专题03 勾股定理的实际应用模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（人教版）

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模型1、梯子滑动模型
相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。
解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。
梯子滑动模型解题步骤：
1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；
2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；
3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
例1．（2023春·福建三明·八年级统考阶段练习）一架云梯长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端B放在距离墙根C点7米处，另一头A靠墙．(1)这架云梯的顶端A距地面有多高？(2)如果云梯的顶端下滑了4米，那么它的底部在水平方向滑动了多少米？

【答案】(1)这架云梯的顶端A距地面有24米高(2)它的底部在水平方向滑动了8米
【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长；
（2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值．
【详解】（1）由题意可得：，，
在中，，
答：这架云梯的顶端A距地面有24米高．
（2）当云梯的顶端下滑了4米时，，
在中，，，
∴，
∴．
答：它的底部在水平方向滑动了8米．
【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
例2．（2023春·四川广元·八年级校联考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离墙顶的距离为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米？

【答案】墙的高度为3米
【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【详解】解：设墙高为米，则米，米．
在中，根据勾股定理，得．
在中，根据勾股定理，得．
∵，∴，即．解得：．
答：墙的高度为3米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了 厘米．

【答案】9
【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离．
【详解】解：依题意得：，设滑动后点A、B的对应位置是，
由勾股定理得，(厘米)，
当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)，
∴(厘米)，
∴滑块B滑动的距离为：(厘米)，故答案为：9．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键．
例4．（2023·河南·八年级统考期中）如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】m
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】解：在中，，m，m，m，
此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，m，
m，m．
答：船向岸边移动了m．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
模型2、轮船航行模型
相关模型背景：轮船航行等。
解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。
航行模型解题步骤：
1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；
2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；
3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
例1．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile．
【答案】25
【分析】先根据题意可知是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】根据题意可知，∴．在中，，，
∴（nmile）．故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了应用勾股定理解决实际问题，勾股定理是求距离的常用方法．
例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
【答案】30（海里/时）
【分析】根据题意，利用勾股定理求得AB的长，再利用速度=路程÷时间即可求得答案．
【详解】解：依题意可知：∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，
∴AB＝＝＝15（海里），∴乙船的航速为（海里/时）．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解决直角三角形的实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
例3．（2023·内蒙古包头·八年级期末）如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）．
(1)若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
(2)请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由．
【答案】(1)3h；(2)C岛在A港的北偏西40°方向．
【分析】（1）理由勾股定理分别求得BD=80km，AC=75km，然后求出需要的时间；
（2）理由勾股定理的逆定理得到∠BAC=90°，得出结果．
【解析】(1)解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，∴BD= (km)，
在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km，∴AC=(km)，
轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)，故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
(2)C岛在A港的北偏西40°方向；
理由：∵752+1002=1252，∴AC2+AB2=BC2，∴∠BAC=90°，
∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°，∴C岛在A港的北偏西40°方向．
【点睛】本题考查利用勾股定理和逆定理解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形．
模型3、信号站（中转站）选择模型
相关模型背景：信号塔、中转站等。
解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
信号塔、中转站模型解题步骤：
1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；
2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；
3）根据斜边长相等建立方程求解。
例1．（2023春·湖北·八年级校考期中）如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16 km，CB=11 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
【答案】E站应建在离A站9.8 km处．
【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【详解】∵使得C，D两村到E站的距离相等，∴DE=CE．
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，
∴，
∴，设AE=x，则．
∵DA=16km，CB=8km，∴，解得：x=9.8，∴AE=9.8km．
答：E站应建在离A站9.8km处．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键．
例2．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，，点C在OA边上，OA=36cm，OB=12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？
【答案】20cm
【分析】由题意知：BC=AC，设BC=x cm，则OC=（36-x） cm．在 Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴，
设，则，∵，∴，
∵，∴，
∴，解得：，∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意BC=AC是解题的关键．
例3．（2023春·广东八年级课时练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）
A．20千米B．16千米C．12千米D．无法确定
【答案】B
【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．
【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，
∴，∴ ，
∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．
模型4、台风（噪音）、爆破模型
相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。
解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。
台风、爆破模型解题步骤：
1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；
2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；
3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。
例1．（2023春·安徽池州·八年级统考期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

