湖北省荆州市公安县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省荆州市公安县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了 下列计算正确的是， 估计的值应在等内容，欢迎下载使用。

1. 本卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2. 本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上．解答题中添加的辅助线、字母和符号等务必标在答题卡对应的图形上．
3. 在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答．
★祝考试顺利★
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1. 以下各数是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A 1，2，3B. 6，8，10C. 2，，D. ，，
答案：B
解析：解：根据勾股定理的逆定理得，
选项，，不能构成直角三角，不符合题意；
选项，，能构成直角三角，符合题意；
选项，，不能构成直角三角，不符合题意；
选项，，不能构成直角三角，不符合题意；
故选：．
3. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：D
解析：解：A、，，根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意；
B、，，根据两组对角分别相等的四边形为平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意；
C、，，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可判定这个四边形是平行四边形，不符合题意；
D、，，一组对边平行，另一组对边相等，无法判定这个四边形是平行四边形，符合题意；
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、，不是同类二次根式，两个根式的被开方数不能加减，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误；
故选C．
5. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A. 直角三角形两个锐角互余B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和等于D. 勾股定理
答案：B
解析：解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、，
∵，
∴以、、为边长三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故选：B．
6. 如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③
答案：C
解析：解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直，
故选C．
7. 估计的值应在（ ）
A. 7和8之间B. 6和7之间C. 5和6之间D. 4和5之间
答案：A
解析：解：
∵，即：
∴，
∴的值应在7和8之间．
故选：A．
8. 如图是边长为1的4×4的正方形网格，已知A，B，C三点均在正方形格点上，则点C到线段所在直线的距离是（ ）
A. 2B. C. 2.5D.
答案：B
解析：解：如图，连接，
由勾股定理可得：，，，
，
∴是直角三角形，，
∴点C到线段AB所在直线的距离是
故选：B．
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则顶点E的坐标为（ ）
A. （3，）B. （，3）C. （，1）D. （1，）
答案：A
解析：解：过点作轴于点，
∵四边形为菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
10. 如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（ ）
A. 2或6B. 3或6C. 2或5D. 3或5
答案：C
解析：解：当为直角三角形时，有两种情况：
①当点落在矩形内部时，如图所示，连接，
在中，，，
∴，
∵沿折叠，使点落在点处，
∴，
当为直角三角形时，则有∠，
∴点、、共线，
即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
②当点落在边上时，如图所示，
此时四边形为正方形，
∴，
∴，
综上所述，的长为或，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 如果一个直角三角形的两条直角边的长分别是5和12，那么这个直角三角形斜边长是__________．
答案：13
解析：解：由题意可画出示意图如下，
∵
∴．
故答案为：13．
12. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为___．
答案：
解析：解：∵，
∴，
又∵为的中点，
∴．
故答案为．
13. 计算：_____．
答案：
解析：
故答案为：．
14. 如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是秒，乙客轮航行的速度是秒，5分钟后甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向是___．
答案：北偏西
解析：解：如图，
甲的路程：，
乙的路程：，
，即：，
，即甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
甲客轮沿着北偏东，即：，
∴，，
乙客轮的航行方向是北偏西，
故答案为：北偏西．
15. 若a，b都是实数，，则的值为___．
答案：
解析：解：∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，正方形的对角线，相交于点，平分交于点，若，则的长为___．
答案：##
解析：解：如图，过E作于，
，
在正方形中，，，，
∴是等腰直角三角形，，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即：
∴，
∴线段的长为．
故答案为.
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：原式
；
小问2解析：
解：原式
．
18. 已知，，，求下列格式的值：
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：∵，
∴，，
∴原式
；
小问2解析：
解：
．
19. 在6×6的网格图中（每个小正方形的边长为1），用无刻度直尺按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中以A为顶点作一个面积为13的正方形（顶点都在格点上）；
（2）在图2中作出格点三角形的中位线，使点D在上，点E在上，则的长为___．
答案：（1）画图见解析
（2）画图见解析，．
小问1解析：
解：如图，四边形即为所求作的正方形；
理由：∵，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形．
小问2解析：
如图，线段即为所求作的中位线；
理由：由矩形的性质可得：，，
∴是的中位线．
∵，
∴．
20. 如图，是平行四边形的对角线，点E，F在上，连接，，．求证：．
答案：证明见解析
解析：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
在和中， ，
∴，
∴．
21. 如图，公路和公路在点P处交汇，，点A处有一所学校．．假设汽车在公路上行驶时，周围以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为/秒．）
答案：学校会受到噪声影响；理由见解析；学校受影响的时间为10秒
解析：解：如图，过点A作于点B，
∵，，
∴，
∵，
∴学校会受到噪音的影响；
设从点E开始学校学到影响，点F结束，则，
又∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵汽车的速度为，
∴受影响的时间为：．
22. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长度．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：（1）∵四边形是菱形，
∴，
又∵，，
∴，，
∴四边形是矩形；
小问2解析：
解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
在中，
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
23. 我们知道：，这一化简变形过程叫做分母有理化，类似地：，
式子也可以这样化简：，这样化简变形也是分母有理化．
利用以上信息解答下列问题：
（1）直接写出化简结果：＝___，＝___；
（2）用两种不同的方法化简：；
（3）化简：．
答案：（1）； ；
（2）
（3）
小问1解析：
解：，
，
故答案：； ；
小问2解析：
解法1：；
解法2：；
小问3解析：
原式……
……
．
24. 了解概念：定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，在图1的网格中画出一个等邻边四边形，要求：点D在格点上；
（2）如图2，在等邻边四边形中，，，，，求四边形的面积；
拓展提升：
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，已知，，D是的中点在矩形内或边上，是否存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）图见解析
（2），详见解析

（3）存在点 ，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，四边形的最大面积为，详见解析．
小问1解析：
如图所示，四边形即为所求；
∵，
∴四边形是“等邻边四边形”；
小问2解析：
如图所示，连接，作交的延长线于E
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∴
∴，
∴；
小问3解析：
如图3-1所示，当时，过点E作轴于T，
∴点E在以C为圆心，3为半径的圆上运动，
设交于F，交于Q，
当点E从点F向点Q运动的过程中，由于逐渐变大，而保持不变，
∴此运动过程中逐渐变大，逐渐变小，即逐渐变大，
∵是的中点， ，
∴，
∴
，
∵逐渐变大，逐渐变大，
∴逐渐变大，
∴当点E运动到点Q时，最大，
∴，
∴；
如图3-2所示，当时，
∴点E在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，为定值，
∴当最大时，最大，
∴当点E到的距离最大时，最大，
∴此时点E在过点E且与平行的直线上，且该直线与相切，
∴此时，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图3-3所示，当时，则点E在线段的垂直平分线上，
∴当点E运动到上时，此时最大，
过点D作于M，则四边形是矩形，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，则，
∴；
∵，
∴存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，四边形的最大面积为．