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2025高考数学一轮课时作业第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用（附解析）
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这是一份2025高考数学一轮课时作业第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用（附解析），共8页。
1. 明清时期，古镇河口因水运而繁华.若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为、货船距石塘的距离为，则下列各图中，能大致反映与之间函数关系的是（ A ）
A. B.
C. D.
解：由题意，得货船从石塘到停留一段时间前，随 增大而增大；停留一段时间内，随 增大而不变；随后 随 增大继续增大；当返回时 随 增大而减小，直至为0，又顺流速度大于逆流速度.故选.
2. 某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在18天内的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中，最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（ B ）
A. B. C. D.
解：由,,,的图象，结合函数图象变换规则，可知 正确.故选.
3. 下表是函数值随自变量变化的一组数据，它最可能的函数模型是 （ A ）
A. 一次函数模型B. 幂函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型
解：根据已知数据，可知自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型故选.
4. 某市为确保当地保障房供给，2024年准备新建经济适用房800万平方米，解决中低收入家庭的住房问题.设新建经济适用房面积的年平均增长率为，2027年新建经济适用房面积为万平方米，则关于的函数是（ B ）
A. B.
C. D.
解：由题意,知2025年为,2026年为,2027年为.故选.
5. [2022年北京卷]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是.下列结论中正确的是（ D ）
A. 当，时，二氧化碳处于液态
B. 当，时，二氧化碳处于气态
C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
解：当，时，，此时二氧化碳处于固态，错误.当，时，，此时二氧化碳处于液态，错误.当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，错误.当，时，,故此时二氧化碳处于超临界状态，正确.故选.
6. 【多选题】研究表明，地震时释放的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，则（ BD ）
A. 震级为2级的地震释放能量为
B. 释放能量为的地震震级为3级
C. 9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍
D. 释放能量之比为的两场地震的震级相差2级
解：对于，当 时，，解得，错误.对于，当 时，，解得，正确.对于，设9级地震释放能量为，8级地震释放能量为，则，于是，错误.对于，释放的能量为，对应的震级为，释放的能量为，对应的震级为，则，且，两式相减，得，解得，正确故选.
7. 大气温度（单位：）随着距地面的高度（单位：）的增加而降低，到高空处为止，在更高的上空气温几乎不变.设地面温度为，每上升大气温度大约降低，则与的函数关系式为 .
解：根据题意，得当 时，；
当 时，气温几乎不变，
故.
综上，函数关系式为
故填
8. 我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”意思是：有一根竹子（与地面垂直），原高二丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为9.1尺.
解：设折断处离地面的高为 尺.则,所以.故填9.1.
【综合运用】
9. 某市共享电动车2020年投放量为400万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的投放量都比上一年提高，那么该市到哪一年共享电动车的投放量才能达到1 400万辆（ C ）
A. 2025年B. 2026年C. 2027年D. 2028年
解：设该市经过 年，共享电动车的投放量才能达到1 400万辆，则由已知，可得，即，解得.所以经过7年，即到2027年，共享电动车的投放量才能达到1 400万辆.故选.
10. 【多选题】已知大气压强随高度的变化满足关系式，是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表.
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为,,，则（ ACD ）
A. B. C. D.
解：设在第一级阶梯某处的海拔为，则，即.
因为，所以，解得，正确.
由，得.当 时，，即，所以，错误.
设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为.
由题意，知 两式相减，可得.
因为,，所以.则，即，故，,均正确.故选.
11. 当时，试探究三个函数,,的增长差异，用“ ”把它们的大小关系连接起来为 ．
解：令,,，易知三个函数在区间 上均单调递增，所以当 时，，，，故.故填.
12. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种茶叶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是，室温是，则经过时间（单位：）后物体的温度 （单位：）满足，其中为正常数.该研究小组在的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得初始温度为的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：
（1） 从上表中选取一组数据求出的值（精确到），并根据上述冷却模型写出冷却后水温 关于冷却时间的函数解析式；
解：由题可知，，.
若取第一组数据，则有，解得，
此时解析式为.
若取第二组数据，则有，解得，
此时解析式为.
（2） 在（1）的条件下，现用水在的室温下泡制该茶叶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多少分钟？（精确到）
附：，，，.
[答案]
由（1），知.
令，则，解得.
所以从泡制到获得最佳饮用口感约需要.
【拓广探索】
13. 在用计算机处理灰度图象（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0与255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果.
则下列可以实现该功能的一种函数图象是 （ A ）
A. B.
C. D.
解：根据处理前后的图片变化，可知相对于原图的灰度值，处理后图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在 上方.故选.
