2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第8节 平行线的性质与判定（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第8节 平行线的性质与判定（含答案），共65页。试卷主要包含了已知，求的值，多项式的最小值是多少？，已知，则①　　，若，，则　　，已知，按要求完成下列证明，如图，，，平分，说明等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．如果是一个完全平方式，则的值为 ．
2．已知，求的值．
3．多项式的最小值是多少？
4．已知，则① ．② ．
5．（2020春•南海区期末）若，，则 ．
课中讲解
一. 相交线与平行线
内容讲解
1．相交线与平行线
定义：两条直线的位置关系有相交和平行两种：
（1）若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 。
（2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做 。
例1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是
A．平行B．相交
C．平行或相交D．平行、相交或垂直
过关检测
1．对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中，正确的有
①过两点有且只有一条直线；②有，，则点在线段上，点在线段外；③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线；④；⑤不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2．平面上有3条直线，则交点可能是
A．1个B．1个或3个
C．1个或2个或3个D．0个或1个或2个或3个
例3．平面内有条直线，任意两条直线都相交，则最多有 个交点．
过关检测
1．过平面上三点可以作几条直线？（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
2．同一平面内两两相交的四条直线，最多有个交点，最少有个交点，那么是( )
A．1B．6C．8D．4
3．平面上4条直线两两相交，交点的个数是
A．1个或4个B．3个或4个
C．1个、4个或6个D．1个、3个、4个或6个
2．平行线公理及推论证明
1．平行线公理： ．
2．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行的传递性）．
若已知平面内，，求证．
例1．下列说法中，正确的是( )
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．在同一平面内，若直线，，则
D．若两条线段不相交，则它们互相平行
过关检测
1．观察如图所示的长方体，与棱平行的棱有几条
A．4B．3C．2D．1
2．在同一个平面内，直线、相交于点，，与的位置关系是
A．平行B．相交C．重合D．平行或相交
3． 对顶角
在下图中，直线 AB 与CD 相交于点 O，∠ 1 与 ∠ 2有公共顶点 O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做

对顶角的性质：对顶角相等
例1. 下列图中是对顶角的是
A． B．C． D．
过关检测
1．如图，，则度数为
A．B．C．D．
2．下列各图中，与是对顶角的是
A．B．
C．D．
4．余角与补角的定义与性质
1．定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为 ．若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余．
2．如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为 ．若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补．
3．性质：同角或等角的 相等；同角或等角的 也相等．
4．邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为 ．
例1．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为
A．B．C．D．
过关检测
1．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则等于
A．B．C．D．
2． 如图，已知直线，，相交于点O，∠1=35°，∠2=25°，则∠3等于（ ）
A．60° B．90° C．140° D．120°
3．如图，两直线相交于一点，若，则
A．B．C．D．
4．如图，点，，在一条直线上，于点，如果与互余，那么图中相等的角有
A．5对B．4对C．3对D．2对
例2．一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角等于 .
例3．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ．
过关检测
1．计算：已知，则的余角为 ．
2．若两个角互补，且度数之比为，求较大角度数为 ．
5．垂直的定义与性质
1．定义：两条直线相交，所成的四个角中有一个角是 时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ，垂直用符号“”来表示．
2．性质：过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短．
例1．如图，，直线经过点，若，则的大小为
A．B． C．D．
过关检测
1．如图直线，相交于点，，垂足为点，若，则的度数是
A．B．C．D．
2．为直线上一点，，若，则
A．B．C．D．
例2．某工程队计划把河水引到水池中，他们先过点作，垂足为，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是
A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．垂线段最短
过关检测
1．如图，，，下列结论中，正确的结论有
①线段的长度是点到的距离；
②线段是点到的距离；
③．
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．如图，，，若点在直线上，则的长可能是
A．5B．4C．3D．2
三．三线八角
内容讲解
三线八角： 被 直线所截，形成八个独立的角．分别是同位角，内错角和同旁内角．如图：
①同位角：两条直线被第三条直线所截， 的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)，这样的一对角叫做同位角．如图所示：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角．
②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在 ，并且 ，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角．如图所示：∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角．
③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在 ，并且在 ，这样的一对角叫做同旁内角．如图所示：∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角．
看图识角：
（1）“”型中的同位角，如图：

