，则点V到平面ABC的距离等于（ ）
A．1B．C．D．
8．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．在△ABC中，若B＝3A，则的取值范围是（ ）
A．（1，2）B．（2，3）C．（1，3）D．（0，3）
10．如图，在各棱长均为1的的四面体P﹣ABC中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则AQ+CQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题。共6小题，每小题5分，共30分。
11．在△ABC中，若，则sinA＝ ．
12．一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长等于 ；该圆锥的体积等于 ．
13．已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为2，3，，则长方体的体对角线的长等于 ；球的表面积等于 ．
14．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到l⊥α的是 .（填入条件的序号即可）
①l∥m；②α∥β；③m⊥α；④l⊥β．
15．如图所示，在倾斜角等于15°的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是45°时，旗杆在山坡上的影子的长是30米，则旗杆的高等于 米．
16．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，点A折起后的位置记为点A1，得到四棱锥A1﹣BCDE，M为AC的中点，如图2．某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：
①恒有A1D⊥A1E； ②恒有BM∥平面A1DE；
③三棱锥A1﹣DEM的体积的最大值为； ④存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题。共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，D1C1的中点．
（1）求证：A1A∥平面D1B1B；
（2）求证：D1B⊥AC；
（3）求证：A，C，E，F四点共面．
18．在△ABC中，A＝60°，，b＝2．
（1）求∠B；
（2）求△ABC的面积．
19．已知函数f（x）＝sin2x+2cs2x﹣1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的最小值及取得最小值自变量x的值．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，M为AD的中点．
（1）求证：PM⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）在棱PA上是否存在一点N，使得PC∥平面BMN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形ABCDE（如图所示），其中三角形ABE区域为儿童活动场所，三角形BCD区域为文艺活动场所，三角形BDE区域为球类活动场所，AB，BC，CD，DE，EA为运动小道（不考虑宽度），∠BCD＝∠BAE＝120°，，DE＝8km．
（1）求BD的长度；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求BE的长度；
（3）在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形ABE）的面积最大？
条件①：；
条件②：∠CDE＝120°．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
一、选择题。共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则sinα＝（ ）
A．B．﹣C．﹣2D．﹣
【分析】由角α的终边经过点P（1，﹣2），利用任意角的三角函数定义求出sinα即可．
解：∵点P（1，﹣2），
∴x＝1，y＝﹣2，|OP|＝＝，
因此，sinα＝＝＝﹣．
故选：B．
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．
2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝60°，则c等于（ ）
A．B．7C．D．19
【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b及csC的值代入即可求出c的值．
解：∵在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，
∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcsC＝4+9﹣6＝7，
则c＝．
故选：A．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．一条直线和一个点确定一个平面
B．两个平面相交，可以只有一个公共点
C．三角形是平面图形
D．四边形是平面图形
【分析】根据基本事实1、2和3及基本事实1的推论逐一判断．
解：对于A：一条直线和直线外一点确定一个平面，故A错；
对于B：两个平面相交，有一条公共直线，有无数个公共点，故B错；
对于C：三角形的两条边一定相交，根据基本事实1的推论2“过两条相交直线，有且只有一个平面”，
所以三角形的两条边确定一个平面，而第三边的两个端点在该平面内，
根据基本事实2“如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内”确定第三边在该平面内，故三角形是一个平面图形，故C正确；
对于D：如图四边形ACSB不是平面图形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题．
