2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第7节 两个公式综合（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第7节 两个公式综合（含答案），共44页。试卷主要包含了计算的结果是，计算的结果为，若，，则　 　，已知，，则　 　，已知，，求下列各式的值，两数差的立方公式，已知,求下列各式的值.等内容，欢迎下载使用。

目标层级图
课前检测
1．计算的结果是
A．B．C．D．
2．计算的结果为
A．B．C．D．
3．若，，则 ．
4．已知，，则 ．
5．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
课中讲解
一. 完全平方式的变形
内容讲解
=+ ；
=- ；
+= ；-= .
例1. 若，，则 ．
例2. 已知，，求和的值．
过关检测
1. 已知，，则
A．29B．37C．21D．33
2. 若，，则等于
A．2B．1C．D．
3. 若，则N表示的代数式是 ．
4. 已知，，则 ．
5. 已知，，则 ．
6. 已知实数，满足，．
（1）求的值； （2）求的值．
例3. 已知，则 ．
例4. 已知，则的值是 ．
过关检测
1. 已知，则 ．
2. 已知，试求 ．
二．配方
内容讲解
填空： =
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方.
解：∵
∴这两个数是和
∴ =
例1．求下列代数式的最值
（1） （2） （3）
例2．原题呈现：若,求、的值.
方法介绍：
①看到可想到如果添上常数4恰好就是,这个过程叫做“配方”，同理,恰好把常数5分配完；
②从而原式可以化为由平方的非负性可得且.
经验运用：
若，求的值.
例3．若,且的展开式中不含的一次项，求代数式的值.
例4．已知，求的值.
例5．说明代数式的值总是正数．
过关检测
1．求最值
2．已知，求=_______．
3．求的值．
4．已知，求的值．
5．如果多项式，求P的最小值．
三．降幂
内容讲解
1．已知二次式的值，求更高次数代数式的值，需要进行降幂变形，然后求值．
2．掌握几个公式变形：
； ；
- = .
例1．已知，求和的值．
例2．已知，求下列各式的值：
（1） （2）
过关检测
1．若，求代数式的值.
2．若，则 ．
3．已知实数满足，求下列各式的值：
（1） （2） （3）
（4） （5）
四．完全平方公式推广
内容讲解
（一）完全平方公式的推广公式
1．三个数和/差的完全平方公式：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
2．缺二式：（1）= ；
（2）= ．
3．立方和公式： ；
4．立方差公式： ．
5．两数和的立方公式： ；
6．两数差的立方公式： ．
（二）杨辉三角
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称“杨辉三角”．与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．
我们将这些数按照三角形的数列进行呈现，得到如下数列：
观察这个数列，我们可以得到如下的一些规律：
1．每个数等于它上方两数之和；
2．每行数字左右对称；
3．第行的数字有项；
4．第行数字和为；
5．的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行中的每一项；
6．第行的第个数和第个数相等．
1．三个数的和/差的完全平方公式和缺二式
例1．运用乘法公式计算：
（1）= ；（2）= ；
（3）= ；（4）= ．
例2．教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可用如图对三项的完全
平方公式作说明，那么其中用来表示的是
A．区域①的面积B．区域⑤的面积C．区域⑥的面积D．区域⑧的面积
例3．已知，，，则多项式的值为
A．0B．1C．3D．6
例4．（1）已知：，则、、的大小关系为 ．
（2）已知，，计算 ．
过关检测
1．运用乘法公式计算：
（1）= ；（2）= ；
（3）= ；（4）= ．
2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）若，，利用得到的结论，求的值．
3．已知，，，则代数式 ．
4．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
2．立方和、立方差公式和“杨辉三角”
例1．运用立方和与立方差公式化简：
（1）= ；（2）= ；
（3）= ．
例2．我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着展开式中的系数．请你猜想的展开式中含项的系数是
A．10B．12C．9D．8
过关检测
1．运用立方和与立方差公式化简：
（1）= ；
（2）= ；
（3）= ．
2．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
请你猜想的展开式中所有系数的和是
A．2018B．512C．128D．64
3．大家一定熟识杨辉三角（如图①，观察下列等式（如图②
（1）根据前面各式规律，则的展开式中第二项的系数是 ．
（2）中项的系数是 ．
（3）计算：
学习任务
1．化简的结果是
A．B．C．D．
2．已知，则
3．若，则 ．
4. 若，求的值.
5. 先化简，再求值：，其中满足
.
6. 已知，，，求代数式的值.
7．已知,求下列各式的值.