（2）“”字型中的内错角，如图：

（3）“U”字型中的同旁内角，如图：

注意：
（1）同位角、内错角、同旁内角是从位置关系来确认；
（2）当三种角相等或互补（图形大小或数量多少）时，两直线平行则是把数量关系与位置关系联系到了一起，是数与形的结合．
例1．如图，直线，被直线所截，那么的同位角是
A．B．C．D．
例2．下面图形中，和是同位角的是
A．①②B．①③C．②③D．②④
例3．如图， 下列说法一定正确的是
A ．和是内错角B ．和是同位角
C ．和是同旁内角D ．和是同位角
例4．如图所示，下列说法错误的是
A．和是同位角B．和是同位角
C．和是同旁内角D．和是内错角
过关检测
1．如图，直线，被直线所截，则
A．和是同位角B．和是内错角
C．和是同位角D．和是内错角
2．下列图形中，和不是同位角的是
A．B．C．D．
3．如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与不是同旁内角，其中正确的是 （只填序号）．
4．如图所示，下列说法中，错误的是
A．与是同位角B．与是同旁内角
C．与是同旁内角D．与是内错角
四．平行线的判定
内容讲解
方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 ，那么这两条直线平行．
简称：同位角相等，两直线平行．
方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角 ，那么这两条直线平行．
简称：内错角相等，两直线平行．
方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 ，那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行．
方法四：垂直于 的两条直线互相平行．
方法五：（平行线公理推论）若两条直线都与第三条直线 ，则这两条直线也互相平行．
方法六：（平行线定义）在同一平面内， 的两条直线平行．
例1．下列各项正确的是（ ）
A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
例2．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠1＝∠4D．∠1+∠4＝180°
例3．如图，下列不能判定DF∥AC的条件是（ ）
A．∠A＝∠BDFB．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3D．∠A+∠ADF＝180°
过关检测
1．下列说法中正确的是（ ）
A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系为平行或垂直
B．直线外一点到这条直线的垂线段叫这点到这条直线的距离
C．同旁内角互补
D．两点之间线段最短
2．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（ ）
A．∠1+∠4＝180°B．∠2＝∠4C．∠1＝∠4D．∠3＝∠4
3．如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠D＝∠5．
能判定AD∥CB的条件个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例4．已知：如图，平分，．求证：
证明平分

（已知）；


例5．如图，已知，，请说明与平行的理由．
解：将的邻补角记作，则





过关检测
1．在下列括号内，填上推理的根据．
已知：如图，，，求证：．
证明： ，
，
，
又 （已知）
．
2．看图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知，，，，与平行吗？与平行吗？
解：，（已知），
．
．
又（已知），
．
．
同理可得， ．
．
（同位角相等，两直线平行）．
例6．已知：如图，直线与被所截，，求证：．
过关检测
1．如图，和相交于点，，．
求证：．
2．如图，已知，，直线与平行吗？为什么？
3．如图，已知．，，求证：．
五. 平行线的性质
内容讲解
1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角 ．简单说成：两直线平行，同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角 ．简单说成：两直线平行，内错角相等。
3. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角 ．简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
4．平行线间的距离处处相等。
例1．下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．若a∥b，c∥b，则a∥c
D．若两相等的角有一边平行，则另一边也互相平行
例2．如图，直线a∥b，∠1=54°，那么∠2、∠3、∠4各是多少度?
例3．如图AB∥CD，MN交CD于点E，交AB于点F，EG⊥MN于点E，
若∠DEM=60°，则∠AGE= .
例4．已知AB∥CD，求∠B＋∠BED＋∠D的度数．
例5．如图E为DF上的点，B为AC上的点∠1=∠2，∠C=∠D，那么DF∥AC，理由如下：
∵∠1=∠2（ 已知 ）
∴∠1=∠3，∠2=∠4（ ）
∴∠3=∠4（ 等量代换 ）
∴BD∥CE （ ）
∴∠C=∠ABD（ ）
∵∠C=∠D（ 已知 ）
∴∠D=∠ABD（ ）
∴AC∥DF（ ）
过关检测
1．下面命题：
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同一平面内的两条不相交直线平行；
（4）同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.
（1）DE和BC平行吗?
（2）∠C是多少度?为什么?
3．如图所示，AB∥CD∥EF，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，求 ∠BEC的度数．