【答案】有危险，需要暂时封锁；理由见解析．
【分析】本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作于D，然后根据勾股定理在中即可求出的长度，然后利用三角形的面积公式即可求出，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【详解】解：有危险，需要暂时封锁．
理由：如图，过作于，

米，米，，∴在中，米，
∵，∴米．
∵，∴有危险，段公路需要暂时封锁．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出的长．
例2．（2023春·湖南岳阳·八年级校考期中）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．（1）求的度数；（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？

【答案】（1）135°；（2）被监控到的道路长度为米.
【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案；（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵，，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴，∠CAB=45°，
∵，在△ACD中，有，
∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：

由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF，由（1）知，∠BAD=135°，∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，在Rt△ADE中，有，
解得：，∴；∴被监控到的道路长度为米.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用轴对称的性质和勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算.
例3．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图，公路和公路在点P处交汇，且，点Q处有一座火箭发射塔，，假设龙卷风来临时，周围150km内都会受到大风影响．

(1)若龙卷风恰好沿公路由B向A处行进，火箭发射塔是否会受到影响？请说明理由；
(2)已知龙卷风的速度为300km/h，若受影响，那么火箭发射塔受影响的时间为多少分钟？
【答案】(1)受影响，理由见解析(2)火箭发射塔受影响的时间为36分钟
【分析】（1）过点Q作于点H，只要计算的长与150作比较，若比150小，则受影响，反之，则不受影响；（2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，勾股定理求出的长，则可得的长，再除以其速度即得时间．
【详解】（1）受影响．理由如下：过点Q作于点H，
∵，∴．∴．∴．
∵，在中，，
∴．∴火箭发射塔会受到大风的影响．

（2）设龙卷风行至点E处开始影响火箭发射塔，在点F处结束影响，连接，则，
在中，．
∵，，∴，∴，
∴（小时）（分钟）．∴火箭发射塔受影响的时间为36分钟．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
例4．（2023·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时40km的速度向南偏东60°的OB方向移动，距台风中心130km的范围内是受台风影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？
【答案】（1）A城受到这次台风的影响，见解析；（2）2.5小时．
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向OB作垂线，垂足为H，若AH＞130则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线OB的长为200千米的点有两点，分别设为R、T，则△ART是等腰三角形，由于AH⊥OB，则H是RT的中点，在Rt△ARH中，解出RH的长，则可求RT长，在RT长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【详解】（1）如图，作AH⊥OB于H．
在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，OA=240km，∠AOH=30°，∴AH=OA=120km，
∵120＜130，∴A城受到这次台风的影响．
（2）如图，设AR=AT=130km，则易知：RH=HT==50（km），
∴RT=100km，∴受台风影响的时间有=2.5小时．
【点睛】此题考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂.
模型5、超速模型
相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。
解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。
超速模型解题步骤：
1）根据勾股定理计算行驶的距离；
2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；
3）比较实际行驶速度和规定速度。
例1．（2023·河北·八年级专题练习）在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即），并在离该公路100 m处设置了一个监测点A．在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段．(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：≈1.7)
【答案】见解析
【详解】试题分析:根据方位角的概念,得出∠BAO=60°,∠CAO=45°,由∠BAO=60°可得∠ABO=30°,进而可得AB的值,然后在Rt△ABO中由勾股定理可求出OB的值,（2）判断是否超速就是求BC的长,然后比较即可.
解：(1)在Rt△AOB中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝AB.
∵OA＝100 m，∴AB＝200 m. 由勾股定理，得OB＝＝100(m)．
在Rt△AOC中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.
∴OC＝OA＝100 m．∴B(－100，0)，C(100，0)．
(2)∵BC＝BO＋CO＝(100＋100)m，≈18>， ∴这辆汽车超速了．
例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】不会
【分析】根据题意可分别求出出发3秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发3秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于25米作比较即可得出答案．
【详解】解：如图，出发3秒钟时，米，米，
∵AC=40米，AB=30米，∴AC1=28米，AB1=21米，
∴在中，米＞25米，
∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键．
例3．（2023秋·湖南邵阳·八年级武冈市第二中学校考开学考试）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？
【答案】该河的宽度BC为120米
【分析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．
【详解】根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，
设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．答：该河的宽度BC为120米．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形及三边的数量关系是解题的关键.
模型6、风吹莲动模型
相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。
解题关键：“莲花”高度为不变量。
风吹莲动模型解题步骤：
1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
例1．（2023·四川成都·八年级校考期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好碰到池边的水面．则水池里水的深度是（ ）
A．5尺B．10尺C．12尺D．13尺
【答案】C
【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，，解得：，
答：水池里水的深度是12尺．故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
例2．（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)根据题意，_________，_________，_________；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_________．
【答案】(1)，3，1(2)秋千的长度是；(3)4
【分析】（1）由题意得，，，证四边形是矩形，得，则；（2）设秋千的长度为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
，，，四边形是矩形，
，，故答案为：，3，1；
（2）解：，，设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，即秋千的长度是；
（3）解：当时，，
，，
由（2）可知，，，
在中，由勾股定理得：，
即需要将秋千往前推送，故答案为：4．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
例3．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围为 ．