（1） （2）
8．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式；
（2）若，，用上面得到的数学等式求的值；
（3）小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值．
9．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（其中为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出的展开式中所缺的系数．
；
；
；
．
10．“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决．
（1）我们知道可以得到，．如果，求、的值．
（2）已知，试问多项式的值是否与变量的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值．
家长签字：____________
第7节 两个公式综合（解析版）
目标层级图
课前检测
一．选择题（共2小题）
1．计算的结果是
A．B．C．D．
【分析】利用完全平方公式：进行解答．
【解答】解：原式．
故选：．
2．计算的结果为
A．B．C．D．
【分析】根据平方差公式即可得出结果．
【解答】解：．
故选：．
二．填空题（共2小题）
3．若，，则 26 ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：，，
．
故答案为：26．
4．已知，，则 4 ．
【分析】原式利用平方差公式分解，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：，，
．
故答案为：4．
三．解答题（共2小题）
5．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【解答】解：（1），，
；
（2），，
．
（3）
（3）原式．
课中讲解
一. 完全平方式的变形
内容讲解
2ab =+2ab=-4ab
+=2a2+2b2-=-4ab
例1. 若，，则 38 ．
解：原式．
例2. 已知，，求和的值．
解：，，
，
则；
，
则．
过关检测
1. 已知，，则 B
A．29B．37C．21D．33
解：把两边平方得：，
将代入得：，
则．
故选：．
2. 若，，则等于 C
A．2B．1C．D．
解：，
，
，
，
，
解得：，
故选：．
3. 若，则N表示的代数式是 -48ab ．
解：已知等式整理得：，
则
4. 已知，，则 8 ．
解：当、时，
原式
，
5. 已知，，则 6 ．
解：①，②，
①②得：，即，
①②得：，即，
则原式
6. 已知实数，满足，．
（1）求的值； （2）求的值．
解：（1）因为，，
所以．
．
例3. 已知，则 -2 ．
例4. 已知，则的值是 16 ．
解：，
，
，
，
，
故答案为16．
过关检测
1. 已知，则 ．
解：设，，则，
，
，
，
，
即，
．
故答案为：．
2. 已知，试求 4098 ．
解：，
．
故答案为：4098
二．配方
内容讲解
填空：=
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方。
解：∵
∴这两个数是和
∴ 4 = 2
例1．求下列代数式的最值
（1） （2） （3）（此时二次项系数不为1，需要把二次项一次项提2）

例2.原题呈现：若,求、的值.
方法介绍：
①看到可想到如果添上常数4恰好就是,这个过程叫做“配方”，同理,恰好把常数5分配完；
②从而原式可以化为由平方的非负性可得且.
经验运用：
（1）若，求的值.（先分组再配方）
例3.若,且的展开式中不含的一次项，求代数式的值.（根据中间项4xy,4y分组,需要拆分5y2进行配方）
例4.已知，求的值.（先移项，根据中间项-4x,-4xy进行配方，需要拆分5x2）
例5．说明代数式的值总是正数．（先分组再配方）
过关检测
1．求最值
2.已知，求=_______.
3.求的值.
4.已知，求的值.
5.如果多项式，求P的最小值.
三．降幂
内容讲解
已知二次式的值，求更高次数代数式的值，需要进行降幂变形，然后求值.
例1．已知，求和的值．
【解答】解：，
，
，
，
，．
例2．已知，求下列各式的值：
（1） （2）
=23 =21
过关检测
1．若，求代数式的值.
