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    2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第2课时用空间向量研究夹角距离问题(附解析)

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    2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第2课时用空间向量研究夹角距离问题(附解析)

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    这是一份2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第2课时用空间向量研究夹角距离问题(附解析),共14页。
    1. 已知平面 的一个法向量为,直线的一个方向向量为,则直线与平面 所成角的正弦值为( A )
    A. B. C. D.
    解:直线 与平面 所成角的正弦值为.故选.
    2. 平面 的一个法向量为,为 内的一点,则点到平面 的距离为( B )
    A. 1B. 2C. 3D.
    解:由题意,知.则点 到平面 的距离为.故选.
    3. 已知平面 的一个法向量为,向量,,则平面 与平面夹角的正切值为( C )
    A. B. 2C. D.
    解:设 为平面 的法向量,则 令,得.
    设平面 与平面 的夹角为 ,则,,.
    所以.故选.
    4. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,且,则直线与直线夹角的余弦值为( A )
    A. B. C. D.
    解:设,则,,,,.
    故,,,.故所求夹角的余弦值为.故选.
    5. 如图,在正方体中,,分别为,的中点,则直线与平面所成角的正弦值为( B )
    A. B. C. D.
    解:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.
    则,,,.
    所以,,.
    设平面 的法向量为,
    则 令,则,,
    所以.
    所以,.
    所以 与平面 所成角的正弦值为.
    故选.
    6. 在单位正方体中,为的中点,则点到平面的距离为( C )
    A. B. C. D.
    解:如图,以 为坐标原点,,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
    则,,,,,.
    故,,,,.
    设平面 的法向量为,
    则 令,则.
    故点 到平面 的距离为
    .故选.
    7. 在空间直角坐标系中,点关于轴的对称点为点,则点到直线的距离为 .
    解:由题意,知,,则,所以 的单位方向向量,0,.
    又因为,
    所以.
    所以点 到直线 的距离为
    .
    故填.
    8. 如图,在三棱柱中, 平面,,,,点,分别在棱和棱上,且,,为棱的中点.
    (1) 求证:.
    解:依题意,以 为原点,分别以,,的方向为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得,,,,,,,,.
    证明:依题意,,,从而,所以.
    (2) 求二面角的正弦值.
    [答案]
    依题意,是平面 的一个法向量,,.
    设 为平面 的法向量,则 即
    不妨设,可得.
    因此有,,于是,.所以二面角 的正弦值为.
    (3) 求直线与平面所成角的正弦值.
    [答案]
    依题意,.由(2)知 为平面 的一个法向量,于是,.
    所以直线 与平面 所成角的正弦值为.
    【综合运用】
    9. 在四面体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为( B )
    A. B. C. D.
    解:取 的中点,连接,.由,,得,,且,.
    在 中,,故.
    又,所以 平面.
    以 为原点,,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示.
    则,,,.
    所以,.
    设异面直线 与 所成的角为 ,则
    .
    即异面直线 与 所成角的余弦值为.
    故选.
    10. 【多选题】如图,在正方体中,,,分别为,,的中点,则( ABD )
    A. B. 与所成的角为
    C. D. 平面
    解:以 为坐标原点,,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
    设正方体 的棱长为2,则,,,,,,,,,,.
    对于,,,,所以,故 正确.
    对于,,,,.所以向量 与向量 的夹角是 ,与 所成的角为 ,故 正确.
    对于,,,则,故 错误.
    对于,设平面 的法向量为,
    ,.
    由 可得
    取,可得.
    又,则,所以.因为 平面,所以 平面,故 正确.
    故选.
    11. 如图,已知 平面,,,,,.若,,则与平面所成角的余弦值为 .
    解:依题意,以 为坐标原点,,,的正方向分别为 轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
    由已知,可得,,,,,.
    则,,.
    设 是平面 的法向量,
    则 即
    令,则,.
    所以.
    设 与平面 所成的角为 ,.
    因为,,,
    所以,.
    则,.
    因为,所以,
    所以 与平面 所成角的余弦值为.
    故填.
    12. [2023年新课标Ⅰ卷]如图,在正四棱柱中,,.点,,,分别在棱,,,上,,,.
    (1)证明:.
    (2)点在棱上,当二面角为 时,求.
    解:(方法一)(1)证明:如图1,以 为坐标原点,,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
    图1
    则,,,,.
    所以,,所以.
    又,不在同一条直线上,所以.
    (2)设,则,,.
    设平面 的法向量,

    令,得 ,,
    所以.
    设平面 的法向量,

    令,得,,所以.
    所以,

    .
    化简可得,解得 或.
    所以 或,所以.
    (方法二)(1)证明:连接,.取,的中点分别为,.连接,,.由题设,得 是梯形 的中位线,所以.由题设,可得 且.又 是 的中点,因此 是 的中点,故 是平行四边形,所以.
    (2) 如图2,在平面 上取一点,使,连接,,直线 交棱 于点.设点 到 的距离为,点 到 的距离为,则由,得,即.
    图2
    由题设,可知 为二面角 的平面角的补角.
    在 中,,所以.
    即.解得 或
    当,时,,所以.
    当,时,过点 作 交 于点,交 于点,则,,,,所以,.
    综上,当二面角 为 时,.
    【拓广探索】
    13. 已知二面角 的大小为 ,点,在棱上, , ,,,,,,则的长为( D )
    A. B. C. D.
    解:如图所示.
    由题意,知.
    因为二面角 的大小为 ,所以, ,所以.
    .所以.
    故选.

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