【答案】
【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大（cm）．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图，此时（cm），（cm）．
∴h的取值范围是．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．
模型7、折竹抵地模型
相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。
解题关键：“竹子”高度为不变量。
折竹抵地模型解题步骤：
1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
例1．（2023春·山西大同·八年级校考期中）《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面还有几尺？（1丈=10尺）设竹子折断处离地面还有x尺，则可列方程为 ．

【答案】
【分析】根据勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边尺，
根据勾股定理：，故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
例2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期末）如图所示，在一次暴风雨后，一棵大树从离地面处被折断，经测量树的顶端与地面的接触点A离树根部C的距离，若在该树正上方离地面处有高压电线，请判断该树在折断前是否接触到电线？并说明你的理由．

【答案】不会
【分析】先利用勾股定理求出，比较折断前大树高度与高压电线高度判断即可解题．
【详解】解：不会，理由为：根据勾股定理可得：，
∴折断前大树高度为：，∴该树在折断前不会接触到电线．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理计算是解题的关键．
例3．（2023春·吉林松原·八年级统考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为（）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．则风筝离地面高度为 米．

【答案】
【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度．
【详解】解：由题意可得：，
在中，由勾股定理得，，
∴米，答：风筝的高度为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
例3．（2022春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆5m处，发现此时绳子末端距离地面1m，则旗杆的高度为 m．（滑轮上方的部分忽略不计）
【答案】13
【分析】根据题意，过作构造直角三角形，在Rt中，，，m，，根据勾股定理得，即，解得，从而得到旗杆高度．
【详解】解：如图所示，过作：
设旗杆高度为m，则m，
根据题意，，，则，
在Rt中，，，m，，
根据勾股定理得，即，
解得，旗杆的高度为13m，故答案为：13．
【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，构造直角三角形利用勾股定理求线段长是解决问题的关键．
模型8、不规则图形面积模型
相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。
解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。
面积模型解题步骤：
1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；
2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；
3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；
4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。
例1．（2022·山东滨州·八年级期末）如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 _____．
【答案】36
【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接BD，如图所示：
∵∠C=90°，CD=4，BC=3，∴BD===5，
∵在△ABD中，AB2+BD2=144+25=169=132=AD2，∴△ABD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB•BD+BC•CD=×12×5+×3×4=36 故答案为：36．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，是解答此题的关键．
例2．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．
【答案】周长为；面积为26
【分析】根据勾股定理分别求出AB，BC，CD，AD的长即可得到四边形ABCD的周长；根据四边形ABCD的面积等于其所在的长方形面积减去周围四个三角形面积求解即可．
【详解】解：根据勾股定理得，，， ， 故四边形ABCD的周长：；
四边形ABCD的面积：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，熟知勾股定理是解题的关键．
例3．（2023·辽宁·沈阳八年级阶段练习）在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将的面积直接填写在横线上．__________________
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
（3） 若△ABC三边的长分别为、、 (m＞0，n＞0，且m≠n)，请利用图③的长方形网格试运用构图法求出这三角形的面积．
【答案】（1）；（2）图见解析；3a2；（3）图见解析；3mn．
【分析】（1）依据△ABC的面积＝3×3−1×2÷2−1×3÷2−2×3÷2进行计算即可；
（2）是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）是以m，2n为直角边的直角三角形的斜边长； 是以m，4n为直角边的直角三角形的斜边长；是以2m，2n为直角边的直角三角形的斜边长；继而可作出三角形，然后求得三角形的面积．
【详解】（1）△ABC的面积＝3×3−1×2÷2−1×3÷2−2×3÷2＝， 故答案为：；
（2）如图：由图可得，S△＝2a×4a−−−＝3a2；

