2025届高三数学一轮复习课件规范答题增分专项三高考中的数列问题（人教版新高考新教材）

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高考数列解答题主要题型有等差数列、等比数列的基本量运算问题;证明一个数列是等差数列或等比数列;根据递推关系求数列的通项公式;求一般数列的前n项和;证明数列型不等式等.题目难度中等,一般为解答题的前两题,有时会命制结构不良型的开放题.
突破策略一　公式法对于等差数列、等比数列,求其通项及求前n项和时,只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可.
解:选①.当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,又a1满足an=2n,所以an=2n,选②.
突破策略二　转化法无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,都可以通过变形、整理,把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.例2　已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且3S1,2S2,S3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=lg3an,T2n=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求T2n.
证明:(1)当n=1时,a1=S1=1.∵Sn=(m+1)-man,①∴Sn-1=(m+1)-man-1(n≥2),②由①-②,得an=man-1-man(n≥2),即(m+1)an=man-1.∵a1≠0,m0,解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.①由S11=11b4,可得a1+5d=16,②联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.故数列{an}的通项公式为an=3n-2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)设数列{cn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1,得a2nb2n-1=(3n-1)×4n,即cn=(3n-1)×4n,故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1
对点训练6已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且3Sn=an+1-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设等差数列{bn}的前n项和为Tn,a2=b2,T4=1+S3,
解 (1)∵3Sn=an+1-1,①∴当n>1时,3Sn-1=an-1,②由①-②,得3(Sn-Sn-1)=3an=an+1-an,则an+1=4an.又a2=3a1+1=4=4a1,∴数列{an}是首项为1,公比为4的等比数列,则an=4n-1.
要证明关于一个数列的前n项和的不等式,一般有两种思路:一是先求和再对和式放缩;二是先对数列的通项放缩再求数列的和,必要时对其和再放缩.例7　已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
对点训练7已知数列{an}为等比数列,数列{bn}为等差数列,且b1=a1=1,b2=a1+a2, a3=2b3-6.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
求解数列中的存在性问题,先假设所求对象存在,再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在;若推不出矛盾,则得到存在的结果.
假设存在,将Tn代入Tn·2n-1=n+50,得2n-n-26=0.令f(x)=2x-x-26(x>0),则f'(x)=2xln 2-1.
因为f'(x)=2xln 2-1>0对于x∈[1,+∞)恒成立,所以f(x)=2x-x-26在区间[1,+∞)上单调递增.因为f(4)=24-4-26=-140,所以不存在正整数x使得f(x)=2x-x-26=0,即不存在正整数n使得2n-n-26=0.故不存在正整数n使得Tn·2n-1=n+50成立.