4．已知AB∥CD，试说明∠BPD=∠B＋∠D.
5．完成证明．如图，已知AB∥CD∥EF，写出∠A，∠C，∠AFC的关系，并说明理由．
解：∠AFC＝ ．理由如下：
∵AB∥EF（已知），
∴∠A＝ （两直线平行，内错角相等）．
∵CD∥EF（已知），
∴∠C＝∠CFE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠AFC＝ ﹣ ，
∴∠AFC＝ （等量代换）．
学习任务
1．下列说法错误的是
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．不相交的两条直线叫做平行线
2．下列说法中正确的个数是
（1）在同一平面内，、、是直线，，，则
（2）在同一平面内，、、是直线，，，则
（3）在同一平面内，、、是直线，，，则
（4）在同一平面内，、、是直线，，，则．
A．1B．2C．3D．4
3．如图，直线、相交于点，，平分，若，则的度数为
A．B．C．D．
4．如图，AB∥CD，EF交AB、CD于点E、F，FG⊥EF交AB于点G，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．140°
5．如图所示，直线、被直线所截，直线与、分别交于点、，下列结论正确的是
①与互为同位角；②和互为内错角；③；④．
A．②③B．②④C．①③D．③④
6．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中可以判断AB∥CD的是（ ）
A．∠A＝∠CBEB．∠A+∠CBA＝180°
C．∠A＝∠CD．∠C＝∠CBE
7．按要求完成下列证明：
已知：如图，在中，于点，是上一点，且．
求证：．
证明：（已知），
．
（已知），
．
．
8．如图，，，平分，说明．
9．如图，如果AD∥BC，∠B＝∠C，那么AD是∠EAC的平分线吗？请说明你判别的理由．
家长签字：____________
第8节 平行线的性质与判定（解析版）
目标层级图
课前检测
1.如果是一个完全平方式，则的值为 ．
【解答】解：如果是一个完全平方式，则的值为，
故答案为：
2.已知，求的值.
3.多项式的最小值是多少？
4．已知，则① ．② ．
【解答】解：①，
，
；
②，
，
．
故答案为：①；②．
5.若，，则 4 ．
【解答】解：，，
．
故答案为：4．
课中讲解
一. 相交线与平行线
内容讲解
1．相交线与平行线
定义：两条直线的位置关系有相交和平行两种：
（1）若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 相交线 ．
（2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做 平行线 ．
1．平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
2．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
例1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是
A．平行B．相交
C．平行或相交D．平行、相交或垂直
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．故选：．
过关检测
1．对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（ B ）
A． B．
C． D．
2．下列说法中，正确的有
①过两点有且只有一条直线；②有，，则点在线段上，点在线段外；③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线；④；⑤不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①过两点有且只有一条直线，正确；
②有，，则点在线段上，点在线段外，正确；
③在角的内部，一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线，错误；
④，错误；
⑤在一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，错误．故选：．
例2．平面上有3条直线，则交点可能是
A．1个B．1个或3个
C．1个或2个或3个D．0个或1个或2个或3个
【解答】解：3条直线的分布情况可能是：如图，
交点个数分别是0个或1个或2个或3个，
故选：．
例3．平面内有n条直线，任意两条直线都相交，则最多有 个交点．
过关检测
1．过平面上三点可以作几条直线？（ D ）
A．1条B．2条C．3条D．1条或3条
2．同一平面内两两相交的四条直线，最多有个交点，最少有个交点，那么是
A．1B．6C．8D．4
【解答】解：每三条不交于同一点，得
，
都交于同一点，得，
，
故选：．
3．平面上4条直线两两相交，交点的个数是
A．1个或4个B．3个或4个
C．1个、4个或6个D．1个、3个、4个或6个
【解答】解：若4条直线相交，其位置关系有3种，如图所示：
则交点的个数有1个，或4个，或6个．
故选：．
2．平行线公理及推论证明
1．平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
2．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行的传递性）．
已知平面内，，求证．
反证法：平面内，，假设与交于一点，点一定不在直线上，又过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，过点有两条直线与平行，与公理矛盾，假设不成立，．
例1．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．在同一平面内，若直线，，则
D．若两条线段不相交，则它们互相平行
【解答】解：、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；
、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故错误；
、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；
、根据平行线的定义知是错误的．故选：．
过关检测
1．观察如图所示的长方体，与棱平行的棱有几条
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：图中与平行的棱有：、、．共有3条．故选：．
2．在同一个平面内，直线、相交于点，，与的位置关系是
A．平行B．相交C．重合D．平行或相交
【解答】解：在同一个平面内，直线、相交于点，，
与的位置关系是相交，故选：．
3． 对顶角
在下图中，直线 AB 与CD 相交于点 O，∠ 1 与 ∠ 2有公共顶点 O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