（3）如图，AB＝，AC＝，BC＝2，
∴S△ABC＝2m×4n−×2m×2n−×m×4n−×m×2n＝3mn．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积问题．注意掌握利用勾股定理的知识画长度为无理数的线段是解此题的关键．
课后专项训练4
1．（2023·西安市八年级月考）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（ ）
A．1.5米B．1.7米C．1.8米D．0.6米
【答案】A
【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，
在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5．故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
2．（2020·广西中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ）

A．寸B．寸C．寸D．寸
【答案】C
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，，即，解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2023春·河南开封·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x．
【详解】解：设旗杆高度为x米，则，，
在中，由勾股定理得即
解得：∴旗杆的高度为17米．故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
4．（2023春·云南昆明·八年级校考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部的A处，则旗杆折断部分的高度是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求解．
【详解】解：由题意得：，
则 故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据实际情况抽象出数学模型．
5．（2023春·河南周口·八年级统考期末）如图，湖的两岸有两点，在与成直角的方向上的点处测得米，米，则两点间的距离为（ ）

A．40米B．30米C．50米D．米
【答案】A
【分析】根据勾股定理直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，在中，，米，米，
两点间的距离为（米），故选：A．
【点睛】本题考查利用勾股定理解实际应用题，数形结合是解决问的关键．
6．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是．故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
7．（2023·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为15cm，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）

A．20cmB．18cm C．12cm D．10cm
【答案】A
【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．
【详解】解：依题意，，在中，，
∵，，在中，，故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
8．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为 m．
【答案】5
【分析】根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设，∵，∴，即，解得：，
∴，∴，故答案为：5．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．
9．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。
【答案】
【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案
【详解】解：在Rt中，，，，
∴
小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分)
∴小明、小亮同时到达C时， 小明、小亮同时到达D时，
∴a的取值范围是：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键
10．（2023秋·湖北八年级课时练习）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x尺，则根据题意列方程为： ．
【答案】
【分析】设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：如图，设折断处离地面x尺，
根据题意可得：，故答案为：
．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米．
【答案】75
【分析】设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可．
【详解】解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75．故答案为75．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键．
12．（2023秋·河南郑州·八年级校考开学考试）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，随板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步（两步=10尺），此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度．

【答案】秋千绳索的长度是尺．
【分析】设尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设尺，尺，尺，
尺，尺，
在Rt中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得，，解得：，
答：秋千绳索的长度是尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
13．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）数学小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1所示），聪明的小迪发现：先测出绳子多出的部分（该处绳子是直的）的长度，再将绳子拉直（如图2所示），测出绳子末端D到旗杆底部B的距离的长度，利用所学知识就能求出旗杆的长．已知米，米．

(1)求旗杆的长；(2)小迪在D处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止（如图3所示），测得小迪手臂伸直后的高度为2米，过点E作于点G，，，求小迪后退了几米？
【答案】(1)旗杆的长为9米(2)小迪需要后退米
【分析】（1）在中，由勾股定理计算即可；
（2）在中，求出，根据便可求出后退的距离．
【详解】（1）解：由题意可得，，
在中，，即，
解得，即旗杆AB的长为9米；
（2）解：由题意可得，，，
在中，，即，解得，
∴，即小迪需要后退米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，属于基础题，要熟练掌握．
14．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米．
(1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
【答案】(1)米(2)航行总时间为67.5秒
【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离．
（2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可．
【详解】（1）解：设米，则米，
在中，根据勾股定理得：，解得：，
答：河宽240米．
（2）解：（秒），（秒），（秒），
答：航行总时间为67.5秒．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．
15．（2023春·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，求水深是多少cm？
【答案】45cm
【分析】设水深为hcm得到，，，，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可.
【详解】解：设水深为hcm，如下图所示，
由题意得：在中，，，，
由勾股定理得：，
即，解得：．答：水深是45cm．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解此题的关键在于根据题意画出示意图，利用数形结合进行解答即可.
16．（2023秋·广东·八年级专题练习）某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．

