专题05 垂美四边形模型与378、578模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（人教版）

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规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形

图1 图2 图3
条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；
结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。
【变形1】
条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2
【变形2】
条件：如图3，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP；结论：AP2+PC2=DP2+BP2
用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。
例1．（2023春·浙江八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A．7B．9C．16D．25
例2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形的对角线，互相垂直，若，，则的长为（ ）
A．2.5B．3C．4D．
例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（ ）
A．64B．32C．16D．以上都不对
例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为_____．
例5．（2022·山东济宁·统考一模）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________，________．
(2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点），，，请你直接写出一个以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点M的坐标为________；
(3)如图（2），将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，．求证：，即四边形是勾股四边形；
(4)若将图（2）中绕顶点B按顺时针方向旋转a度，得到，连接，，则________°，四边形是勾股四边形．
例6．（2022秋·江西抚州·九年级校考阶段练习）
(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）

(2)【概念理解】如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，试探究，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明；(4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．
模型2、378和578模型
当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。

条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；
结论：①这两个三角形的面积分别为63、103；②3、8与5、8夹角都是60°。
例1．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
例2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（ ）．
A．45°B．37°C．60°D．90°
例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于点D并求出CD的长度．
例4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（ ）
A．20B．10C．10D．28
例5．（2023·广西柳州·校考一模）已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣5，若两个三角形全等，则x=__．
例6．（2023·重庆·八年级专题练习）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为 ．
课后专项训练
1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（ ）
A．16B．32C．36D．64
3．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2
4、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 ．
5．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于 ．

6．（2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 ．
7．（2023·江西九江·八年级统考期末）模型介绍
（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，请结合图1证明这个结论．
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长．
8．（2023春·河南新乡·八年级校考期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形．
(1)【理解定义】在“平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四边形的是 ．
(2)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线相交于点O，猜想之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)【综合运用】如图2，在中，，分别以为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接．
①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论． ②求的长（直接写出答案）．
9．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
探究：如图1，四边形是垂美四边形．
(1)若，，则四边形的面积为_______．(2)求证：
(3)如图2，在外侧，分别以为直角边构造等腰和等腰，连接，点F为中点，连接，若，，，求的长．
10．（2023春·广东·八年级专题练习）【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【性质探究】如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论；(2)【拓展应用】如图2，Rt中，，分别以和为直角边向外作等腰Rt和等腰Rt，连接，若，，求的长．
11．（2023·福建·模拟预测）【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．(2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想．(3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长．
12．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
13．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2，则S△ABC＝ ．
14．（2023春·江苏徐州·八年级统考期中）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
(1)下面四边形是垂等四边形的是______；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
(2)如图，在四边形中，，，过点D作垂线交的延长线于点E，且，证明：四边形是垂等四边形．

15．（2023·山西·八年级统考期末）阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)写出两个是勾股四边形的特殊四边形：____________，____________．
(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB．
(3)如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接AD，DC，，那么线段DC，AC，BC的数量关系为_______________．
16．（2023秋·湖南长沙·八年级校考期末）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)如图，已知格点(小正方形的顶点)：、、，若为格点，请直接画出所有以、为勾股边且对角线相等的勾股四边形；
(2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结、，，求证：，即四边形是勾股四边形；
(3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求长．
17．（2023春·广西南宁·八年级校考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：在下列四边形中，正方形；矩形；菱形；平行四边形．是垂美四边形的是：______（填写序号）；
(2)性质探究：如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，且与相交于点，已知，，求长．