2025高考数学一轮课时作业第六章数列6.1数列的概念（附解析）

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1. 数列3，5，9，17，33， 的一个通项公式（ B ）
A. B. C. D.
解：由数列3，5，9，17，33， 的前5项，可知每一项都满足.故选.
2. 已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（ B ）
A. 4B. 12C. 24D. 32
解：由题意，得，.故选.
3. 已知数列的前项和，则（ C ）
A. 36B. 35C. 34D. 33
解：当 时，；当 时，，满足上式.所以，所以.故选.
4. 在数列中，,,则（ A ）
A. 20B. 30C. 36D. 28
解：因为,,所以.所以.故选.
5. 已知在数列中，,,则 .
解：当 时，
又当 时，也适合上式.
所以.故填.
6. 已知正项数列中，,则数列的通项公式 .
解：因为,
所以.两式相减,得，所以.又当 时，,则,符合上式.所以.故填.
7. 已知数列中，，且则2．
解：由题意,知，，
，，
，，
，,…
观察可得数列 从第2项开始是以6为周期的数列，故．故填2.
8. （教材题改编）已知函数，设数列的通项公式为，其中.
（1） 求的值；
解：由题意,得，
所以.
（2） 求证：；
证明：由（1），知.因为 为正整数，所以,则,即，所以.
（3） 判断是递增数列还是递减数列，并说明理由.
[答案]
是递增数列.
证明：因为,，所以 是递增数列.
【综合运用】
9. 若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是 （ C ）
A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项
解：，而，当且仅当 时，等号成立.所以当 时，取得最大值，即最大项是第14项.故选.
10. 九连环是我国从古到今广泛流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动量的最少次数，满足，且当时，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（ A ）
A. 7B. 10C. 12D. 22
解：根据题意，；;，即解下4个圆环最少移动7次.故选.
11. 写出一个符合下列要求的数列的通项公式：（答案不唯一）.
是无穷数列；是单调递减数列；.
解：因为函数 的定义域为，且在 上单调递减，，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是.故填（答案不唯一）.
12. 已知数列中，，前项和.
（1） 求,；
解：由,得,解得.
由,得,解得.
（2） 求的通项公式.
[答案]
当 时，有, 整理得.
于是,,, ,,,
将以上等式两端分别相乘，整理得.
满足上式.
所以 的通项公式为.
【拓广探索】
13. [2022年全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，， ，依此类推，其中.则（ D ）
A. B. C. D.
解：（方法一）因为，所以，，得到.同理，，可得，.又,，所以，.
依此类推，可得 ，，故 错误.
，故 错误.
，得，故 错误.
，得，故 正确.
（方法二）令,则,,,,,,,,得.
故选.