专题06 直角三角形中的分类讨论模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型（人教版）

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【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）
即：如图：已知，两点是定点，找一点构成
方法：两线一圆
具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。
③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）在中，，，当 时，是直角三角形．
例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为 ．
例3．（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．
例5．（2022秋·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ．
例6.（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形中，，点E为边上的一个动点，与关于直线对称．当为直角三角形时，的长为 ．

例7.（2023·浙江·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝ ．
例8．（2023秋·广东八年级课时练习）如图所示，已知，P是射线上一动点，．
(1)当是等边三角形时，求的长；(2)当是直角三角形时，求的长．

例9．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点．

(1)如图1，若点恰好落在边上，判断的形状，并证明；
(2)如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数；
(3)若，当是直角三角形时，直接写出的长．
例10．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求直线的表达式；(2)点M是坐标轴上的一点，若以为直角边构造，请求出满足条件的所有点M的坐标；(3)如图2，以A为直角顶点作，射线交x轴的正半轴于点C，射线交y轴的负半轴于点D，当绕点A旋转时，求的值．
例11．（2023秋·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为．

(1)求直线的解析表达式．(2)若在线段上，四边形的面积为14，求点坐标．
(3)若点、分别为直线、上的动点，连结、、，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．
课后专项训练
1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点，以点A和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可以作出 个．
3．（2023秋·广东·八年级专题练习）平面直角坐标系中有点A（0，4）、B（3，0），连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则点C的坐标为 ．
4．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度．
5．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，现将BC延长到点D，使△ABD为等腰三角形，则CD的长为 ．
6．（2023春·江苏·八年级期末）在中，，，的角平分线BD交AC于D，E为线段AB上的动点，当是直角三角形时，的度数是 ．（写出所有的正确结果）
7．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜边AB上一个动点，E是直线BC上的一个动点，将△ABC沿DE折叠，使点B的对应点F落在直线AB上，连接CF，当△CEF是直角三角形时，线段BD的长为 ．
8．（2022春·河南新乡·八年级统考期末）在中，高和所在直线相交于点O，若不是直角三角形，且，则 ．
9．（2023春·广东八年级课时练习）如图，在等边三角形中，，于点，点，分别是，上的动点，沿所在直线折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．
10．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，是边长为的正三角形，动点从向以匀速运动，同时动点从向以匀速运动，当点到达点时，两点停止运动，设点的运动时间为秒，则当__________时，为直角三角形．
11.（2022秋·山东济南·八年级统考期中）如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角形，则
12．（2023·河南·郑州市三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
13．（2022·辽宁抚顺·三模）如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为_______．
14．（2023秋·成都市八年级课时练习）如图，在中，，，，点F在直线上，连接．若为直角三角形，求的度数．

15．（2023春·广东·八年级专题练习）在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接，交于点F．当是直角三角形时，求度数．
16．（2023秋·江西新余·八年级统考阶段练习）在中，，，，点从点出发以的速度沿向点运动，同时点从点出发以的速度沿向点运动，运动的时间为．连接．(1)当为何值时，？(2)当为何值时，为等边三角形？(3)当为何值时，为直角三角形？

17．（2023秋·广东·八年级课堂例题）某同学在学习过程中得出两个结论，结论1：在直角三角形中，夹内角的两边长是2倍的关系．结论2：在一个三角形中，如果夹内角的两边长是2倍的关系，那么这个三角形是直角三角形．(1)上述结论1_________．（填写“正确”或“不正确”）
(2)上述结论2正确吗？如果你认为正确，请你给出证明；如果你认为不正确，请你给出反例．
(3)等边三角形的边长为4，点分别从点同时出发，分别沿边运动，速度均为1个单位长度/秒，当点到达点时两点均停止运动，则当运动时间是多少秒时，是直角三角形？请你给出解题过程．
18．（2022秋·浙江湖州·八年级统考阶段练习）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．

(1)已知把线段分割成，若，，，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由．(2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
19．（2022·湖北荆州·八年级期中）如图，已知等边ABC的边长为8cm，点P以1cm/s的速度从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时以2cm/s的速度从顶点B沿BC向C点运动，其中一点到达终点时两点停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．（1）当时，试判断AQ与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？
20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10．
(1)求直线BC的解析式；(2)如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标；
(3)如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标．
21．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点的一条直线交于点，若，显然直线是的关于点的二分割线．（1）在图2的中，，．请在图2中画出关于点的二分割线，且角度是 ；
（2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足:①为最小角；②存在关于点的二分割线．的度数是 ；
（3）已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线．请求出的度数（用表示）．
22．（2022春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为

(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．