对顶角的性质：对顶角相等
例1. 下列图中是对顶角的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、和没有公共的顶点，不是对顶角，故选项错误；
、和是对顶角，故选项正确；
、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误；
、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误．故选：．
过关检测
1．如图，，则度数为
A．B．C．D．
【解答】解：，
度数为：．故选：．
2．下列各图中，与是对顶角的是 C
A．B．
C．D．
4．余角与补角的定义与性质
1．定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余．
2．如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互补．
3．性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角也相等．
4．邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角．
例1．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为
B．C．D．
【解答】解：，
，
平分，
，
，故选：．
过关检测
1．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：与是对顶角，
，
，
射线平分，
，
．故选：．
2．如图，已知直线，，相交于点O，∠1=35°，∠2=25°，则∠3等于（ D ）
A．60° B．90° C．140° D．120°
3．如图，两直线相交于一点，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：，互为对顶角，，
，
．故选：．
4．如图，点，，在一条直线上，于点，如果与互余，那么图中相等的角有
A．5对B．4对C．3对D．2对
【解答】解：，
，
与互余，
，
，
，
，
，
图中相等的角有5对．
故选：．
例2．一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角等于 60° .
例3．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 40或80 ．
过关检测
1．计算：已知，则的余角为 ．
【解答】解：的余角．故答案为：．
2．若两个角互补，且度数之比为，求较大角度数为 ．
【解答】解：因为两个角的度数之比为，
所以设这两个角的度数分别为和．
根据题意，列方程，得，
解这个方程，得，
所以．
即较大角度数为．故答案为．
5．垂直的定义与性质
1．定义：两条直线相交，所成的四个角中有一个角是时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，垂直用符号“”来表示．
2．性质：过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段 最短．
例1．如图，，直线经过点，若，则的大小为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，故选：．
过关检测
1．如图直线，相交于点，，垂足为点，若，则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
，故选：．
2．为直线上一点，，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
，故选：

例2．某工程队计划把河水引到水池中，他们先过点作，垂足为，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是
A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．垂线段最短
【解答】解：某工程队计划把河水引到水池中，他们先过点作，垂足为，
然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是：垂线段最短，
故选：．
过关检测
1．如图，，，下列结论中，正确的结论有
①线段的长度是点到的距离；
②线段是点到的距离；
③．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：①线段的长度是点到的距离，故结论正确；
②应该是线段的长度是点到的距离，结论错误，；
③在同一直角三角形中，斜边大于直角边，所以，故结论正确；故选：．
2．如图，，，若点在直线上，则的长可能是
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：已知，在中，，，
根据垂线段最短，可知的长不可小于4.5，当和重合时，，故选：．
三．三线八角
内容讲解
三线八角：两条直线被第三条直线所截，形成八个独立的角．分别是同位角，内错角和同旁内角．如图：
①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)，这样的一对角叫做同位角．如图所示：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角．
②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角．如图所示：∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角．
③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角．如图所示：∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角．
看图识角：
（1）“”型中的同位角，如图：

