2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.3两个计数原理排列与组合（附解析）

这是一份2025高考数学一轮课时作业第九章概率与统计9.3两个计数原理排列与组合（附解析），共5页。
1. 若，则（ C ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
解：因为，所以，即，解得.故选.
2. 甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为（ B ）
A. 6B. 4C. 8D. 10
解:列树状图如下.
，共4种.故选.
3. [2023年新课标Ⅱ卷]某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ D ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
解：由题意，知初中部共抽取（人），高中部共抽取（人）.根据组合公式和分步计数原理，得不同的抽样结果共有 种.
故选.
4. [2020年新课标Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 （ C ）
A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种
解：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数为；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数为；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有（种）.故选.
5. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（ D ）
A. 27种B. 36种C. 33种D. 30种
解：因为甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，所以有 和 两种分配方案：①分成 三组，其中甲和丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，有（种）；②分成 三组，在丁、戊中选出1人，与甲、丙组成一组，然后排列，有（种）.共有（种）.故选.
6. 【多选题】从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（ ACD ）
A. 偶数有60个B. 比300大的奇数有48个
C. 个位和百位数字之和为7的数有24个D. 能被3整除的数有48个
解：对于，先从2，4，6中任取一个数放在个位，再任取两个数放在十位和百位，共有（个），故 正确.
对于，若百位数字为3或5,有（个）三位奇数；若百位数字为4或6,有（个）三位奇数.则符合题意的三位数有（个），故 错误.
对于，个位和百位的数可以是，，顺序可以交换，再从剩下的数中任选一个放在十位上，共有（个），故 正确.
对于，要使组成的数能被3整除，则各位数之和为3的倍数，取出的数有，，，，，，，，共8种情况，所以组成的能被3整除的数有（个），故 正确.
故选.
7. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为1024；五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），则获得冠军的可能性有625种.
解：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生考虑，每个学生有4种报名方法，共有（种）不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一考虑，每个冠军有5种获得的可能性，共有（种）获得冠军的可能性.故填1 024；625.
8. [2023年新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）.
解：①从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有（种）.
②从8门课中选修3门，若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有（种）；若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有（种）.
综上所述，不同的选课方案共有（种）.故填64.
【综合运用】
9. [2023年全国甲卷]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 （ B ）
A. 120种B. 60种C. 30种D. 20种
解：记5名志愿者为,,,,.假设 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有（种）方法.同样,,,连续参加了两天公益活动，也各有12种方法.故所求为.故选.
10. 从集合，2，3， ，中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ D ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
解：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列.所以所求的数列共有（个）.故选.
11. 给如图所示的5块区域A，B，C，D，涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ D ）
A. 120种B. 720种C. 840种D. 960种
解： 有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，，均可涂除 的涂色外的其它颜色，均有4种可选.故共有（种）不同的涂色方法.故选.
12. 【多选题】某校举办诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，则下列结论正确的是（ BCD ）
A. 若甲、乙、丙三名同学全参加，则不同的朗诵排列顺序有36种
B. 若甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，则不同的朗诵排列顺序有288种
C. 若甲、乙、丙三名同学恰有二人参加，则不同的朗诵排列顺序有432种
D. 选派的4名学生不同的朗诵排列顺序有768种
解：对于，甲、乙、丙三名同学全参加，有（种）情况，由捆绑法易得其中甲、乙相邻的有（种）情况.所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵排列顺序不能相邻有（种）情况，故 错误.
对于，甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵排列顺序有（种）情况，故 正确.
对于，甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵排列顺序有（种）情况，故 正确.
对于，选派的4名学生不同的朗诵排列顺序有（种）情况，故 正确.故选.
【拓广探索】
13. 如图，某小区有7条南北向街道，5条东西向街道.
（1） 图中有210个矩形；
解：在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形.故可组成矩形（个）.故填210;
（2） 从点走向点最短的走法有210种.
[解析]每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段.从 到 最短的走法包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同.每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的（剩下4段即是走南北方向的），共有（种）走法.
故填210.