4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B，B1C所成角的大小为（ ）
​
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】先通过平行寻找线线角，再根据解三角形得结果．
解：因为A1B∥D1C，所以∠D1CB1为异面直线A1B与B1C所成角的平面角，
因为△D1CB1为正三角形，
所以∠D1CB1＝60°，
即异面直线A1B，B1C所成角的大小为60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题．
5．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，O1，O分别为上、下底面中心，E1，E分别为B1C1，BC的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．O1OCC1是直角梯形B．E1ECC1是直角梯形
C．直线AD与直线B1B异面D．直线O1O与直线B1B异面
【分析】将正四棱台补全为正四棱锥，再结合正四棱锥的性质一一分析即可．
解：由棱台的定义可知可将正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1补全为如图所示正四棱锥S﹣ABCD，
因为O1，O分别为上、下底面中心，所以S、O1、O三点共线，
且SO⊥底面ABCD，SO⊥底面A1B1C1D1，OC⊂底面ABCD，O1C1⊂底面A1B1C1D1，
所以SO⊥OC，SO⊥O1C1，
又OC∥O1C1，且O1C1≠OC，所以O1OCC1是直角梯形，故A正确；
因为E1，E分别为B1C1，BC的中点，△SBC与△SB1C1均为等腰三角形，且SB＝SC，SB1＝SC1，
所以SE1⊥B1C1，SE⊥BC，
又E1C1∥EC，E1C1≠EC，所以E1ECC1是直角梯形，故B正确；
因为AD∥BC，B1B⋂BC＝B，所以直线AD与直线B1B异面，故C正确；
由SO⋂SB＝S，所以直线O1O与直线B1B相交于点S，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查异面直线的判定，考查转化能力，属于中档题．
6．已知平面直角坐标系中的3点A（2，2），B（6，0），C（0，0），则△ABC中最大角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据夹角公式算出△ABC每个内角的余弦值，然后分析可得结果．
解：A（2，2），B（6，0），C（0，0），
，；
，，
，；
由A，B，C为三角形ABC的内角，
则csA＜0，csB＞0，csC＞0，于是A是钝角，B，C是锐角，最大角是A，余弦值为．
故选：C．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
7．在三棱锥V﹣ABC中，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1，则点V到平面ABC的距离等于（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据VA﹣VBC＝VV﹣ABC利用等体积法求解即可．
解：设点V到平面ABC的距离为h，
∵VA，VB，VC两两垂直，且VA＝VB＝VC＝1，
∴，，
∴，
又VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V，VB，VC⊂平面VBC，
所以VA⊥平面VBC，
∵VA﹣VBC＝VV﹣ABC，即
∴，
∴，即点V到平面ABC的距离为．
故选：D．
【点评】本题主要考查等体积法的运用，考查点到平面的距离求解，考查运算求解能力，属于中档题．
8．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由面面平行的判定与性质判断充分性和必要性即可．
解：由面面平行的性质可知：，且n∥β，充分性成立，
当m∥n时，若m，n⊂α，m∥α，n∥β，则α，β可能平行或相交，必要性不成立；
∴“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分而不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
9．在△ABC中，若B＝3A，则的取值范围是（ ）
A．（1，2）B．（2，3）C．（1，3）D．（0，3）
【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及二倍角公式转化为A的三角函数，再结合A的范围计算可得．
解：由正弦定理可得
＝
＝2cs2A+cs2A＝4cs2A﹣1；
因为，
所以，所以，则，
则1＜4cs2A﹣1＜3，即．
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
10．如图，在各棱长均为1的的四面体P﹣ABC中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则AQ+CQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据题意将△BCE和△ABE折成一个平面，可知AQ+CQ≥AC，结合余弦定理运算求解．
解：各棱长均为1的的四面体P﹣ABC中，E是PA的中点，
则，
在△BCE中，由余弦定理可得，
可知∠BEC为锐角，可得，
将△BCE和△ABE折成一个平面，连接AC，
可知AQ+CQ≥AC，当且仅当A，Q，C三点共线时，等号成立，
此时，
在△ACE中，由余弦定理可得，
即，所以AQ+CQ的最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，属于中档题．
二、填空题。共6小题，每小题5分，共30分。
11．在△ABC中，若，则sinA＝ ．
【分析】根据同角三角函数基本关系式以及角的范围得答案．
解：因为sin2A+cs2A＝1，且，所以，