（2）“”字型中的内错角，如图：

（3）“U”字型中的同旁内角，如图：

注意：
（1）同位角、内错角、同旁内角是从位置关系来确认；
（2）当三种角相等或互补（图形大小或数量多少）时，两直线平行则是把数量关系与位置关系联系到了一起，是数与形的结合．
例1．如图，直线，被直线所截，那么的同位角是
A．B．C．D．
【解答】解：由同位角的定义可知，
的同位角是，故选：．
例2．下面图形中，和是同位角的是
A．①②B．①③C．②③D．②④
【解答】解：根据同位角的定义，可得图①中，与在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故是同位角，
而图③中，与是两条直线被第三条直线所截形成的同位角．故选：．
例3．如图， 下列说法一定正确的是
A ．和是内错角B ．和是同位角
C ．和是同旁内角D ．和是同位角
【解答】解：、和是内错角， 故本选项错误；
、和是同位角， 故本选项错误；
、和是邻补角， 故本选项错误；
、和是同位角， 故本选项正确；故选：．
例4．如图所示，下列说法错误的是
A．和是同位角B．和是同位角
C．和是同旁内角D．和是内错角
【解答】解：从图上可以看出和不存在直接联系，而其它三个选项都符合各自角的定义，正确；故选：．
过关检测
1．如图，直线，被直线所截，则
A．和是同位角B．和是内错角
C．和是同位角D．和是内错角
【解答】解：、和不是同位角，故此选项不符合题意；
、和不是内错角，故此选项不符合题意；
、和是同位角，故此选项符合题意；
、和不是内错角，故此选项不符合题意；故选：．
2．下列图形中，和不是同位角的是
A．B．C．D．
【解答】解：、和是同位角，故此选项不合题意；
、和是同位角，故此选项不合题意；
、和不是同位角，故此选项符合题意；
、和是同位角，故此选项不合题意；故选：．
3．如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与不是同旁内角，其中正确的是 ①②③ （只填序号）．
【解答】解：与是直线、直线，被直线所截的一对内错角，因此①符合题意；
与是直线、直线，被直线所截的一对同位角，因此②符合题意；
与是直线、直线，被直线所截的一对同旁内角，因此③符合题意，
与是直线、直线，被直线所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，
故答案为：①②③．
4．如图所示，下列说法中，错误的是
A．与是同位角B．与是同旁内角
C．与是同旁内角D．与是内错角
【解答】解：．与是同位角，本选项正确；
．与不是同旁内角，本选项错误；
．与是同旁内角，本选项正确；
．与是内错角，本选项正确；故选：．
四．平行线的判定
内容讲解
方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：同位角相等，两直线平行．
方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简称：内错角相等，两直线平行．
方法三：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行．
方法四：垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
方法五：（平行线公理推论）若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行．
方法六：（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行．
例1．下列各项正确的是（ ）
A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
【解答】解：A、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误，不合题意；
B、在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，故此选项错误，不合题意；
C、同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，正确，符合题意；
D、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故此选项错误，不合题意．故选：C．
例2．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠1＝∠4D．∠1+∠4＝180°
【解答】解：由∠1＝∠3，可得直线a与b平行，故A能判定；
由∠2+∠4＝180°，∠5+∠4＝180°，可得∠2＝∠5，故直线a与b平行，故B能判定；
由∠1＝∠4，∠4＝∠3，可得∠1＝∠3，故直线a与b平行，故C能判定；
由∠1+∠4＝180°，不能判定直线a与b平行，故选：D．
例3．如图，下列不能判定DF∥AC的条件是（ ）
A．∠A＝∠BDFB．∠2＝∠4
C．∠1＝∠3D．∠A+∠ADF＝180°
【解答】解：A．∠A＝∠BDF，由同位角相等，两直线平行，可判断DF∥AC；
B．∠2＝∠4，不能判断DF∥AC；
C．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF∥AC；
D．∠A+∠ADF＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF∥AC；故选：B．
过关检测
1．下列说法中正确的是（ ）
A．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系为平行或垂直
B．直线外一点到这条直线的垂线段叫这点到这条直线的距离
C．同旁内角互补
D．两点之间线段最短
【解答】解：A、在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和平行，垂直是相交的一种情况，故A错误；
B、点到直线的距离指的是线段的长度，而非垂线段，故B错误；
C、两直线平行，同旁内角互补，故C错误；
D、两点之间线段最短，故D正确．故选：D．
2．对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（ ）
A．∠1+∠4＝180°B．∠2＝∠4C．∠1＝∠4D．∠3＝∠4
【解答】解：如图所示：A、∵∠4+∠5＝180°，∠1+∠4＝180°，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b，故此选项符合题意；
B、∠2＝∠4，无法得到a∥b，故此选项不合题意；
C、∠1＝∠4，无法得到a∥b，故此选项不合题意；
D、∠3＝∠4，无法得到a∥b，故此选项不合题意；故选：A．
3．如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠D＝∠5．
能判定AD∥CB的条件个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：（1）若∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD，不能判定AD∥CB．
（2）若∠1＝∠2，则AD∥CB（内错角相等，两直线平行）．
（3）若∠3＝∠4，则AB∥CD，不能判定AD∥CB．
（4）若∠D＝∠5，则AD∥CB（内错角相等，两直线平行）．
综上所述，符合条件的有2个．故选：B．
例4．已知：如图，平分，．求证：
证明平分

