2025高考数学一轮课时作业第二章函数2.7函数的应用第1课时函数的零点与方程的解（附解析）

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1. 函数的零点所在区间为 （ C ）
A. B. ,C. ,D.
解：易知 单调递增.，，，，.因为，所以 的零点所在区间为,.故选.
2. 已知函数则函数的零点为（ D ）
A. B. C. 0或D. 0
解：当 时，由，解得.当 时，由，解得，不符合题意.综上，函数 的零点为0.故选.
3. 若函数的零点是2，那么函数的零点是（ C ）
A. 0，2B. 0，C. 0，D. 2，
解：由题意，知，即.令，得 或.故选.
4. 函数的零点之和为（ A ）
A. B. 1C. D. 2
解：当 时，令，解得.
当 时，令，解得.
故函数 的零点之和为.故选.
5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是（ C ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
解：作出函数 和 的图象如图所示.
可知函数 在 上只有一个零点.又 是定义在 上的奇函数，所以 在 上只有一个零点.易知，所以函数 的零点个数是3.故选.
6. 【多选题】若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ CD ）
A. 若，则不存在实数，使得
B. 若，则存在唯一实数，使得
C. 若，则有可能存在实数，使得
D. 若，则在内的零点个数不确定
解：根据函数零点存在定理，若，则一定存在实数，使得，但 的个数不确定，故 错误，正确.若，则有可能存在实数，使得，如，，但 在 内有两个零点，故 错误，正确.故选.
7. 在用二分法求方程的正实数根的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7.
解：设至少需要计算 次.由题意，知，即.由，，知.故填7.
8. 已知函数若，则 ；若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
解：由，得 或
解得.关于 的方程 有两个不同的实数解等价于 的图象与直线 有两个不同的交点.作出 的图象如图所示.
观察图象，可知当 时，的图象与直线 有两个不同的交点．即．故填;．
【综合运用】
9. 函数的零点个数为（ B ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
解： 的定义域为.令，则有 或.解得 或 ，即 ，或 .故 有3个零点．故选.
10. 设函数的零点为，的零点为，若，则可以是（ D ）
A. B.
C. D.
解：选项，.选项，.选项，或.选项，.因为，，，，所以，.选项中，只有 时，满足.故选.
11. 已知是最小正周期为2的函数，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数是（ C ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
解：由题意，得 与 都是偶函数，所以其交点关于 轴对称，故只需研究其在 轴右侧的图象.
当 时，其图象如图所示.两函数图象在 轴右侧有5个交点.由对称性，得在 轴左侧也有5个交点．所以共有10个交点.故选．
12. 已知函数.
（1） 当时，求的零点；
解：当 时，当 时，令，则 因为，所以方程 无解，无零点.当 时，令，则，即，解得（正根舍去）.综上，可知 的零点为．
（2） 讨论函数的零点个数.
[答案]
由，可得，即.
令
作 的图象及直线.由图象，可得当 或 时，有1个零点；当 或 时，有2个零点；当 时，有3个零点．
【拓广探索】
13. 【多选题】已知函数若函数有三个零点，，，且，则下列结论正确的是（ AC ）
A. 的取值范围为B. 的取值范围为
C. D. 的最大值为1
解：函数 的图象如图所示.
由图，可得，正确.当 时,,故，错误.因为,且，所以,可得，正确.由，可得.又，故等号不成立,即，错误.故选.