2025高考数学一轮课时作业第六章数列6.3等比数列（附解析）

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1. 在等比数列中，，，则与的等比中项是（ A ）
A. B. 4C. D.
解：由题意，得，所以 与 的等比中项是.故选.
2. 记正项等比数列的前项和为，若，则该数列的公比（ C ）
A. B. C. 2D. 3
解：正项等比数列 中，公比.由,得，整理,得，即，解得（负值舍去）.所以数列 的公比.故选.
3. [2023年天津卷]已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ C ）
A. 3B. 18C. 54D. 152
解：由题意,得，.由等比数列的性质,得，即，解得 或（舍去）.所以，，则.故选.
4. 【多选题】已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ABC ）
A. B. C. D.
解：设等比数列 的公比为，则，，，所以，故 是以 为首项，为公比的等比数列，正确.
由，得 是以 为首项，为公比的等比数列，正确.
由，得 是以 为首项，为公比的等比数列，正确.
当 时，，此时 不是等比数列，错误.故选.
5. [2023年全国乙卷]已知为等比数列，，，则 .
解：因为 为等比数列，所以，解得.而，可得，即.则.故填.
6. 设正项等比数列的前项和为，若,，则4.
解：设正项等比数列 的公比为.则由,得.
即，即，即，解得（负值舍去）.
由,得，即.将 代入,得，解得，则.故填4.
7. 已知等比数列的前项和为，若，，则45.
解：设数列 的公比为.
若，则当 为偶数时，，不符合题意，所以.
所以，，，成等比数列，
且公比为.
所以.故填45.
8. 已知数列的前项和为，满足，且.
（1） 证明:数列为等比数列，并求的通项公式.
解：证明：由，得.
故数列 是以 为首项，2为公比的等比数列.
所以.
（2） 求.
[答案]
因为，
所以.
【综合运用】
9. 已知等比数列的首项为1，则“”是“”的（ B ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：设等比数列 的公比为，易知,1.
.
.
因为 不能推出，但 能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选.
10. 标准对数视力表采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表由14行开口方向各异的正方形“”形视标所组成，从上到下分别对应视力，， ，，，且从第一行开始往下，每一行“”形视标边长都是下一行“”形视标边长的倍.若视力4.0的视标边长为1，则视力4.9的视标边长为（ D ）
A. B. C. D.
解：根据题意,可知视标边长从上到下是以 为公比的等比数列.
记视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为.故选.
11. 【多选题】已知等比数列的各项均为正数，，，数列的前项积为，则（ BC ）
A. 数列递增B. 数列递减C. 的最大值为D. 的最小值为
解：设公比为，则，，所以.
又因为数列 的各项均为正数，所以，.故 是递减数列，错误，正确.
.当 时，；当 时，.所以数列 从 到 递增，从 开始递减，是 中的最大值，正确，错误.
故选
12. [2022年新课标Ⅱ卷]已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且.
（1） 证明：；
解：证明：设数列 的公差为.则 解得.所以原命题得证.
（2） 求集合,中元素的个数.
[答案]由（1），知，所以，即，即，解得.所以满足等式的解,3,4, ,10.故集合,中的元素个数为.
【拓广探索】
13. 如图，阴影正方形的边长为1，以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第个正方形的面积为，则（ B ）
A. 2 023B. 2 024C. 2 025D. 2 026
解：第1个正方形的边长为，面积为
第2个正方形的边长为，面积为.
第3个正方形的边长为，面积为 可知 是首项为1，公比为2的等比数列，所以,所以.
所以.
故选.