（已知）；


【解答】证明：平分（已知），
角平分线定义），
（已知）；
等量代换），
内错角相等，两直线平行）
例5．如图，已知，，请说明与平行的理由．
解：将的邻补角记作，则





【解答】解：将的邻补角记作，则
（邻补角的意义）
（已知）
（同角的补角相等）
（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
故答案为：180，邻补角的意义；已知；同角的补角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行．
过关检测
1．在下列括号内，填上推理的根据．
已知：如图，，，求证：．
证明： ，
，
，
又 （已知）
．
【解答】证明：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
又（已知），
，
（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行．
2．看图填空，并在括号内注明说理依据．
如图，已知，，，，与平行吗？与平行吗？
解：，（已知），
．
．
又（已知），
．
．
同理可得， ．
．
（同位角相等，两直线平行）．
【解答】解：，（已知），
．
（同位角相等，两直线平行）．
又（已知），
．（垂直的定义）
．
同理可得，．
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；；同位角相等，两直线平行；垂直的定义；125；等量代换；；．
例6．已知：如图，直线与被所截，，求证：．
【解答】证明：（对顶角相等），
又（已知），
，
（同位角相等，两直线平行）．
过关检测
1．如图，和相交于点，，．
求证：．
【解答】证明：， （已知），
又（对顶角相等），
．
（内错角相等，两直线平行）．
2．如图，已知，，直线与平行吗？为什么？
【解答】解：，理由如下：
，
，
，
，
．
3．如图，已知．，，求证：．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
．
五. 平行线的性质
内容讲解
1．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
2．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
3．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
例1．下列命题不正确的是（ D ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．若a∥b，c∥b，则a∥c
D．若两相等的角有一边平行，则另一边也互相平行
例2．如图，直线a∥b，∠1=54°，那么∠2、∠3、∠4各是多少度?
【解答】
∵∠1=54°，
∴∠2=∠1=54°，
∵a∥b，
∴∠2+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠3=180°−∠2=180°−54°=126°
∵a∥b
∴∠4=∠2=54°(两直线平行，内错角相等).
例3．如图AB∥CD，MN交CD于点E，交AB于点F，EG⊥MN于点E，
若∠DEM=60°，则∠AGE= .
【解答】 ∵AB∥CD，
∴∠EFG=∠DEM=60°.
∵EG⊥MN，
∴∠FEG=90°，
∴∠AGE+∠EFG=90°，
∴∠AGE=30°.
例4．已知AB∥CD，求∠B＋∠BED＋∠D的度数．
【解答】
解法1：如图，过点E作EF∥AB，则∠B＋∠BEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，又因为AB∥CD(已知)，所以EF∥CD(如果两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线相互平行)，所以∠FED＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，所以∠B＋∠BED＋∠D＝∠B＋∠BEF＋∠FED＋∠D＝180°＋180°＝360°
解法2：如图，联结BD，△BED中，由三角形内角和为180°，得∠EBD＋∠E＋∠BDE＝180°
因为AB∥CD(已知)，所以∠ABD＋∠BDC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，所以∠ABD＋∠DBE＋∠E＋∠BDE＋∠BDC＝180°＋180°＝360°
解法3：如图，过点E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF(两直线平行，内错角相等)．又因为AB∥CD(已知)，所以EF∥CD(若两直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行)，所以∠D＝∠DEF(两直线平行，内错角相等)，所以∠B＋∠BED＋∠D＝∠BEF＋∠BED＋∠DEF＝一个周角＝360°
例5．如图E为DF上的点，B为AC上的点∠1=∠2，∠C=∠D，那么DF∥AC，理由如下：
∵∠1=∠2（ 已知 ）
∴∠1=∠3，∠2=∠4（ 对顶角相等 ）
∴∠3=∠4（ 等量代换 ）
∴BD∥CE （ 内错角相等 ，两直线平行 ）
∴∠C=∠ABD（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠C=∠D（ 已知 ）
∴∠D=∠ABD（ 等量代换 ）
∴AC∥DF（ 内错角相等 ，两直线平行 ）
过关检测
