2025高考数学一轮课时作业第七章立体几何7.4空间直线平面的垂直（附解析）

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1. 若为一条直线， , , 为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（ C ）
A. 若 , ,则B. 若 , ,则
C. 若 , ,则D. 若 , ,则
解：对于，若 , ,则 , 可能相交也可能平行，故 不正确.
对于,，若 , ,则 ，或 ,或 与 相交,故，不正确.
对于，若 , ,则必有 ，故 正确．
故选.
2. 设平面 与平面 相交于直线，直线在平面 内，直线在平面 内，且，则“”是“ ”的（ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：若，则,但无法判断 是否成立，充分性不成立.根据面面垂直的性质定理，由 ，，， ，得 ，又 ，所以，必要性成立．故选.
3. 【多选题】如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ BCD ）
A. B. C. D.
解:由正方体的平面展开图还原正方体如图所示.由图形，可知，故 错误.
由,，知四边形 为平行四边形，所以，故 正确.
因为,,,所以 平面, 平面,所以，故 正确.
因为，而,所以，故 正确.故选.
4. 已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且 圆柱的底面，则必有（ B ）
A. 平面 平面B. 平面 平面
C. 平面 平面D. 平面 平面
解：如图，因为 是圆柱上底面的一条直径，所以.
又 垂直于圆柱的底面，所以.
因为，所以 平面.
因为 平面，所以平面 平面.
故选.
5. 如图，正方体中，，分别是，上的点，若 ，则（ C ）
A. 大于B. 小于C. 等于D. 不能确定
解：因为 ，所以.
又由正方体可知 平面，且 平面,所以.
因为,所以 平面.
又 平面，所以，
即 .故选.
6. 已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为的中点，则点到平面的距离为（ B ）
A. B. C. D. 3
解：连接，如图所示.
由题意,得 平面，且，.
因为 平面， 平面，所以 平面.所以点 到平面 的距离与点 到平面 的距离 相等,即为．故选．
7. 已知二面角 的大小为 ，两条异面直线，满足 ， ，且，，则，所成角的大小为 .
解：由题意,知，所成角与二面角 的平面角互补.又二面角 的大小为 ，所以，所成角的大小为 .故填 .
8. 如图，直三棱柱中，， ，是的中点，在上.
（1） 求证： 平面.
解：证明：因为 是直三棱柱，
所以，且 .
又 是 的中点，所以.
因为 平面， 平面，
所以.
又，所以 平面.
（2） 在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使 平面？并证明你的结论.
为的中点；；.
[答案]
选条件①③可使 平面.证明如下：
如图，连接，，所以.
在 中，， ，则.又，则，所以.
因为 平面， 平面，所以.
因为，所以 平面.
【综合运用】
9. 在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ D ）
A. 1B. C. D.
解：如图所示，连接，交于点，连接.在正方体中，因为 平面，所以.又，且，所以 平面，所以 即为所求角.在 中，，所以 与平面 所成角的正弦值为.故选.
10. [2023年新课标Ⅱ卷]【多选题】已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径， ，，点在底面圆周上，且二面角为 ，则（ AC ）
A. 该圆锥的体积为B. 该圆锥的侧面积为
C. D. 的面积为
解：依题意， ，，所以,，圆锥的体积为 ，正确.
对于，圆锥的侧面积为 ，错误.
对于，如图，设 是 的中点，连接,.则,，所以 是二面角 的平面角.则 ，所以，故，则，正确.
对于，，所以，错误.
故选.
11. [2022年新课标Ⅰ卷]【多选题】已知正方体，则下列说法正确的是 （ ABD ）
A. 直线与所成的角为
B. 直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为
D. 直线与平面所成的角为
解：
如图，连接，.因为，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角.
因为四边形 为正方形，所以，故直线 与 所成的角为 ，正确.
连接.因为 平面， 平面，所以.因为，，所以 平面.又 平面，所以，故 正确.
连接，设，连接.因为 平面， 平面，所以.因为，，所以 平面，所以 为直线 与平面 所成的角.
设正方体的棱长为1，则，，.所以直线 与平面 所成的角为 ，故 错误.
因为 平面，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故 正确.
故选.
12. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，，．
（1） 设的中点为，求证： 平面.
解：证明：连接，如图所示.
在等边三角形 中，.又，，所以 平面.
因为 平面，所以.又,，所以 ，.又，所以，即.
又，, 平面，所以 平面.
（2） 求平面和平面所成锐二面角的大小．
[答案]
设平面 平面.因为， 平面， 平面，所以 平面.又 平面，所以.
所以.又，所以.又，所以.所以 为平面 和平面 所成二面角的平面角.
由（1）知,，所以 为等腰直角三角形.故平面 和平面 所成锐二面角为．
【拓广探索】
13. [2023年全国乙卷]已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为 ，则直线与平面所成角的正切值为（ C ）
A. B. C. D.
解：如图,取 的中点，连接,.
因为 是等腰直角三角形，且 为斜边，所以.
又 是等边三角形，则，从而 为二面角 的平面角，即 .
因为,, 平面，所以 平面.
又 平面，所以平面 平面.因为平面 平面，直线 平面，所以直线 在平面 内的射影为直线.
从而 为直线 与平面 所成的角.
设，则,.过点 作 交 的延长线于点,则，,.所以直线 与平面 所成角的正切值为.
故选.