又在△ABC中，A∈（0，π），sinA＞0，所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的同角关系，考查转化能力，属于基础题．
12．一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长等于 2π ；该圆锥的体积等于 ．
【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；求出圆锥的底面半径和高可得圆锥的体积．
解：因为扇形的半径为3，圆心角为，则扇形的弧长等于，
设圆锥的底面半径为r（r＞0），
所以2π＝2π×r，解得r＝1，
则圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故答案为：2π；．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式，属于基础题．
13．已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为2，3，，则长方体的体对角线的长等于 4 ；球的表面积等于 16π ．
【分析】依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为R，利用勾股定理求出体对角线，即可求出R，再根据球的表面积公式计算可得．
解：依题意长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，
所以2R＝4，R＝2，
即长方体的体对角线为4，
则外接球的表面积S＝4πR2＝16π．
故答案为：4；16π．
【点评】本题主要考查了长方体的外接球问题，属于中档题．
14．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到l⊥α的是 ①③（或②④） .（填入条件的序号即可）
①l∥m；②α∥β；③m⊥α；④l⊥β．
【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案．
解：选①②⇒l⊥α，
若l∥m，α∥β，则可能l⊂α，不正确；
选①③⇒l⊥α，
若l∥m，m⊥α，则l⊥α，正确；
选①④⇒l⊥α，
若l∥m，l⊥β，则可能l⊂α，不正确；
选②③⇒l⊥α，
若α∥β，m⊥α，则可能l⊂α，不正确；
选②④⇒l⊥α，
若α∥β，l⊥β，则l⊥α，正确；
选③④⇒l⊥α，
若m⊥α，l⊥β，则可能l⊂α，不正确．
故答案为：①③（或②④）．
【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．
15．如图所示，在倾斜角等于15°的山坡上有一根旗杆，当太阳的仰角是45°时，旗杆在山坡上的影子的长是30米，则旗杆的高等于 米．
【分析】利用正弦定理求解，即可得出答案．
解：如图所示：
由题意得∠BAC＝15°，∠BAD＝45°，
则∠DAC＝30°，∠ADC＝45°，AC＝30米，
在△ACD中，由正弦定理得，即，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．如图1，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，点A折起后的位置记为点A1，得到四棱锥A1﹣BCDE，M为AC的中点，如图2．某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：
①恒有A1D⊥A1E； ②恒有BM∥平面A1DE；
③三棱锥A1﹣DEM的体积的最大值为； ④存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD．
其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】根据原图形判断①，根据面面平行得出线面平行判断②，结合面面垂直及体积公式判断体积最大值得出③，应用面面垂直的性质定理及反证法得出④．
解：矩形ABCD中，∵AD⊥AE，∴A1D⊥A1E，①正确；
取CD中点H，连接MH，BH，∵M和H分别是A1C，CD的中点，∴MH∥A1D，∵MH在平面A1DE外，
∴MH∥平面A1DE，∵E是矩形ABCD的AB边中点，∴DH＝EB，DH∥EB，∴HB∥DE，
∵HB在平面A1DE外，∴HB∥平面A1DE，又HB∩MH＝H，∴平面HBM∥平面A1DE，
∵BM⊂平面HBM，∴BM∥A1DE，②正确；
取DE的中点O，连接A1O，如图所示：
当平面A1DE⊥平面BCDE时，A1到平面BCDE的距离最大．
因为A1D＝AE，O为DE中点，所以A1O⊥DE．
又因为平面A1DE⋂平面BCDE＝DE，所以A1O⊥BCDE．
，所以．
所以四棱锥A1﹣BCDE体积最大值为，
所以四棱锥A1﹣CDE体积最大值为，
M为AC的中点，三棱锥A1﹣DEM的体积的最大值为，故③正确；
平面A1DE⊥平面A1CD，平面A1DE⋂平面A1CD＝A1D，A1E⊥A1D，A1E⊂平面A1DE，
∴A1E⊥平面A1CD，∴，
∴A1C＝1，△A1DC，A1D＝1，∴A1C+A1D＝2＝DC，④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查线线垂直的证明，线面平行的证明，三棱锥的体积的最值的求解，属中档题．
三、解答题。共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，D1C1的中点．
（1）求证：A1A∥平面D1B1B；
（2）求证：D1B⊥AC；
（3）求证：A，C，E，F四点共面．
【分析】（1）由正方体的性质得到A1A∥BB1，即可得证；
（2）通过证明AC⊥平面BB1D1D，即可得证；
（3）连接A1C1，即可得到EF∥A1C1，再由正方体的性质得到AC∥A1C1，即可得证．
【解答】证明：（1）由正方体的性质A1A∥BB1，A1A⊄平面D1B1B，BB1⊂平面D1B1B，
所以A1A∥平面D1B1B．
（2）由正方体的性质DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，
