2025高考数学一轮课时作业第六章数列6.2等差数列（附解析）

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1. 为等差数列的前项和，满足，，则（ A ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
解:设等差数列 的公差为，因为，，所以 解得故选.
2. 已知为等差数列，且，为其前项和，则（ B ）
A. 142B. 132C. 144D. 136
解：因为，所以.故选.
3. 设等差数列的前项和为，若,则（ D ）
A. 150B. 120C. 75D. 60
解：由等差数列的性质，可知，所以.
.故选.
4. 已知为等差数列，其前项和为,若,,,则（ C ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
解：因为公差,,解得（负值舍去）.故选.
5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ B ）
A. 36B. 45C. 63D. 75
解：由等差数列的性质，得,,成等差数列，即3,15,成等差数列.所以，解得.故选.
6. 【多选题】已知数列为等差数列，其前项和为，且，以下结论正确的是（ ACD ）
A. B. 最小C. D.
解：设等差数列的公差为，则，故，即，正确.若，，则,且它们为 的最大值，错误.，故，正确.，正确.故选.
7. [2022年全国乙卷]记为等差数列的前项和.若，则公差2.
解：由题意，得,即,解得.故填2.
8. [2021年新课标Ⅱ卷]记是公差不为0的等差数列的前项和，若,.
（1） 求数列的通项公式；
解:由等差数列的性质,可得，则，所以.
设等差数列的公差为，从而有，，
从而，，由于公差不为0，故.
数列 的通项公式为.
（2） 求使成立的的最小值.
[答案]
由数列 的通项公式，可得，则.
由不等式，即，即，所以.
解得 或.又因为 为正整数，故 的最小值为7.
【综合运用】
9. 若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ B ）
A. 2B. C. 4D.
解：设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为.则，所以.所以，，所以.故选.
10. [2022年北京卷]设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ C ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
解：设无穷等差数列 的公差为，则.若 为递增数列，则，则存在正整数，使得当 时，，所以充分性成立.若存在正整数，使得当 时，，则 对任意的，均成立.由于 时，，且，所以，为递增数列，必要性成立.故选.
11. [2023年北京卷]我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且,,，则48；数列所有项的和为384.
解：（方法一）设前3项的公差为，后7项的公比为，则，且，可得.则，可得.所以，.
（方法二）由题意,得，且，所以.
又因为，则.设后7项的公比为，则，解得.
则,.
所以.
故填48；384.
12. 已知数列的前项和为，，且，.
（1） 证明：数列是等差数列.
证明：因为，所以.两式相减，得，所以，所以，即，所以数列 是等差数列.
（2） 求.
[答案]因为，，所以.由（1）,知数列 是等差数列，公差，,所以.所以.
【拓广探索】
13. [2023年全国乙卷]已知等差数列的公差为，集合，若,，则（ B ）
A. B. C. 0D.
解：依题意，知，显然函数 的周期为3，而，即 最多有3个不同取值.又{,，则在,,中，或 或.
因为,，,所以，即有 ,，解得,.
所以
.故选.