1．下面命题：
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同一平面内的两条不相交直线平行；
（4）同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的有（ A ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60°，∠AED=40°.
(1)DE和BC平行吗?(2)∠C是多少度?为什么?
【解答】(1)DE和BC平行
理由：∵∠ADE=60°，∠B=60°，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)；
(2)∠C=40°，
理由：∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=40°(两直线平行，同位角相等).
3．如图所示，AB∥CD∥EF，若∠ABE=32°，∠ECD=160°，求 ∠BEC的度数．
【解答】∵AB∥EF，∠ABE=32∘，
∴∠BEF=∠ABE=32∘；
又∵CD∥EF，∠DCE=160∘，
∴∠DCE+∠CEF=180∘，
∴∠CEF=20∘；
∴∠BEC=∠BEF−∠CEF=32∘−20∘=12∘
4．已知AB∥CD,试说明∠BPD=∠B＋∠D.
【解答】证明：过点P作PF∥AB （点F在B、D一侧）
∵PF∥AB
∴∠B＝∠FPB （内错角相等）
∵AB∥CD
∴PF∥CD （平行于同一直线的两直线平行）
∴∠FPC＝∠D （内错角相等）
∵∠BPD＝∠FPB+∠FPC
∴∠BPD＝∠B+∠D
5．完成下面的证明．如图，已知AB∥CD∥EF，写出∠A，∠C，∠AFC的关系，并说明理由．
【解答】解：∠AFC＝ ∠A﹣∠C ．理由如下：
∵AB∥EF（已知），
∴∠A＝ ∠AFE （两直线平行，内错角相等）．
∵CD∥EF（已知），
∴∠C＝∠CFE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠AFC＝ ∠AFE ﹣ ∠CFE ，
∴∠AFC＝ ∠A﹣∠C （等量代换）．
学习任务
1．下列说法错误的是
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．不相交的两条直线叫做平行线
【解答】解：、对顶角相等，正确；
、两点之间所有连线中，线段最短，正确；
、等角的补角相等，正确；
、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；故选：．
2．下列说法中正确的个数是
（1）在同一平面内，、、是直线，，，则
（2）在同一平面内，、、是直线，，，则
（3）在同一平面内，、、是直线，，，则
（4）在同一平面内，、、是直线，，，则．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：（1）在同一平面内，、、是直线，，，则，正确；
（2）在同一平面内，、、是直线，，，则，故错误；
（3）在同一平面内，、、是直线，，，则，正确；
（4）在同一平面内，、、是直线，，，则，正确；
正确的有3个，故选：．
3．如图，直线、相交于点，，平分，若，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
平分，
．
，故选：．
4．如图，AB∥CD，EF交AB、CD于点E、F，FG⊥EF交AB于点G，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．40°B．50°C．70°D．140°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵FG⊥EF，
∴∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°，故选：A．
5．如图所示，直线、被直线所截，直线与、分别交于点、，下列结论正确的是
①与互为同位角；②和互为内错角；③；④．
A．②③B．②④C．①③D．③④
【解答】解：①与是邻补角，故原题说法错误；
②和互为内错角，故原题说法正确；
③，说法正确；
④，说法错误；故选：．
6．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中可以判断AB∥CD的是（ ）
A．∠A＝∠CBEB．∠A+∠CBA＝180°
C．∠A＝∠CD．∠C＝∠CBE
【解答】解：A、∠A＝∠CBE可以判定AD∥BC，故此选项不合题意；
B、∠A+∠CBA＝180°可以判定AD∥BC，故此选项不合题意；
C、∠A＝∠C不可以判定AB∥CD，故此选项不符合题意；
D、∠C＝∠CBE可以判定直线AB∥CD，故此选项符合题意．故选：D．
7．按要求完成下列证明：
已知：如图，在中，于点，是上一点，且．
求证：．
证明：（已知），
．
（已知），
．
．
【解答】证明：（已知），
垂直定义）．
（已知），
同角的余角相等）．
内错角相等，两直线平行）．
8．如图，，，平分，说明．
【解答】证明：平分
（角平分线的定义）
．
．
（内错角相等两直线平行）．
9．如图，如果AD∥BC，∠B＝∠C，那么AD是∠EAC的平分线吗？请说明你判别的理由．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，
又∵∠B＝∠C，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴AD是∠EAC的平分线．


家长签字：____________