2025高考数学一轮课时作业第四章三角函数与解三角形4.4三角函数的图象与性质（附解析）

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1. 函数的定义域为（ D ）
A. B.
C. D.
解：因为,，所以,.故函数的定义域为.故选.
2. [2021年新课标Ⅰ卷]下列区间中，函数单调递增的区间是（ A ）
A. ,B. ,C. ,D. ,
解：由，，解得，.
取，可得函数 的一个单调递增区间为,.因为,,，，所以选项 满足条件，不满足条件.
取，可得函数 的一个单调递增区间为,.因为 ,,,且 ,,，,,，所以选项,均不满足条件.故选.
3. 已知函数,则函数的图象（ A ）
A. 关于点,对称B. 关于点,对称
C. 关于直线对称D. 关于直线对称
解：因为，所以函数的图象关于点,对称，不关于直线 对称，故 正确，错误.
因为，所以函数的图象不关于点,对称，也不关于直线 对称，故，错误.
故选.
4. 下列函数中是奇函数，且最小正周期为 的是（ D ）
A. B. C. D.
解：易知 的最小正周期为，故 不正确.
由，可知 为偶函数，故 不正确.
由，可知 为偶函数，故 不正确.
由，可知 为奇函数，且最小正周期为 ,故 正确.故选.
5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴为（ D ）
A. B. C. D.
解：函数.由题意，得.
由，,解得，.
故选.
6. 【多选题】已知函数，则下列说法正确的是（ AC ）
A. 的最小正周期为
B. 在,上单调递减
C.
D. 的定义域为
解：对于,的最小正周期为，故 正确.
对于,当,时，,，故 在,上单调递增，故 错误.
对于,因为 的最小正周期为，所以，故 正确.
对于,令 ，，解得，.所以 的定义域为,，故 错误．
故选．
7. 写出一个最小正周期为2的奇函数或等，答案不唯一.
解：由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数（或正切型函数），满足，即是奇函数.
根据最小正周期，可得 .
故函数可以是 中任一个，可取.
故填或等，答案不唯一.
8. 函数的图象离原点最近的一个对称中心的坐标是 .
解：令 ,，解得,.
若离原点最近，则其横坐标绝对值最小即可.
所以当 时，，即,离原点最近.故填.
【综合运用】
9. 直线（为常数）与的图象相交时，相邻两交点间的距离为（ C ）
A. B. C. D.
解： 的周期为，所以（为常数）与 的图象相交时，相邻两交点间的距离为.故选.
10. 的值域为（ B ）
A. B. C. D.
解：.
设,因为,所以,.
故 的值域即为函数，的值域.
易得，即 的值域为.故选.
11. 函数的图象大致是（ B ）
A. B.
C. D.
解：函数 的定义域为.
，
即函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除,.
当 时，，，则，排除.
故选.
12. 已知函数，.
（1） 求的最小正周期和最大值；
解：由题意，得.所以 的最小正周期 ，其最大值为.
（2） 讨论在区间上的单调性;
[答案]
由 ,得 ,.
设,,，易知.所以当 时,在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
（3） 求在区间上的零点.
[答案]
由,得.
则 ，或 ,，即 ,或 ,.
又，所以 取0,1,2,即 在区间 上的零点分别为,,,,,.
【拓广探索】
13. 【多选题】已知函数，则（ ACD ）
A. 的图象关于原点对称B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称D. 的值域为
解：令，得 ,,故 的定义域为 ,，关于原点对称.
又，所以 为奇函数，图象关于原点对称，故 正确.
因为，所以 不是 的周期，故 错误.
，故 是 图象的一条对称轴，故 正确.
令，当 时，单调递增，故.由于 为奇函数，所以当 时，.故 的值域为，故 正确.
故选.