2025高考数学一轮课时作业第三章一元函数的导数及其应用专题突破5三次函数的图象与性质（附解析）

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解：.令，则，所以切线 的方程为，也即 轴.由，可知函数 在 上单调递增，只有唯一零点.所以 与曲线 的交点个数为1个.故选.
2. 已知三次函数图象的对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（ B ）
A. 0B. 4C. 2D.
解：,.令，得.则，图象的对称中心为.由，得.故选.
3. 【多选题】在同一直角坐标系中，函数和的大致图象可能为（ BCD ）
A. B. C. D.
解：由已知，得，.
函数 的图象为开口向上的抛物线，与 轴在 和 处相交.
的图象是“字形”曲线，当 时，有 和 两个极值点.
当 时，单调递增，且 的图象与 轴交于点．
对于，由二次函数图象，知，但三次函数的图象与 轴的交点在 轴上方，故 不正确.
项图中两条曲线符合当 时的情形.
项图中两条曲线符合当 时的情形.
项图中两条曲线符合当 时的情形．
故选.
4. [2023年全国乙卷]函数存在3个零点，则的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：由题意，知.若 存在3个零点，则 有极大值和极小值，则.
令，解得 或.
当 ,,时，，当,时，，
故 的极大值为，极小值为.
若 存在3个零点，则 即 解得.故选.
5. [2022年新课标Ⅰ卷]【多选题】已知函数，则（ AC ）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
解：.令,得 或；令，得.所以 在,上单调递减，在 ,，,上单调递增.所以 是极值点，故 正确.
因为，，，所以函数 在,上有一个零点，在,上无零点.当 时，，即函数 在,上无零点.综上，函数 有一个零点，故 错误.
令，该函数的定义域为，，则 是奇函数，是 的对称中心.将 的图象向上平移一个单位长度得到 的图象，所以点 是曲线 的对称中心，故 正确.
令，可得.又，所以当切点为 时，切线方程为，当切点为 时，切线方程为，故 错误.故选.
6. 已知函数，且，是曲线上任意一点，曲线在点处的切线为.
（1） 求切线的倾斜角 的取值范围；
解：由，得.
解得，所以.
，故.
显然,所以，，.
即切线 的倾斜角 的取值范围是，，.
（2） 若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.
[答案]
设曲线 与过点 的切线相切于点,.
则切线的斜率为，切线方程为.
因为点 在切线上，
所以，即.
由题意，知该方程有三个不同的解.
设，则.令，解得 或.
当 或 时，;当 时，.
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
故 的极小值为，极大值为，则.
所以实数 的取值范围是,.