【解答】解：（1），
，
原式
．
2．若，则 2017 ．
【考点】59：因式分解的应用
【解答】解：，
，
，
3．已知实数满足，求下列各式的值：
（1） （2） （3）
（4） （5）
【解答】解：（1），变形得：；
（2），
；
（3）；
（4）；
（5）；
四．完全平方公式推广
内容讲解
（一）完全平方公式的推广公式
1．三个数和/差的完全平方公式：（1） ；
（2） ；
（3） ；
2．缺二式：（1）=
（2）=
3．立方和公式： ；
4．立方差公式： ；
5．两数和的立方公式： ；
6．两数差的立方公式： ．
（二）杨辉三角
杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他所著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称“杨辉三角”．与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．
我们将这些数按照三角形的数列进行呈现，得到如下数列：
观察这个数列，我们可以得到如下的一些规律：
1．每个数等于它上方两数之和；
2．每行数字左右对称；
3．第行的数字有项；
4．第行数字和为；
5．的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行中的每一项；
6．第行的第个数和第个数相等．
1．三个数的和/差的完全平方公式和缺二式
例1．运用乘法公式计算：
（1）= ；（2）= ；
（3）= ；（4）= ．
【解答】解：
（1）原式
．
（2）原式
；
（3）
．
（4）．
．
例2．教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可用如图对三项的完全平方公式作说明，那么其中用来表示的是
A．区域①的面积B．区域⑤的面积C．区域⑥的面积D．区域⑧的面积
【分析】观察图形，找出边长为的正方形即可．
【解答】解：由图形可知，区域⑥是边长为的正方形，
所以，用来表示的是区域⑥的面积．
故选：．
例3．已知，，，则多项式的值为
A．0B．1C．3D．6
【分析】先由已知条件得出、、的值，再将原式利用公式法分别进行因式分解变形，再将、、的值代入计算即可得出答案．
【解答】解：，，，
，，，
．
故选：．
例4．（1）已知：，则、、的大小关系为 ．
【分析】对进行因式分解可得，进而解答即可．
【解答】解：，
，
，
即，
，，，
，
故答案为
（2）已知，，计算 2 ．
【分析】根据完全平方和公式展开，然后将，整体代入来求的值．
【解答】解：，
，即，
，①
，②
把②代入①，得：
，
解得，；
，
，，，
．
故答案为：2
过关检测
1．运用乘法公式计算：
（1）= ；（2）= ；
（3）= ；（4）= ．
【解答】解：（1）原式
；
（2）
．
（3）原式
．
（4）原式；
2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）若，，利用得到的结论，求的值．
【分析】（1）边长为的正方形的面积整体看和分部分来看两部分相等．问题可解；
（2）根据多项式乘法法则展开运算即可；
（3）由（1）中得到的结论得到，代入已知条件计算即可；
【解答】解：（1）边长为的正方形的面积为：，
分部分来看的面积为，
；
（2）
，
；
（3），，
，
的值为30．
3．已知，，，则代数式 3 ．
【分析】根据，，，可以求得、、的值，然后将所求式子变形即可解答本题．
【解答】解：，，，
，，，
，
故答案为：3．
4．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据完全平方和公式展开，然后将，整体代入来求的值；
（2）根据完全平方和公式展开，然后将，整体代入来求的值．
【解答】解：（1），
，即，
，①
，②
把②代入①，得
，
解得，；
（2），
，，
．
2．立方和、立方差公式和“杨辉三角”
例1．运用立方和与立方差公式化简：
（1）= ；
（2）= ；
（3）= ．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
例2．我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着展开式中的系数．请你猜想的展开式中含项的系数是
A．10B．12C．9D．8
【分析】由，，可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，由此可得的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，从而可得答案．
【解答】解：，
含项的系数是10，
故选：．
过关检测
1．运用立方和与立方差公式化简：
（1）= ；
（2）= ；
（3）= ．
【解答】解：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
2．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
请你猜想的展开式中所有系数的和是
A．2018B．512C．128D．64
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于相邻两项的系数和．
【解答】解：展开式共有项，系数和为．
的展开式中所有系数的和是：
故选：．
3．大家一定熟识杨辉三角（如图①，观察下列等式（如图②
（1）根据前面各式规律，则的展开式中第二项的系数是 5 ．
（2）中项的系数是 ．
（3）计算：
【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出展开式中第二项．
（2）根据题意给出的规律即可求出的展开式；
（3）根据题意给出的规律即可求出答案．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
的展开式中第二项的系数是5．
故答案为：5；
（2）中项为，
中项的系数是6．
故答案为：6
（3）原式．
学习任务
1．化简的结果是
A．B．C．D．
【解答】解：
，
2．已知，则 2
【解答】解：，
，
，
3．若，则 2 ．
【解答】解：，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
4.若，求的值.
=12
5.先化简，再求值：，其中满足
.
=36
6.已知，，，求代数式的值.
=3
7．已知,求下列各式的值.
（1） （2）
=23 =-1
8．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式；
（2）若，，用上面得到的数学等式求的值；
（3）小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值．
【分析】（1）整体计算正方形的面积和分部分求和，二者相等；
（2）依据，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：，而，可得，，的值，从而得解．
【解答】解：（1）图2中正方形的面积有两种算法：①；②．
．
故答案为：．
（2），
故答案为：30．
（3）由题可知，所拼图形的面积为：，
，
，，
．
故答案为：104．
9．如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（其中为正整数）展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出的展开式中所缺的系数．
；
；
；
4 ．
【分析】观察本题的规律，下一行的数据是上一行相邻两个数的和，根据规律填入即可．
【解答】解：．
10．“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决．
（1）我们知道可以得到，．如果，求、的值．
（2）已知，试问多项式的值是否与变量的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值．
【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到、的值；
（2）根据，代入求值．
【解答】解：（1）由，得到：，
，
所以有，，
解得，；
（2）多项式的值与变量的取值无关．理由如下：
，
，，，
，
．
多项式的值与变量的取值无关，且的值是3．
家长签字：____________