2025高考数学一轮课时作业第八章平面解析几何8.2直线的交点坐标与距离公式（附解析）

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1. 已知两直线方程分别为，，若，则（ B ）
A. 2B. C. D.
解：因为，所以，解得.故选.
2. 点到直线的距离为（ B ）
A. B. C. D.
解：点 到直线 的距离为.故选.
3. 已知点，，则线段的垂直平分线方程为（ B ）
A. B. C. D.
解：由题设，知，故线段 的垂直平分线的斜率为2.因为线段 的中点坐标为,，所以线段 的垂直平分线方程为，整理得.故选.
4. 已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距比在轴上的截距大1，则直线的方程为（ A ）
A. B. C. D.
解：（方法一）由题意,设,则直线 在 轴上的截距为,在 轴上的截距为.则,解得.所以直线 的方程为,即.
（方法二）若直线 过原点，则直线 在两坐标轴上的截距相等，不符合题意.设直线 的方程为，其中 且，则直线 的斜率为.解得.所以直线 的方程为，即.故选.
5. 点关于直线对称的点的坐标为（ A ）
A. B. C. D.
解：设对称点的坐标为，则,，所以,.故选.
6. 若两平行直线与之间的距离是，则（ C ）
A. 0B. 1C. D.
解：因为，所以 解得 所以直线.
又，之间的距离是，所以，解得 或（舍去）.所以.故选.
7. 已知点和到直线的距离相等，则或 .
解：（方法一）利用点到直线的距离公式,可得,解得 或.
（方法二）直线 与直线 平行,或过线段 的中点,即 或,解得 或.故填或 .
8. 已知直线经过直线与的交点.
（1） 点到的距离为3，求的方程；
解：经过两已知直线交点的直线系方程为，即，
所以.解得 或.
所以 的方程为 或.
（2） 求点到的距离的最大值.
[答案]
由 解得交点.
如图，过 作任一直线，设 为点 到 的距离，
则（当 时等号成立）.
所以.
【综合运用】
9. 已知直线，，且，则的最小值为（ A ）
A. B. C. D.
解：因为，
所以，即.
所以.
可知当，时，取得最小值故选.
10. 已知角，点到直线的距离为，则（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意,得，则 或，可得（舍）或，即.又，所以.故选.
11. 【多选题】若三条直线，,能围成一个三角形，则的值不可能是（ ACD ）
A. B. 1C. D.
解：由 得 所以两条直线交于点.
当 也过点 时，有.解得.
此时三条直线交于同一点，不能构成三角形.
当 与 平行时，有，则，不能构成三角形.
当 与 平行时，有，则，不能构成三角形.
综上,且 且.故选.
12. 已知光线经过直线和的交点，且射到轴上一点后被轴反射.
（1） 求点关于轴的对称点的坐标；
解：由 解得
所以.所以点 关于 轴的对称点 的坐标为.
（2） 求反射光线所在的直线的方程;
[答案]
（方法一）设直线 的倾斜角为 ,则直线 的倾斜角为 .易知,所以直线 的斜率.故直线 的方程为,即.
（方法二）由题意,知反射光线所在直线 的方程即直线 的方程.易知直线 的方程为,整理得.故直线 的方程为.
（3） 求与直线距离为的直线方程.
[答案]
设与直线 平行的直线方程为.
由两平行线间的距离公式,得.解得 或.故所求直线方程为 或.
【拓广探索】
13. 已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则13.
解：对于直线，令，得,所以.直线 可化为.令,得,所以.
因为，所以.因为 与 相交于点，所以 是以 为斜边的直角三角形.所以.故填13.