(1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？
【答案】(1)(2)没有超速．
【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长；
（2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【详解】（1）解：在中，，；
据勾股定理可得：=
（2）解：小汽车的速度为；
∵；∴这辆小汽车行驶没有超速．答：这辆小汽车没有超速．
【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
17．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离．
【答案】公里．
【分析】先利用勾股定理求出的长，设公里，从而可得的长，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：由题意得：公里，公里，，，
（公里），
设公里，则公里，
在中，，即，解得（公里），
答：小渝家到见面地点的距离为公里．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
18．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？
【答案】
【分析】设，则，根据勾股定理可得，，，结合得到关于x的方程，求解即可．
【详解】解：设，则，
∵，，∴和都是直角三角形，
在中，，在中，，
∵，，，∴，解得，
答：信号塔应该建在距离A乡镇的地方．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．
19．（2022秋·四川遂宁·八年级校联考期末）在一次消防演习中，消防员架起一架20米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙12米．
(1)求这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？
【答案】(1)16米(2)4米
【分析】（1）利用勾股定理可得BE再代入数计算即可；
（2）根据题意表示出EA长，再在直角△ABC中利用勾股定理计算出BC长，进而可得CD长．
【详解】（1）解：由题意得：DE＝20米，BD＝12米，
则BE＝＝＝16（米）．
答：这个梯子的顶端距地面有16米；

（2）解：由题意得：EA＝4米，则AB＝12米，AC＝20米，BC＝＝＝16（米），
∵BD＝12米，∴CD＝16﹣12＝4（米）．
答：云梯的底部在水平方向应滑动4米．
【点睛】此题主要考查了勾股定理得应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20．（2023秋·广东·八年级专题练习）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接．
(1)求的长，(2)求门槛的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意得到，然后根据勾股定理求解即可；
（2）由题意可得，设，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵O是的中点∴
∵∴；
（2）设，则．
∵， 尺寸
∴解得：∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．
21．（2023·湖北八年级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄河边原有两个取水点其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路．请通过计算加以说明；（2）求新路比原路少多少千米．
【答案】(1)是，理由见解析；(2)0.05千米
【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；(2)在△ACH中根据勾股定理解答即可．
【详解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 ∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
22．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，求船向岸边移动的距离（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】
【分析】先根据题意求出CD的长度，然后利用勾股定理分别求出AB，AD的长度，最后用AB-AD即可得出答案.
【详解】根据题意有
在 中，
在 中，
∴船向岸边移动的距离
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
23．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东航行，乙船向北偏东航行，2小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若CB两岛相距40海里，(1)直接写出的度数；(2)求乙船的航速是多少？
【答案】(1)(2)12海里/时
【分析】（1）利用平角减去的方向角即可得解；（2）利用路程等于速度乘以时间，求出，利用勾股定理，求出，再利用路程除以时间，求出乙船的航速．
【详解】（1）解：由题意，得：；
（2）解：由题意，得：，
∵，∴，
∴乙船的航速是：（海里/时）．
答：乙船的航速是海里/时．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
24．（2022·北京市初二期中）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）直接写出四边形ABCD的面积；（2）求证：∠BCD=90°．
【答案】（1）四边形ABCD的面积为14.5；（2）证明见解析．
【分析】（1）用四边形ABCD所在长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形ABCD的面积；利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD，即可求得四边形ABCD的周长；
（2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可证明；
【解析】（1）四边形ABCD的面积=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；
（2）连接BD．∵BD2，BC2+CD2=20+5=25，
∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°．
【点睛】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米．这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由．
【答案】能通过，理由见解析.
【分析】首先画出卡车的横截面图，OE的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出CE的长度．如果BC的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过．
【详解】能通过．
如图中的长方形是卡车横截面的示意图：
当桥洞中心线两边各为0.8米时，设米，在中，由勾股定理得
，解得，∵，∴卡车能通过．
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意化出图形.
26．（2023春·河南洛阳·八年级校联考期中）如图，海上救援船要从距离海岸8海里的点位置到海岸的处携带救援设备，然后到距离海岸16海里处的点处对故障船实施救援．已知间的距离为18海里，为使救援船尽快赶到故障船实施救援，救援设备被放置在恰当位置．（1）试在图中确定点的位置；
（2）若救援船的速度是20节（1节=1海里/小时），求这艘救援船最快多长时间到达故障船？
【答案】（1）见解析；（2）1.5
【分析】（1）利用“直线同侧两点到直线上一点距离的和最短的问题”模型，利用轴对称的知识，确定M的位置.（2）补全图形，利用勾股定理，得到EC的长，从而得到到达所用时间.
【详解】
解：（1）延长AB至E，使BE=AB，连接EC交BD于M，连接AM，则点M即为所求.
（2）依题意有AB=8，CD=16，BD=18，
根据（1）的作图可知，点A，E关于直线BD对称，∴AB=BE=8，AM=EM，
过点E作EFBD，交CD的延长线与F，
∵四边形BEFD为矩形，∴EF=BD=18，AB=BE=DF=8，∴CF=CD+DF=16+8=24，
在ECF中，，∴AM+MC=EM+MC=EC=30，
又∵救援船的速度是20节，即为20×1=20（海里/小时），
∵（小时）.∴这艘救援船最快到达故障船的时间为1.5小时.
【点睛】本题主要考查了最短距离“直线同侧两点到直线上一点距离的和最短的问题”模型的应用及勾股定理.关键是理解题意，熟练掌握从具体的问题中抽象出数学模型的建模思想，属于基础题.
27．（2023·广东·八年级专题练习）如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
【答案】走私艇最早在10时41分进入我国领海．
【分析】先判断出△ABC是直角三角形，再用面积相等计算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理计算出CD，
算出走私艇行驶的时间，即可求出进入我国领海的时刻．
【详解】∵ ，∴△ABC为直角三角形．∴∠ABC＝90°．
又BD⊥AC，∴,∴,
在Rt△BCD中，由勾股定理得：．
∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．
【点睛】本题是与航海有关的实际应用题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，用面积相等计算直角三角形斜边上的高是常用的方法．
28．（2023·江苏八年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
【答案】
【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝CD，AD＝CD＝BD，然后由AD−BD＝AB求出BD，进而求出AC，再利用路程＝速度×时间即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，
∵∠BAC＝75°−30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∴AC＝CD，
∵BCAE，∴∠DBC＝∠BAE＝90°−30°＝60°，∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝，
∵AD−BD＝AB，∴ 海里，解得：BD＝10 海里，
∴CD＝ 海里，∴AC＝CD （海里），
∴小时 答：经过小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理、等腰直角三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
29．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，）
【答案】(1)直角三角形，见解析；(2)符合要求，见解析
【分析】（1）根据，勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理，即可；（2）过点D作于点E；作A点关于DE的对称点，连接，根据直角三角形的性质，得，根据，则，三角形是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，可推出，即可．
【详解】（1）解：（1）是直角三角形．
理由如下：∵，，∴在中，
∵，∵，，
∴，∴，∴是直角三角形．
（2）符合要求，理由如下：过点作于点；作点关于的对称点，连接，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴在中，∴，
∴，∴，
∵，∴该监控装置符合要求．

