2020中考数学二轮专题第01讲-三角形的证明-教案

这是一份2020中考数学二轮专题第01讲-三角形的证明-教案，共21页。
温故知新
三角形全等的条件
（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
注意：①在运用“SSS”判定三角形全等，必须同时满足三边对应相等，只有一边或两边对应相等是不能得到全等的。②“SSS”判定全等只适用于三角形，不能适用其他图形。
符号语言：已知△ABC与△DEF的三条边对应相等。
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
注意：①用“ASA”判定两个三角形全等时，一定要说明两个角及夹边对应相等
②在书写两个三角形全等的条件“ASA”时，一般把夹边相等写在中间的位置。
符号语言：已知∠D=∠E，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABD≌△ACE．
证明：在△ABD和△ACE中，
∠D=∠E
AD=AE
∠BAD＝∠CAE
∴△ABD≌△ACE（ASA）
（3）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。
符号语言：如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE
证明：在△ACD和△ABE中．
∠C=∠B
∠A=∠A
DC=EB
∴△ACD≌△ABE（AAS）．
注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。
（4）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
符号语言：在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
注意：①应用“SAS”时，必须满足相等的角是对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”。
（5）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 符号语言：在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
注意：①应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”
②“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。

课堂导入
知识要点一

等腰三角形
1、等腰三角形的性质定理
（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。
（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
2、等腰三角形的判定定理
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。
（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
典例分析
例1、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
【解答】选B．
例2、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【解答】∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，
又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，
∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，
∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．
例3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
【解答】∵PA=PB，∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．
例4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC= 5 ．
【解答】过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴BF=CF=BC，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，∴BD=AD=4，
设DF=x，∴BF=4+x，∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，即16﹣x2=36﹣（4+x）2，
∴x=0.5，∴DF=0.5，∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，故答案为：5．
举一反三
1、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 55° ．
【解答】AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故答案为：55°．
2、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 16或8 ．
【解答】∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
又知BD将三角形周长分为15和21两部分，
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．
经验证，这两种情况都是成立的．
∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．
3、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：∵锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠OEB=∠ODC=90°，∠EOB=∠DOC，∴∠EBO=∠DCO，
又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
知识要点二
直角三角形
1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形的性质和判定方法
定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
3、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
4、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
5、逆命题、逆定理
互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。
6、斜边、直角边定理
定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。
典例分析
例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（ ）
A．50° B．45°
C．40° D．25°
【解答】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠ B=40°，
∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°，
∴∠DCB=50°，故选A．
例2、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
【解答】选：D．
例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．
【解答】（1）∵在△ ABC中，∠ ACB=90°，CD，CE三等分∠ ACB，
∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，则∠BCD=60°，又∵CD为高，∴∠B=90°﹣60°=30°
（2）证明：由（1）知，∠B=∠BCE=30°，则CE=BE，AC=AB．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，
又∵由（1）知，∠ACD=∠DCE=30°，∴∠ACE=∠A=60°，∴△ACE是等边三角形，
∴AC=AE=EC=AB，∴AE=BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE=AB．
例4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
【解答】（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，∴DM=BM；
（2）由（1）可知DM=BM，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．
举一反三
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠1=∠2，
∵∠C=90°，
∴∠A=∠1=∠2=30°，
∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，
∴CE=DE=3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，
∴AE=2DE=6cm，故选C．
2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A．2.5 B． C． D．2
【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=，CF=3，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF===2，
∵H是AF的中点，
∴CH=AF=×2=．故选：B．
3．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 2 ．
【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POD，
又∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠CPO=∠BOP=15°，
又∠ECP为△OCP的外角，
∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4，
∴PE=PC=2，
则PD=PE=2．故答案为：2．
4．在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为 7 ．
【解答】解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
∵CD=3，AB=6，
∴AD=DB=3，
∴CD=AD=DB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2=AB2=36，
又∵AC+BC=8，
∴AC2+2AC•BC+BC2=64，
∴2AC•BC=64﹣（AC2+BC2）=64﹣36=28，
又∵S△ABC=AC•BC，
∴S△ABC==7．
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，∠B=15°，则S△ABC= 25 ．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥BA的延长线于点D，
∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠C=15°，
∴∠CAD=∠B+∠C=15°+15°=30°，
∴CD=AC=×10=5，
∴S△ABC=AB•CD=×10×5=25．
故答案为：25．
6．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE．
知识要点三
垂直平分线与角平分线
1、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）
定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的垂直平分线的性质
性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。
4、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
6、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
典例分析
例1、如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
【解答】故选C．
例2、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36°
C．30° D．24°
【解答】选A．
例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵ △ABD是等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ ABD=∠ A=40°，∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AE=12，
∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．
例4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【解答】证明：∵DE⊥AB，∴ ∠ AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，∴△ AED≌ △ACD，∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
举一反三
1．已知P为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠BAC=40°，则∠BPC=（ ）
A．70° B．80° C．120° D．110°
【解答】解：∵P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴点P是△ABC的外心，
由圆周角定理得，∠BPC=2∠BAC=80°，故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．45°
【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．
3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2．
∴S△ACD=AC•DF=×3×2=3，故选A．
4．如图，O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，AC=5，BC=12，OD等于（ ）
A．2 B．3 C．1 D．1
【解答】解：作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
由勾股定理得，AB=13，
∵O是Rt△ABC的角平分线的交点，OD∥AC，
∴OD⊥BC于D，又OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD=OE=OF，
∴×AC×BC=×AC×OE+BC×OD+AB×OF，
解得，OD=2，故选：A．
5．如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为 4 cm．
【解答】解：∵∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，
∴DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵AD=AC﹣CD=10﹣6=4cm，
∴DE=4cm．
故填4．