4
5
6
7
8
9
10
15
17
19
21
23
25
27
地势
平均海拔/
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
从降至所需时间/
3.4
从降至所需时间/
5.0
1. 明清时期，古镇河口因水运而繁华.若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为、货船距石塘的距离为，则下列各图中，能大致反映与之间函数关系的是（ A ）
A. B.
C. D.
解：由题意，得货船从石塘到停留一段时间前，随 增大而增大；停留一段时间内，随 增大而不变；随后 随 增大继续增大；当返回时 随 增大而减小，直至为0，又顺流速度大于逆流速度.故选.
2. 某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在18天内的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中，最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（ B ）
A. B. C. D.
解：由,,,的图象，结合函数图象变换规则，可知 正确.故选.
3. 下表是函数值随自变量变化的一组数据，它最可能的函数模型是 （ A ）
A. 一次函数模型B. 幂函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型
解：根据已知数据，可知自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型故选.
4. 某市为确保当地保障房供给，2024年准备新建经济适用房800万平方米，解决中低收入家庭的住房问题.设新建经济适用房面积的年平均增长率为，2027年新建经济适用房面积为万平方米，则关于的函数是（ B ）
A. B.
C. D.
解：由题意,知2025年为,2026年为,2027年为.故选.
5. [2022年北京卷]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是.下列结论中正确的是（ D ）
A. 当，时，二氧化碳处于液态
B. 当，时，二氧化碳处于气态
C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
解：当，时，，此时二氧化碳处于固态，错误.当，时，，此时二氧化碳处于液态，错误.当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，错误.当，时，,故此时二氧化碳处于超临界状态，正确.故选.
6. 【多选题】研究表明，地震时释放的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，则（ BD ）
A. 震级为2级的地震释放能量为
B. 释放能量为的地震震级为3级
C. 9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍
D. 释放能量之比为的两场地震的震级相差2级
解：对于，当 时，，解得，错误.对于，当 时，，解得，正确.对于，设9级地震释放能量为，8级地震释放能量为，则，于是，错误.对于，释放的能量为，对应的震级为，释放的能量为，对应的震级为，则，且，两式相减，得，解得，正确故选.
7. 大气温度（单位：）随着距地面的高度（单位：）的增加而降低，到高空处为止，在更高的上空气温几乎不变.设地面温度为，每上升大气温度大约降低，则与的函数关系式为 .
解：根据题意，得当 时，；
当 时，气温几乎不变，
故.
综上，函数关系式为
故填
8. 我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”意思是：有一根竹子（与地面垂直），原高二丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为9.1尺.
解：设折断处离地面的高为 尺.则,所以.故填9.1.
【综合运用】
9. 某市共享电动车2020年投放量为400万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的投放量都比上一年提高，那么该市到哪一年共享电动车的投放量才能达到1 400万辆（ C ）
A. 2025年B. 2026年C. 2027年D. 2028年
解：设该市经过 年，共享电动车的投放量才能达到1 400万辆，则由已知，可得，即，解得.所以经过7年，即到2027年，共享电动车的投放量才能达到1 400万辆.故选.
10. 【多选题】已知大气压强随高度的变化满足关系式，是海平面大气压强，.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表.
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为,,，则（ ACD ）
A. B. C. D.
解：设在第一级阶梯某处的海拔为，则，即.
因为，所以，解得，正确.
由，得.当 时，，即，所以，错误.
设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为.
由题意，知 两式相减，可得.
因为,，所以.则，即，故，,均正确.故选.
11. 当时，试探究三个函数,,的增长差异，用“ ”把它们的大小关系连接起来为 ．
解：令,,，易知三个函数在区间 上均单调递增，所以当 时，，，，故.故填.
12. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种茶叶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是，室温是，则经过时间（单位：）后物体的温度 （单位：）满足，其中为正常数.该研究小组在的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得初始温度为的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：
（1） 从上表中选取一组数据求出的值（精确到），并根据上述冷却模型写出冷却后水温 关于冷却时间的函数解析式；
解：由题可知，，.
若取第一组数据，则有，解得，
此时解析式为.
若取第二组数据，则有，解得，
此时解析式为.
（2） 在（1）的条件下，现用水在的室温下泡制该茶叶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多少分钟？（精确到）
附：，，，.
[答案]
由（1），知.
令，则，解得.
所以从泡制到获得最佳饮用口感约需要.
【拓广探索】
13. 在用计算机处理灰度图象（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0与255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果.
则下列可以实现该功能的一种函数图象是 （ A ）
A. B.
C. D.
解：根据处理前后的图片变化，可知相对于原图的灰度值，处理后图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在 上方.故选.
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地势
平均海拔/
第一级阶梯
第二级阶梯
第三级阶梯
从降至所需时间/
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从降至所需时间/
5.0
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