【点睛】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理．
30．（2022·山东八年级专题练习）问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，3，，求这个三角形的面积．
小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．（1）请你直接写出△ABC的面积 ；
思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为，2，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．
【答案】（1）4.5；（2）画图见解析，7
【分析】（1）根据图形得出S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根据面积公式求出即可；
（2）先画出符合的三角形，再根据图形和面积公式求出即可．
【详解】解：（1）△ABC的面积是4.5，理由是：

S△ABC＝S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC＝4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3＝4.5，故答案为：4.5；
（2）如图2的△MNP，
S△MNP＝S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP＝5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1＝7，即△MNP的面积是7．
【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式的应用，解此题的关键是能正确画出格点三角形，难度不是很大．
31．（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）A城市是否会受台风影响？为什么？（2）若会，将持续多长时间？（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？
【答案】(1)会受到影响，距台风中心160千米就会受到影响．而A城到台风路线BC距离为110千米； (2) 持续4小时； (3)最大风力6.5级．
【分析】（1）求是否会受到台风的影响，就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段，直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了，因此可以求出答案．
（2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得，有了路程，有了速度，即可求出时间．
（3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风．
【详解】解：(1) 该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=220，∴，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160．
∵110＜160，∴该城市会受到这次台风的影响．
(2) 如上图，以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F，则AE=AF=160，
∴台风影响该市持续的路程为：，
∴台风影响该市的持续时间为：t=÷15=4
(3)∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（110÷20）=12-5.5=6.5（级），故最大风力6.5级．
【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决．