2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.8二项分布与超几何分布（附解析）

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1. 在比赛中运动员甲获胜的概率是，假设每次比赛互不影响，那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是（ B ）
A. B. C. D.
解：由题意，可得所求概率为.故选.
2. 从一个装有大小和质地均相同的4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次,每次取出1个,记为取得红球的次数,则（ A ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：,.故选.
3. 甲、乙两人进行五局三胜制的乒乓球单打比赛，每局甲获胜的概率为.已知在第一局和第二局比赛中甲均获胜，则继续比赛下去，甲最终赢得比赛的概率为（ B ）
A. B. C. D.
解：第三局赢得概率为，第三局输第四局赢的概率为，第三局和第四局输第五局赢的概率为，所以甲赢的概率为.故选.
4. 中国的景观旅游资源相当丰富，级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区等级.某地7个旅游景区中有3个景区是级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于的是（ B ）
A. 至少有1个级景区B. 有1个或2个级景区
C. 有2个或3个级景区D. 恰有2个级景区
解：用 表示这3个旅游景区中 级景区的个数，则 服从超几何分布，
且，，
，.
所以，
即有1个或2个 级景区的概率为.故选.
5. 袋中有4个红球和3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量，则（ A ）
A. B. C. D.
解：（取到3个红球1个黑球）（取到4个红球）.故选.
6. 【多选题】若随机变量,，下列说法中正确的是 （ BCD ）
A. B.
C. D.
解：对于,因为,，所以，故 错误.
对于,，故 正确.
对于,，故 正确.
对于,，，故 正确.故选.
7. 现有高三年级学生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，要从这7人中随机抽取3人作进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠不足的学生人数，则随机变量的数学期望是 ；设事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，则事件发生的概率为 .
解：由题意，可知随机变量 的可能取值有0,1,2,3，则，，，.所以 或.由已知条件,得.
故填;.
8. 某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时选派2名教师，且每次选派人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验.
（1） 求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
解：5名优秀教师中的“甲”在每轮抽选中，被抽选到的概率为，则三次抽选中，“甲”恰有两次被抽选到的概率为.
（2） 求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列.
[答案]
的可能取值有0，1，,
,.
所以 的分布列为
【综合运用】
9. 已知随机变量,服从两点分布,若,,则（ C ）
A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8
解：,得.故选.
10. 袋中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个相同小球，现有一款摸球游戏，从袋中一次性摸出三个小球，记下号码并放回，如果三个号码的和是3的倍数，则获奖，若有4人参与摸球游戏，则恰好2人获奖的概率是（ C ）
A. B. C. D.
解：从袋中六个小球一次性摸出三个小球，有（种）情况,三个号码的和是3的倍数的有，，，，，，，，共8种情况.所以摸一次中奖的概率.设4人参与摸球游戏，中奖的人数为，则，.故所求概率.故选.
11. 【多选题】在等差数列中，，.现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为.则（ BCD ）
A. 服从二项分布B. 服从超几何分布
C. D.
解：依题意，等差数列 的公差，则通项公式为.
由,得，即等差数列 前10项中有6个正数.
的可能取值为0，1，2，3，事件“”表示“取出的3个数中有 个正数，个非负数”，因此 不服从二项分布，服从超几何分布，错误，正确.
，正确.，正确.故选.
12. 为了丰富学生们的校园生活，某校发起了体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得当天胜利，此时当天比赛结束.若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立.
（1） 记第一天需要进行的比赛局数为，求的分布列及；
解：的可能取值为2，3.
，
.
所以 的分布列为
所以.
（2） 记一共进行的比赛局数为，求.
[答案]
即获胜方与另一方前两天比分为和，或和再加附加赛.
前两天中每一天甲以获胜的概率均为.乙以获胜的概率均为.
甲以获胜的概率均为.
乙以获胜的概率均为.
则甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
所以.
【拓广探索】
13. [2023年新课标Ⅱ卷]【多选题】在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为 .考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.（ ABD ）
A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
解：对于，依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，正确.
对于，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到1，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，正确.
对于，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥.由 知，所求的概率为，错误.
对于，由 知，三次传输，发送0，则译码为0的概率.单次传输发送0，则译码为0的概率 .而，因此.即，正确.
故选.
0
1
2

0.1
0.6
0.3

2
3