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，BD是角平分线，则BC+CD= 4 ．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，BD是角平分线，
∴DE=CD，
在Rt△BCD和Rt△BED中，，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∵BE+AE=AB，
∴BC+CD=AB，
∵AB=4，
∴BC+CD=4．
故答案为：4．
7．在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=30°，AB的垂直平分线OD交BC边于点D，连结AD
（1）求∠DAC的度数；
（2）若AC=4cm，求△ABC的面积（结果保留根号）
【解答】解：（1）∵OD是AB的垂直平分线；
∴AD=BD，
∴∠B=∠BAD=22.50，
∴∠ADC=45°，
∵∠A=30°，
∴∠DAC=105°；
（2）过A点作AE⊥BC于点E，则AE=DE，
在Rt△ACE中，
∵AC=4，
∴AE=2，EC=2，
∴DE=2，
在Rt△AED中，
AD=2，
∴AD=BD=2，
∴BC=2+2+2
∴S△ABC==（）=（）．
课堂闯关
初出茅庐
1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD=BD B．BD=CD
C．∠1=∠2 D．∠B=∠C
【解答】选A．
2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【解答】选：C．
3、下列说法中，正确的是（ ）
A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2
C．以三个连续自然数为三边长能构成直角三角形
D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形
【解答】故选D．
4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则
∠BDC等于（ ）
A．44° B．60° C．67° D．70°
【解答】故选D．
5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（ ）
A．66° B．36° C．56 D．46°
【解答】故选：B．
6、如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为 40° ．
【解答】∵DE=DF，∠F=20°，
∴∠E=∠F=20°，∴∠CDF=∠E+∠F=40°，
∵AB∥CE，∴∠B=∠CDF=40°，故答案为：40°．
7、如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．
【解答】∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，
又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠AFE=90°﹣∠ABF，∠DEB=90°﹣∠DBF，
∴∠AFE=∠DEB，
又∵∠DEB=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形．
优学学霸
8、如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD； ②CF=DF．
【解答】证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，
②∵AF⊥CD，AC=AD，
∴CF=FD（三线合一性质）．
9、如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，
∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，
∵BD⊥AD∴∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠EAD+∠B=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
10．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点E，则△DEF的面积为 6﹣4 ．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠CAD=∠EAD，DE=CD，AE=AC=2，
∵AD的垂直平分线交AB于点E，
∴AF=DF，
∴∠ADF=∠EAD，
∴∠ADF=∠CAD，
∴AC∥DE，
∴∠BDE=∠C=90°，
∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，
设DE=x，则EF=BE=x，BD=DF=2﹣x，
在Rt△BED中，DE2+BE2=BD2，
∴x2+x2=（2﹣x）2，
解得x1=﹣2﹣2（负值舍去），x2=﹣2+2，
∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2=6﹣4．
故答案为：6﹣4．
考场直播
1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有 8 个．
【解答】由题意可得：∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠A=36°，
∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠CFD=∠BFE=∠BEF=72°
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BEF，△CDF，△BCF，△BCE，△BCD均为等腰三角形，
∴题中共有8个等腰三角形．故填8．
2、如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，
∴∠B=∠C，∴AB=AC．故△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE=120°时△ABC是等边三角形．∵∠CAE=120°，AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD=60°，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B=60°，∠CAD=∠C=60°，
∴∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形．
自我挑战
1、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
【解答】故选：A ．
2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【解答】故选：A
3、如图，△ABC中，点D是边BC上一点，已知AB=AC=BD，AD=CD，则∠B=（ ）
A．30° B．36° C．45° D．50°
【解答】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选B
4、下列说法中，正确的有（ ）
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】故选C．
5、如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A=35°，则∠D等于（ ）
A．50° B．65°
C．55° D．70°
【解答】连DA，如图，
∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴DA=DB，DB=DC，
即DA=DB=DC，∴点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，
∴∠BDC=2∠BAC=2×35°=70°．
故选D．
6、如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 19 cm．
【解答】∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，
∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①
则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②
把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm
故答案为：19．
7、如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为 3 ．
【解答】作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴PF=PE=3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为：3．
8、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= 66° ．
【解答】∵OA=AC，
∴∠ACO=∠AOC=×（180°﹣∠A）=×（180°﹣48°）=66°．
∵AC∥BD，∴∠D=∠C=66°．故答案为：66°．
9、如图，将△ABC沿BD对折，使点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知∠A=36°．
（1）求∠BDC的度数；
（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）
【解答】由折叠的性质可得：∠CBD=∠C′BD，∴∠ABC=2∠CBD，
∵∠C=2∠CBD，∴∠C=∠ABC，△ABC中，∠A=22°，
∴∠C=∠ABC==72°，∴∠CBD=36°，∴∠BDC=180°﹣3×36°=72°．
（2）∵∠C=∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°，∴AB=AC，BC=BD=BC′，
∴△ABC，△BCD，△BC′D是等腰三角形，
∵∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°，∴∠ABD=∠ADC′=A=36°，
∴AD=BD，AC′=DC′，∴△ABD，△ADC′是等腰三角形
所以等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD，△BDC′，△ADC′，．