2025高考数学一轮课时作业第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系（附解析）

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1. 圆与直线的位置关系是（ B ）
A. 相切B. 相交但直线不过圆心
C. 相交过圆心D. 相离
解：由题意,知圆心 到直线 的距离，且，所以直线与圆相交但不过圆心.故选.
2. 若两圆和有公共点，则实数的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
解： 化成标准方程为.
圆心距为.若两圆有公共点，则，所以.
故选.
3. 圆心在轴上,过点且与直线相切的圆的方程为（ D ）
A. B.
C. D.
解：设圆心为.
由题意,得
，解得.
故圆的半径.
所以圆的方程为.
故选.
4. 若直线与圆相交于，两点，且，则（ C ）
A. B. C. D.
解：圆.
因为,所以圆心 到直线 的距离为1，则，解得.
故选.
5. 【多选题】若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则的取值可以为（ ABC ）
A. B. 5C. D. 6
解：圆心 到直线 的距离，半径为.
若圆上恰有一个点到直线 的距离等于1，则.若恰有三个点，则.
故当圆 上恰有相异两点到直线 的距离等于1时，.
故选.
6. [2021年北京卷]已知圆，直线，当变化时，截圆所得弦长的最小值为2，则的取值为（ C ）
A. B. C. D.
解：由题可得圆心为，半径为2.则圆心到直线的距离，则弦长为.
当 时，弦长取得最小值为，解得.
故选.
7. 已知圆，圆，两个圆公切线的条数为（ C ）
A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条
解：圆 的标准方程为，其圆心坐标，半径.
圆 的标准方程为，其圆心坐标为，半径.
则，，，所以,所以两圆相交，故两圆的公切线条数为2条.
故选.
8. 已知圆与圆.
（1） 过点作直线与圆相切，求的方程；
解：圆 的方程可化为，即圆 的圆心为，半径为1.
若直线 的斜率不存在，则方程为，与圆 相切，满足条件.
若直线 的斜率存在，设斜率为，则方程为，即.
由 与圆 相切,得，解得.所以 的方程为，即.
综上,可得 的方程为 或.
（2） 若圆与圆相交于，两点，求.
[答案]
联立两圆方程,得
两方程相减,得直线 的方程为.圆 的圆心到直线 的距离，
所以.
【综合运用】
9. 已知直线过点，则“直线的斜率为”是“直线被圆截得的弦长为”的（ A ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：直线 被圆 截得的弦长为 圆心 到直线 的距离为1.
当直线斜率不存在时，显然符合要求.
当直线斜率存在时，设斜率为，则.由，得，解得.综上，或斜率不存在.
故选.
10. [2023年新课标Ⅰ卷]过点与圆相切的两条直线的夹角为 ，则（ B ）
A. 1B. C. D.
解：如图，，即，可得圆心，半径.
过点 作圆 的切线，切点为,.
因为，所以.
可得,
，
则，
所以.
故选 .
11. [2022年新课标Ⅱ卷]设点,，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 .
解：点 关于 对称的点的坐标为，在直线 上，所以 所在直线即为直线，且方程为，即.
圆 的圆心为，半径.
依题意，知圆心到直线 的距离，即，解得，即 的取值范围是.
故填.
12. 已知圆过点，，且圆心在直线上.
（1） 求圆的标准方程；
解：因为圆心 在直线 上，所以设圆 的标准方程为，.
因为圆 过点，，
所以 解得 所以圆 的标准方程为.
（2） 过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
[答案]
①当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为，直线 被圆 截得的弦长为，符合题意.
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为，则圆心 到直线 的距离.由题意,得，解得，则直线 的方程为，即.
综上，直线 的方程为 或.
【拓广探索】
13. [2021年新课标Ⅰ卷]【多选题】已知点在圆上,点,,则（ ACD ）
A. 点到直线的距离小于10B. 点到直线的距离大于2
C. 当最小时,D. 当最大时,
解：，即.圆心 到 的距离为.
又圆的半径为4,则点 到直线 的距离小于10,正确.
点 到直线 的距离最小为,错误.
点 与圆心的距离为,故 最小（或最大）时,为切点,,,正确.
故选.