又ABCD为正方形，所以AC⊥BD，BD⋂DD1＝D，BD，DD1⊂平面BB1D1D，
所以AC⊥平面BB1D1D，又D1B⊂平面BB1D1D，
所以D1B⊥AC．
（3）连接A1C1，因为E，F分别为A1D1，D1C1的中点，
所以EF∥A1C1，
又AA1∥CC1且AA1＝CC1，所以AA1C1C为平行四边形，
所以AC∥A1C1，
所以AC∥EF，所以A，C，E，F四点共面．
【点评】本题主要主要考查直线与平面垂直，考查转化能力，属于中档题．
18．在△ABC中，A＝60°，，b＝2．
（1）求∠B；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理计算可得；
（2）首先利用两角和的正弦公式求出sinC，在根据面积公式计算可得．
解：（1）因为A＝60°，，b＝2，
由正弦定理，即，解得，
又a＞b，所以A＞B，所以B＝45°；
（2）由（1）可得C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
所以，
所以．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
19．已知函数f（x）＝sin2x+2cs2x﹣1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的最小值及取得最小值自变量x的值．
【分析】（1）根据二倍角公式，辅助角公式将函数化简，然后根据三角函数的周期公式求解；
（2）根据三角函数的单调区间，结合的范围进行求解．
解：（1），
故最小正周期为，
（2）由于，则，
注意到y＝sinx在[0，π]上满足sinx≥0，上sinx＜0，
于是要求f（x）的最小值只用考虑的情况，
由y＝sinx在上单调递减，，
于是y＝sinx在上递减，
故时，即，f（x）取到最小值．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，M为AD的中点．
（1）求证：PM⊥BC；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）在棱PA上是否存在一点N，使得PC∥平面BMN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）依题意可得PM⊥AD，再由底面ABCD为矩形，则AD∥BC，即可得证；
（2）由已知证明PD⊥平面PAB，进一步可得平面PAB⊥平面PCD；
（3）连接BM、AC，BM⋂AC＝O，连接ON，依题意可得△COB∽△AOM，则，再由线面平行的性质得到ON∥PC，即可得解．
解：（1）证明：因为PA＝PD，M为AD的中点，所以PM⊥AD，
又底面ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以PM⊥BC．
（2）证明：∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．
又PA⊥PD，PA⋂AB＝A，PA、AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB，
而PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；
（3）存在，且，理由如下：
连接BM、AC，BM⋂AC＝O，连接ON，
因为ABCD是矩形，且M为AD的中点，所以△COB∽△AOM，所以，
又PC∥平面BMN，平面APC⋂平面BMN＝ON，PC⊂平面APC，
所以ON∥PC，
所以．
【点评】本题考查线线垂直的证明，面面垂直的证明，线面平行的性质定理，属中档题．
21．某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形ABCDE（如图所示），其中三角形ABE区域为儿童活动场所，三角形BCD区域为文艺活动场所，三角形BDE区域为球类活动场所，AB，BC，CD，DE，EA为运动小道（不考虑宽度），∠BCD＝∠BAE＝120°，，DE＝8km．
（1）求BD的长度；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求BE的长度；
（3）在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形ABE）的面积最大？
条件①：；
条件②：∠CDE＝120°．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）在△BCD中，利用余弦定理，即可得出答案；
（2）若选①，在△BDE中，利用余弦定理构造方程求解；若选②，利用勾股定理直接求解；
（3）在△ABE中，利用余弦定理，结合基本不等式可求得AB⋅AE的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果．
解：（1）在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC⋅CDcs∠BCD＝24﹣24cs120°＝36，
∴BD＝6km；
（2）若选条件①：由（1）得BD＝6km，
在△BDE中，由余弦定理得，
解得（不合题意，舍去）或BE＝10，
∴BE＝10km；
若选条件②：∵BC＝CD，∠BCD＝120°，
∴∠BDC＝30°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝90°，
∴km．
（3）在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB⋅AEcs∠BAE＝AB2+AE2+AB⋅AE＝100，
∵AB2+AE2≥2AB⋅AE，当且仅当AB＝AE时等号成立，
∴100≥3AB⋅AE，
∴，当且仅当AB＝AE时等号成立，
∴，
即当AB＝AE时，儿童活动场所（即三角形ABE）的面积最大．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．